Corrigé BAC ES 2014 Mathématiques

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Part I
Exercice 1
1. D'après l'arbre de l'énoncé, on a PA (B) = 0; 3 , d'où PA
􀀀
B

= 1 􀀀 PA (B) = 0; 7. La réponse correcte est la
réponse (c).
2. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de l'évènement B s'écrit :
P (B) = PA (B) P (A) + PA (B) P
􀀀
A

= 0; 3  0; 6 + 0; 2  0; 4 = 0; 26
La réponse correcte est donc la réponse (c).
3. D'après le tableau de variations de l'énoncé, sur l'intervalle [4 ; 12]la fonction f varie entre 􀀀2 et 􀀀1. Par
conséquent, f est négative sur [4 ; 12] et sa primitive F est décroissante sur [4 ; 12]. Rappel : Dire que F est
une primitive de f signie que f est la dérivée de F. On sait que si une fonction est dérivable sur un intervalle
I et que sa dérivée est négative sur I alorscette fonction est décroissante sur I.
4. Soit x > 0, on a d'une part ln (x)+ln (x + 3) = ln (x(x + 3)) = ln
􀀀
x2 + 3x

. D'autre part 3 ln (2) = ln
􀀀
23

=
ln (8). Par conséquent, l'équation équivaut à :
ln
􀀀
x2 + 3x

= ln (8)
ou encore à : x2 + 3x = 8. La réponse correcte est la réponse (c).
5. L'aire demandée s'écrit

6
2 g(x)dx = G(6) 􀀀 G(2) où G est une primitive de g sur son domaine de dénition.
Or, une primitive de g sur ]0;+1[ est G(x) = 5 ln (x). La réponse correcte est (a).
Part II
Exercice 2 (Obligatoire)
1. Au bout de l'année 2010, 20% de la surfarce engazonnée est remplacée par de la mousse. Donc, avant que
Claude n'arrache une partie de la mousse, la surface engazonnée est de 80%  1500. Mais lorsque Claude
arrache la mousse sur une surface de 50m² pour la remplacer avec du gazon, la surface engazonnée devient
80%  1500 + 50. La surface engazonnée au bout de l'année 2010 est donc u1 = 80²
2. Soit n un nombre entier naturel. Au bout de l'année 2010+(n+1), 20% de la surfarce engazonnée est remplacée
par de la mousse. Donc, avant que Claude n'arrache une partie de la mousse, la surface engazonnée est de
80%  un. Mais lorsque Claude arrache la mousse sur une surface de 50m² pour la remplacer avec du gazon,
la surface engazonnée devient 80%un +50. La surface engazonnée au bout de l'année 2010+(n+1) est donc
un+1 = 0; 8un + 50. Cette relation est donc valable quelque soit l'entier naturel n.
Publié le : mercredi 18 novembre 2015
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2
lnx+ 3x= ln(8)

P❛rt ■■
❊①❡r❝✐❝❡ ✷

✭❖❜❧✐❣❛t♦✐r❡✮

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ln (8)❛✉✐t✬❧qé✐✉❛✈♥♦qér❝♦♥✳P❛❡♥t✱séq✉à✿✉t

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❝♦✉éq♥s✱♥t❡
♥✉❡♠✐♣r❡✈✐t✐❞❡
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f❡ss❡r✉t❛✈✐♥t❣é
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80%×1500❡❞✉❛❧❈❡✳▼❛rsq✉✐s❧♦

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n✳

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¯
PAB= 1−PA(B) = 0,7❡♥s♣♦♦❡❝✳ré▲❛r❛❧❡❡tst❝

u1= 80➨
20%❝é❧❛♠♣r❡❡③❛❣♥❡❡❝rts❡❡é♥♥♦❞❡❧❛s✉r❢❛

P❛rt ■
❊①❡r❝✐❝❡ ✶

g✐♦✐t♥✳❞❡♥❡✜♥❞é❞♥♦s✐❛♠♦r✉s

B✿é✬st✐r❝

¯
P(B) =PA(B)P(A) +P¯(B)PA= 0,3×0,6 + 0,2×0,4 = 0,26
A

✷✳❙t✐♦n♥❛❡rr❡t✉❆✉❧✳✉t❜♦♦♥♥✉❡r❜♠✐t♥❡✰✶✮✱❡❞✬❧♥❛é♥✷❡✶✵✰✵♥✭
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80%×un❡❈❧❛✉❞❡✉qsr♦❧s✐❛▼✳r❛❝❤❡❧❛♦♠✉❡❛s♦✉➨♣❛rr❧❡❞❛❝✵♠❡✺❝❡✈❛❛❣✉❞❧♣♠❡r❡❝❛♦③✱♥✉r❡♥✉s❢r✉s
❛❧✉s❢r❡❝❛❡❣♥❛③♦♥♥é❡❞❡✈✐♥t❡80%×un+ 50✳❝❛❢r✉s❛▲♦♥❛③♥❣❡❡♦✉✉❜❡❛♥é❞t❧❡❛✬♥♥❡é✵✷✵✶✭✰♥✰✶✮❡st❞♦♥❝
un+1= 0,8un+ 50❡❈✳❡t❡rt✐❧❛❡s♦♥♦♥t❞❛❧❝✈❧❡r✉t❛♥r❡✐t♥❡✬t❧♦✐❡sq✉❡❧q✉❧❡❛❜

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2
x+ 3x= 8✳▲❛ré♣♦♥s❡❝r❝❡❡ts❡❧tr❛♣é♥♦✳✮❝✭❡s♦
´
6
g(x)dx=G(6)−G(2)♦ùG♠✐t✐❡♣r✐st✉♥❡❡❞❡✈
2
gs✉r]0,+∞[❡stG(x) = 5ln (x)▲❛ré♣♦♥s❝❡♦❡✳r❡❡ts❛✭✳✮t❝

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PA(B) = 0,3✱ ❞✬♦ù

[4,12]❝t✐♦♥❧❛❢♦♥f✈❛❡rt♥❡❡✐r
[4,12]✐✈❡✐♠✐ts❛♣r❡tFé❝r♦❡st❞✐sr✉♥t❡s❛[4,12]❡q✉r❡❉✐❡♣✿❧❘✳♣❛
f❞❡❡❡st❧❛❞ér✐✈éF❡❢✉♥❝t♦♥♥❡✐♦❞ést❛✈✐rs❡❧❜♥✉r✉❡t♥✐❡❧✈r❧❛❖✳s♥✐❛qt❡✉✐s
I❧❛ ❡t♦❢❡❝s❛r♦✐r♦é❝t❞❡s♦♥t✐♥❝st♥s❡r✉I✳

2
ln (x) + ln (x+ 3) = ln (x(x+ 3)) = lnx+ 3x✉t✬❛✳❉rt♣❛r❡

✳✶❆✉❜♦✉t❞❡❧❛✬♥❡♥é✷✵✶✱✵20%✉❡❛❢❝rs❛r✉❞❧❡r❡st❡❡♥é♦♥❛③♥❣❡❡♦♠❛❧❡❞r❛♣❡é❝❛❧♣♠s❉✳♥♦✱❝✈♥❛✉❡qt
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❛r❡❤❝❛ ❛❧ ♠ss✉❡✉♦r❢s✉♥❡r✉❝❡✈❛❛❣✉❞❧♣♠❡r❡❝❛♦✉➨♣❛rr❧❡❞❛❝✵♠❡✺✈❡❡✐t♥③❛♥♦é♥❞❡r❢❛❝❡❡♥❣③♦♥✱❧❛s✉
80%×1500 + 50❜✉❛❡é♥♥♦③❛❣♥❡❡❝❛r❢s✉▲❛✳♥♦❝s❡❞t✷✵✶✵♥♥é❡❡❧✬❛♦✉t❞

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3
3 ln (2)= ln2 =

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♥✬♥❡✈❛✐r❤♦♥t❛❥♠s❛✐✐❡èr❡♥t♠❡t♥♦s♥❡t❛r♥✐✳

(vn)r❛✐s✉❡❞❡tr✐qé♦♠é❣❝♥♦❞ts❡♥♦

✭❙♣é❝✐❛❧✐té✮

P❛rt ■■■
❊①❡r❝✐❝❡ ✷

250 1
n
(0,8)<=✳
1250 5
n
ln (0,8 )<

1
nln(0,8)<ln✳
5
ln(0,08)<ln(1) = 0✳✮ ▲❛

v0=u0−250 = 1500−250 = 1250.
n
un=vn+250 = 250+1250×(0,8)

=
=
=
=
=

vn+1

250➨♠✳

limun+ 1250= 250×0 = 250sq✉❡❈❡✳t✉✐❞✐❝❡✈❧❡r♦❡r✉q

vn+1=un+1−250 = (0,8un+ 50)−250 = 0,8un−200 = 0,8(un−250)

0,8♠r❡t❡✐♠r❡♣❡❡r❡❞t
n n
vn=v0(0,8) =1250×(0,8)♦ù❉✬✳

n✱ ♥♦ ❛

❛✭✮Pr✉♦t♦t✉✐❡❡♥tr♥❛t❡✉❧r

un+1−250
(0,8un+ 50)−250
0,8un−200
0,8(un−250)
0,8vn

n✱ ♦♥ ❛
n✳

n
lim 0,08 =♦✬❞✱ù

n
1250×(0,8)<500−250❡♥❝♦r❡à✿♦✉
x >0❛♦s❡✐❝ln(x)r❝✐♦❛étt♥s❡❡t❝✱♥❛t❞❡r♥❡✐♥é❣✐èr❡✉qéét✐❧❛✿àt✉❛✈✐
n
ln (0,8 )=nln(0,8)✐✈q✉❡♥❛❧à✿t❡♥é✬❧é❝♥♦❞ts❡é❝♥♦✱❧✬✐♥é❣❛❧✐té❞❡
ln(0,8)❡♣✉❢✭q✉✐s❛❣✐ttsé♥✉q❡✐0,8❁ ✱✶
ln(1/5)
n >t❛✐r❝❧❧✉♦♥t❜❡❝♦✱q✉✬✉✐❡♥t❧❡✉r♥❡✈❛❛✐❧✬✳❆❝❛❧❛❞❡❞❡
ln(0,8)
ln(1/5)
❡st7,2s✉❡♣✐t❡t❛✈❡❧r✉❡❞❧✬❡♥t✐❡r✳▲❛♣❧
ln(0,8)
n
250 + 1250×(0,8)<500♥❛❡♠è✽❛❧❛❧✱❡é♥♥♦✽❝s❡❞tr❡r♣■✳t♥✐♦♥✿ét❛t✉t❞❡❆✉❜♦

✭✮❛▲✬é♥✐qt❛✉✐♥♦❞❡é✬❧♦♥♥é❝st❡✉éq❧✈❛✐❡♥t❡à✿
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1
ln✳ r❖
5
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✭✮❜■✳❛t♥✐✐❧✐❛✐s♥♦t✿

✉r❡♣❞♥❛❧❧❛✈r✉❡✺✶✵✵
♥♣r❡♥❞❧❛❧❛❡✈✉r✵
r❚❛t✐❡♠♥❡t
♥❛t❚❡✉qU❃❂✵✺✵❢❡✐r❛
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♥r♣♥❡❞❛❧✈❛✉❡❧r♥✰✶
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❆✣❤❝r❡♥

✳✹ ✳

✮❛✭▲❡❣r❛♣❡❤♣r♦❜❛❜✐✐❧ts❡❞✐r❝é❛✈t♥❛❧t✉s✐✐❛♥♦tst❡❞♥♦♥ér❛♣✿

✳✶ ✳

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✱♣♦✉rt♦✉t❡❡♥tr✐♥❛t✉❧r❡

✳✷ ✳

✳✹ ✳

✳✸ ✳


0,1
0,6

❋✐❣✉r❡✿✶●r❛♣❤❡♦r♣❛❜✐❜ts❧❡✐

0,8❡tr❡tr❡♠r♣❡❞❡✐♠❡

an+1−0,8
(0,5an+ 0,4)−0,8
0,5an−0,4
0,5(an−0,8)
0,8un

✭✮❜❛▲♠tr❛✐❡❝❡❞r❛t✐♥♦✐t♥s❛♦s❡é✐❝
❞♦❡é♥♥♣r❛✿

❡❝r❣❛♣❤❡❡♥❡♣r♥t❛♥❧❡s♦s♠♠t❡s❆t❡❇❞♥❛s✬❧rr❡❞♦✭✱❆✮❇st❡

b5✉❡♣♥❖✳❡st❧♦✐ts❡r✉❧❧❝❝❛❝❧❧✉♥❡❛❝♥❛t

=
=
=
=
=

un+1

a5t❡

bn= 1−an✱ ❞✬ù♦

n≥1✱ ♦♥ ❛ ✿

0,9
(an+1bn+1) = (anbn)
0,4

n≥1✱ ♦♥ ❛ ✿

u1=a1−0,8 = 0,5−0,8 =−0,3

❛▲✉st✐❡

✮❛✭r✉♦Pt✉♦tr❡✐t♥❡♥✉❛rt❡❧

ù♦✬❉an+1= 0,9an+ 0,4bn✳
❜✭✮♥❊t✉❧✐s✐♥❛t❧❡❢t✐❛q✉❡an+bn= 1✱ ♦♥ ❛
♣♦r✉t♦t✉❡✐❡t♥r♥t❛❧❡r✉ts❡❝rt✐♠t❡♥♣✳✐❢✐t♦s

(un)s♦♥q✉❡❞❡r❛✐é❣♠♦té✐r❡ts♦❞❝♥

✮❛✭P♦✉rt♦✉t❡❡♥tr✐♥❛✉t❧❡r

✮❛✭❛▲❡♥❣✐❧à♦❝♠♣❧ét❡r❞♦✐têtr❡✿❛r♣♥❡❞❛❧✈❧❛✉❡r✵✱❛✺✰✵✹✱
❜✭✮P♦✉rn= 5t✐r♦❡❛❤❡❝♠✣❤❡❝✱❣❧❛t
s✐t♦r❡❝✐♣♦r❡✬❧♦❣❧❛❤t✐r♠❡❞❛♥s❧❛s♥t②❛❡①❞❡❧❛❝❧❛✉❝❛❧rt❝✐✳❡▲✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡❞♦✐t❛✣❝❡❤r
b= 0,21875

✮❝✭❊tt♥❛❞♥♦♥é✉q✬❛✉♣r❡✐♠r❡❧♥❛❡❝✱r❡❧s❝❛❤❝♥❡s❞✬❛t❡✐♥❞r❡❡t♠❛❧r❡✉q♥❛♥♦s❡❧❜✐❝s❡❧❡❣❛té✉r❧❡✉❡tq
♦s♠♠❡❡ts✶❛❧sr♦P1= (0,5 0,5)♠♠❡♣✳❈♦✐❡♥t❛tr♥rt♦✉t❡♦✉❧❡r✉

0,9 0,1
P1M= (0,5 0,5) =(0,65 0,35)
0,4 0,6


0,9
M=
0,4

Pn+1=PnM❛❧♦rs

P2=

n≥1✱

an+1= 0,9an+ 0,4(1−an) = 0,5an+ 0,4

5−1 4
P5=P1M=P1M✱
a= 0,78125❡t


0,1
= (0,9an+ 0,4bn0,1an+ 0,6bn)
0,6

✳✶r❛P❧❝❡✉t❡rr❣♣❛✉q✐❤✱❡às♥✐✬❧t♥❛t✐✐t♥✐❧❛✐✭st♥t❛♥✵✱✮❛❧♦❝❝♥♥❡rtt❛♥♦✐❡st❞❡✷✳

✳✷■❧✬❛s✐❣t❞❡❝❧❛✉❝❡❧rP(56,7≤D≤57,25)❡♦r✈✉♦✱t♥✐r❡❝✉❧❛t❝❛❧❝❞❡❧❛✳❛❆✐❧❞✬❡
✸✳è❡♥é▲✈✬♠t♥❡✏U❡♥❜♦❡❧✉ts❡❞❡s❡❝♦♥❞❤❝♦✐①✑❡st✬❧✈é♥è❡♠♥❡t❝♥♦rtr❛❡✐❞❡
p3= 1−p2= 0,147

P❛rt ■V
❊①❡r❝✐❝❡ ✸

❜✭✮✬❉s♣❛èr❧❛♣ré♥♦❡s❡❞❛❧❡✉q✐t♥♦sé❝ér♣❡❞t♥✱❡♥♦❛♣✉♦r♦t✉t❡♥tr✐❡♥❛t✉r❡❧
n−1
−0,3×0,8✳ r❖

P❛rt✐❡ ❈
66
✳✶▲❛❢réq❡✉♥❝❡♦s❡é✈r❡❜s❡❞♣♥♦sr❡❡♥sts✐❛sst❛❢❡✐❡tsf= =0,825✳
80
✳✷▲✬✐♥t❡r✈❛❧❧❡❞❡❛✜♥♦❝❝♥❡❛✉♥✈✐✉❛❡❡❞♦❝♥✜♥❛❝❡❡❞✾✺✪❞❡❧❛♣r♦♣♦r♦t✐♥❞s❡♣♦sr❡♥s❡♥✐t❛s❢s✐❛t❡s❡st✿

1 11 1
f− √, f+√= 0,825− √,0,825 +√= [0,713,0,937]
n n80 80

P❛rt V
❊①❡r❝✐❝❡ ✹

P❛rt✐❡ ❆

p2= 0,985✳
{(56,7≤D≤57,25)}♦❞❛♥❝♥❖✳

p1= 0,5✳

an=un+ 0,8t✉r❡❡♥♥❛❡♥t✐t♦✉t♦♣r✉✬❞ù♦❧n≥1✿
n−1
an= 0,8−0,3×0,8

P(D≤57)✳
D≤57s✐✜✐♥❣❡✉q❡

✳✶❧■✬st✐❣❛❡❞❛❝❝❧❧✉r❡P(X≥3✵) = 1−P(X <30) = 1−P(20≤X <30)♦❢✐♥✉✐♦❧❡♠r❖✳✱r♦♥s❛✐tq✉❡♣♦✉r✉♥❡
d−c
r✉s♥✉❛t✐♥❧r✈❡❧❡[a, b]♦ùat❡bs♥♦♥①♠♦❞t✉❡ré❡❧❜r❡ssq✉❡st❡❧b > ar♦❜❛❜✐❧✐ét✱♦♥❛♣P(X∈[c, d]) =
b−a
❧✉sq♦r❡c❡tdr❡s❡♥t♠♣r✐❧s❝♦❡r❜♠❡érs❡❞t♥♦♥①✉s♦at❡b✿❡t♥✉q✈❧❡✐■✳P(X≥3✵) = 1−P(X <30) =
30−20 3
1−P(20≤X <30) = 1−0= =,75
60−20 4
20 + 6✵
✷✳ ❖♥❛E(X= 40) =♥✉t❡✹✵♠✐s✳î❛❡♥♥❡rt✉❞❡r❡♠t♥♥✿✐♦♠♦❡♥♥♥②❡❧✬❡✱t♥■✳r♣r❡t❛té
2

✉P♦r♣ré♥♦r❡❞àt❛❝❛❧s❡r❧t✐❧✐♦✐t✉t✐✱❡♦srt❝✐✉❝❛❧❡❡❝st✉❡♣♥♦✱♥♦✐ts❡✉q
D❛✈❡♥✉✬✉q❧❛❡❧❜❛✐r❡✐rt♦é❛❛♠♦②❡♥♥❡r✐❡✉r❡às❛❜✐❜✐❧ét❖✳❧r♣❛♦rts❡é❢♥✐

✭✮❝❆❧♥♦❣t❡r♠❡✱❝❡s✬r❞à✲t✲❡✐❧r❡✉qs♦❆❡❝✐❧✛❡t✉❝❡❡♥✉très❣r♥❛❞♥♦❜♠❡r❡❞❛❧❝♥sr❡♦✉♥❡♦❝r❡✱❧♦q✉rs❡
n−1
t❡❞♥❡✈sr✬❧♥✜♥✐✱✐0,8t❡♥❞✈❡rs✵❝❛r0≤0,8<1✱❛❧✉st✐❡
✉q❆✬✐❧❡❝❛❣✐❡t❝♥r❡✳s✉t❞❡s❡❛❧❡r✉❢❡♠àt✵❡❞❡✉❛✽✱❝❡❧✐❡❝❡✛r❡s✉✬❆q✉❡♥r♦❝❤✬❛♣♣❜❧❡s❧❛❝✐
❞✭✮❖♥♣❡✉t❣é❛❧❡♠❡♥t❞✐✱r❡q✉✬à❧♦❣♥t❡♠r❡✱❛❧♣♦r❛❜✐❜✐❧ét❞❛✬✐t❜❛ts❡s❡❧✵♥❡❡s✐❧✐♥❡✐❜❛❝❡❧❞r✱✽✳❈❡❧❧❡
❞❡ ♥❡ ♣❛st♦❧✷✱✉qsr✐❧❆❡❛❧❡❝t❛❡s❧✐❜✐❞♦s❡à✵♥❝✐❡❞♥❡r❛❧✐❝❧❜s❡❛♥✐s✳❊❞❡❢♦❜♠❡r❞♥♦♥❣♥❛r❝♥✉❡
ré❛✱❧✐té❡❝❡✉q♥s✉♦♥❡✈s♥♦❞❡❝❧❛✉❝❡r❧t❡s❛t✬é❧ts❛t❧❜❡❞❡❝❡❣♣❛r❤❡♣r♦❜❜❛✐❧✐st❡q✐✉♣❡t✉❡rtê❛❝❧✉❝❡r❧
♣❛r♦ésr✉❧t✐♥♦❞✉②ss♠tè❡P=P M❡✳❈❡t♠❡♥♦✐ts❡✬♥ér✉❧♦s♥❞é❡♠❛✐st♣❛s❞❡♠❛✐✉❛r✉❛ê♠❧❡❡❧♦❝❞♥
s✱❛❧tt✉ré❝st✬❡✲à✲❡r✐❞àP= (0,8 0,2)✳

n

n−1
n≥1✱un=u1×0,8 =

P❛rt✐❡ ❇

✳✶❧■✬s❛t✐❣❡❞❝❧❛✉❝❡r❧
❡r♠rq❛✉r❡✉q❡
st♦✐✐ér♥❡✐❢❡r✉à❛s♠♦②♥♥❡❡❡st✵✺✱✳▲❛❝❛❧✉❝❧❛t❡❝✐r♥♥♦❞❡❛❣é❡❧♠❡♥t

(an)✵sr❡✈❝♥♦❞❞♥❡tté❧✐❜✐❜❛r♦❛♣✳▲✱✽

P❛rt✐❡ ❆

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✳✷ ❛▲❜s♥❝❡♥❧❛❝♦❡❞❡❛✐♥❞✉❛qt✐t♥❡❧❛r♥♦✐t❛rt

✾✸✱
✵✱✶✵✽

f≥0,1✉❡tq❛♥t

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✱✾✹
✵✱✶✵✸

✾✱✺
✵✱✵✾✾

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f(x) =−0,5xet✉♦tr✉♦♣x∈[0,15]❡❧❧❡❡♥t✐①♣♦♥✳▲✬❡tté♥❛
[0,15]✱ ❝❡t✈❡t✐rs✉❡❞ér✐✈s❡❡ér❛♣tt✉♦t❛❣é♥[0,15]P❛✳és✉q❝r♥♦♥❡✱t
[0,15]rq♠❛❘❡✳✭✐t♥❞✿♦✉❡♥t♦✐♥s♥✉❧♣❡✉❛✬♥♥❧✉❡❡é❞✐ré✈s❡❡♥t❝❛r❧❛str✐❝t❡♠
f❝r♦î❞é❞t❡f(0) = 2✉qà✬❥s✉f(15) = 0,009

−0,5x−0,5x
e−0,5(x+ 2)e

✶✵
✵✵✱✵✽

f❡ts

✱✾✾
✱✵✵✽✹

✾✻✱
✱✵✾✵✺

✷✱✾
✱✵✶✶✷


f(x)

=

f❡♥✉♥✐❝♦strt❝✐❡❡stt♥é❞❡t❡♠ss❛♥❝r♦✐rt❡s✉
f(x) = 0,1♥✐❡✉✉♥❡t❞♠❛♥♦✐t✉❧♦s❡✉q

✾✽✱
✱✵✽✵✼

✱✾✼
✵✱✵ ✶✾

✶✱✾
✼✶✶✱✵


✷✷✶✱✵

x
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