Session-2-05-06 - L3 Mathématiques 2005-2006 Examen de ...

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Session-2-05-06 - L3 Mathématiques 2005-2006 Examen de ...

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• mathématiques
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• Publié par: yhafutup
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• Langue: Français

Extrait

L3Math ´ ematiques2005-2006 ExamendeProbabilit ´ esdedeuxie ` mesession

Question de cours.Enoncer la loi des grands nombres.

Exercice 1.tnuaipel´dfieinemvecunepiouface,aebmoPrusece`tiuqbaro-eailcpvenieuojnO bilite´p∈]0,1[. On appelleX n lieaPbilavaaurlaviuqeriotae´laeunntiebtnoio1sutnerecis0t.non-emi`anel Rappelons que lesX n meˆeemtdi.loitdne´epdnnaetesson On appelleZ n le nombre total de Piles obtenus au cours desnpremiers lancers. On appelleTomenedbrl.eliPreimerpudnobtentiosavantl’ffeceute´lenaecsr (1) Donner la loi deX 1 et calculerE[X 1 ] et VarX 1 . (2) Donner la loi deZ n . (3) ExprimerZ n en fonction deX 1 , ..., X n iude´dneet,erE[Z n ] et VarZ n . (4)Lesvariablesale´atoiresX 1 etU 1 =X 1 +X 2 ?snoanetsle-tisele´dndnep (5) Donner la loi deT, puis calculerE[T].

−x Exercice 2.euerd`sionncOellae´taenavirbaoireXde loih X (x) =axe1 x≥0 . (1)De´teminerapour queh X .netuois´eitnsde (2) CalculerE[X]. 2 (3) Donner la loi deU=X.

Exercice 3.iresiravelba´lasotaensCo´eidnsrouxdeXetYadtnsed,deneis´tind´epenseh X (x) = −λx−µy λe1 x≥0 eth Y (y) =µe1 y≥0 setrear`mseapuodrp,λ >0,µ >0. (1)Calculerlafonctiondere´partitionF X (x) =P[X≤x] pour toutx∈R, ainsi que celle deY. (2)End´eduireP[X≥x, Y≥x], pour toutx. (3)Ende´duireP[U≤xo,]`uU= min(X, Y). (4)Ende´duireladensit´edeU. Aquelle loi cela correspond-il?

Exercice 4.SoitZ= (X, Ylarutae´erioededitns´e)unvecteh Z (x, y) =a(x+y)1 0≤x≤1 1 0≤y≤1 . (1)D´eteminerapour queh Z e.t´siendenutios (2)D´eteminerladensite´deXet celle deY. (3)XetYtnse?´dpenead-ellesinsont (4) CalculerE[X],E[Y],E[X Y], et enfin Cov (X, Y). (5) Soit le vecteurV= (X, U)uo`,U=X+Ysauensde´eittdes.tnoMqrerno´neeapr h V (x, u) =u1 0≤x≤1 1 x≤u≤x+1 .

Exercice 5.L’usine A fabrique 90% de bonsDeux usines (A et B) fabriquent des saucissons. saucissons et 10% de mauvais saucissons.L’usine B fabrique 80% de bons saucissons et 20% de mauvaissaucissons.UngrandmagasinMache`tetroisquartsdecessaucissonsa`l’usineAetle restea`l’usineB. J’ach`eteunsaucissonchezM.Sachantqu’ilestmauvais,quelleestlaprobabilit´equ’ilprovienne de l’usine A.

Exercice 6.SoitXeredtaiolae´baelvariunes`marerteleiapadeibloominn∈Netp∈]0,1[. Soit aussiYlbae´laenuveraaiarepedalestr`eamlederiotimonibiom∈Netpl(emmeeˆpsuppose). On queXetYs.tenosdnitepe´nadn (1)Calculerlafonctioncaracte´ristiquedeXet celle deY. (2)End´eduirecelledeX+Y. (3) Quelle est la loi deX+Y? Justifier.

Exercice 7.ueen´dredeveustionsiOncseresbliaaroiat´ealX n telles que:P[X n = 0] = 1−p n et P[X n =n] =p n , pour une certaine suitep n s[ana`0levasdur,1].

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