Corrigé Bac STI2D 2015 : mathématiques

Pierre

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Corrigé Bac STI2D 2015 : mathématiques

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• Publié par: Fil_Bac2015
• Publié le: 18 juin 2015
• Nombre de lectures: 5 474
• Langue: Français

Extrait

Bac STI2D 2015 : éléments de correction de l’épreuve de mathématiques

Exercice n°1 : � ‒ � 6 1.= 3 est :La forme algébrique du nombre complexe �e � � = 3(cos( ) + isin( )) � ‒ ‒ 6 6 � � = 3(cos( ) - isin( )) car la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. � 6 6 3 1 = 3×( - i) � 2 2 3 3 3 = - i. � 2 2 La réponse exacte est la b..

2. � = 1 + i 3 et � = 3 - i. 1 2 Pour déterminer la forme exponentielle de , on peut soit calculer le produit sous la �×� �×� 1 2 1 2 forme algébrique puis la mettre sous la forme exponentielle, soit mettre et sous la forme � � 1 2 exponentielle et calculer le produit des deux formes exponentielles. Avec la première méthode : �×� = (1 + i 3 )( 3 - i) = 3 - i + 3i + 3 = 2 3 + 2i. 1 2 2 2  �×� ∣ = ( 2 3 ) + 2 = 12 + 4 = 16 = 4. ∣ 1 2 � 3 1 � � � 6 On a donc �×� = 2 3 ) + isin( = 4(cos( )) = 4+ 2i = 4( + i) e . 1 2 6 62 2 La réponse exacte est la a..

2 3.Les solutions de l’équation différentielle du second ordrey’’ +y= 0 sont de la forme : � tAcos(t) + Bsin(t) avec A et B deux réels. ↦ � � 1 1 1 2 Ici, = donc on peut prendre = = . � � 3 3 3 1 Les solutions de l’équation différentielley’’ +y= 0 sont donc de la forme : 3 1 1 t Acos(t) + Bsin(t) avec A et B deux réels. ↦ 3 3 La réponse exacte est la b.. 1 4.[.sur l’intervalle ]-1 ; = 2 + �(�)+∞ �+ 1 1 = 0 donc, d’après les règles opératoires sur les limites, on a : lim �+ 1 �→+∞ 1 = = 2. )lim lim�(� ( 2 + �+ 1 ) �→+∞ �→+∞ La réponse exacte est la d..

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Exercice n°2 : Partie A Ici,L= 100 km eta= 7 mW.= 0,046. On a aussi � � ‒ �� Il s’agit de calculer = avec ces valeurs et de comparer le résultat avec 0,08 mW : � �× e � � ‒ �� ‒0,046 × 100‒4,6 = = 7× = 7 0,070 mW au millième près. � �× e e e≈ � � < 0,08 mW doncil sera nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la lignepour que � � le signal soit détectable en sortie.

Partie B ‒ �� 1.Les solutions de l’équation différentielley’ +ay= 0 avecaun réel sont de la formey(x) = �e pour toutxréel et un nombre réel. � Les solutions de l’équation différentielley’ + 0,035y= 0 sont donc de la forme : ‒ �,���� g(x) =pour toutxréel et un nombre réel. �� �

‒00,035 × 0 2. a.g(0) = 7 doncg= 7.(0) = = = �e�e� ‒ �,���� gest donc définie parg(x) = 7sur l’intervalle [0 ; [. �+∞

2. b.D’après l’expression deg, le coefficient d’atténuation est0,035pour cette fibre.

3. a.La fonctiong[.est dérivable sur [0 ; +∞ �' '� =�× e On a la formule ( e ) pour une fonctionudérivable, donc : ‒ 0,035� ‒ 0,035� g’(xpour tout = 0,245 [.[0 ; ) = 7×(-0,035) e e� ∈+∞ ‒ 0,035� L’exponentielle est toujours positive doncg’(x[.[0 ; > 0 pour tout ) = 0,245 e� ∈+∞ La fonctiongest doncstrictement croissantesur l’intervalle [0 ; [. +∞

‒ 0,035� � 3. b.= 0 en posantdonc =  = X= -0,035xet d’après lim‒ ∞‒ 0,035� lim e lim e �→+∞ �→+∞ �→ ‒ ∞ la formule de la limite de la composée de fonctions. On a ensuite= 0. ��� �(�) �→+∞

4. a.et de comparer le résultat avec 0,08 mW :Il s’agit de calculer �(100) ‒0,035 × 100‒3,5 g0,21 mW au centième près.= 7 (100) = 7 e e≈ g(100) > 0,08 mW doncle signal sera encore détecté au bout de 100 kmde propagation avec ce type de fibre.

4. b.Pour que la longueurLde la fibre permette une détection du signal à la sortie sans amplification, il faut queg(L) 0,08 mW. ≥ ‒ 0,035� g(L7 0,08) 0,08 ≥ ⇔e≥ 0,08 8 ‒ 0,035� g(L) 0,08 = ≥ ⇔e≥ 7 700 8 g(L) 0,08 -0,035L ln ( ) car les fonctions ln et exponentielle sont strictement croissantes ≥ ⇔ ≥ 700 sur leur intervalle de définition 1 8 g(L) 0,08L ln ( ) 127,76 km au centième près ≥ ⇔ ≤ ≈ ‒0,035 700 La longueur de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est :

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Lkm 127,76 au centième près. ≈

Exercice n°3 : Partie A 1.Selon les prévisions de l’ADEME (Doc. 1), le nombre de véhicules hybrides vendus en 2030 serait 24 de 24 % des 2 millions de véhicules vendus, soit ×2 000 000 = 24×20 000 =480 000 véhicules. 100

2.Selon les prévisions de l’ADEME (Doc 1), en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO 2 dans le parcautomobile serait de11 %(7 % de véhicules hybrides et 4 % de véhicules électriques).

Partie B 1.Le pourcentage d’augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013 est : 41 340 ‒27 730 100× 49,1 % au dixième près. ≈ 27 730

2. a. = 41 340 (nombre de véhicules hybrides vendus durant l’année 2013) � 0

2. b.est une géométrique de raison( ) q= 41 340 donc le terme général de= 1,16 et de premier � � �0 � n cette suite est : = =41 340×1,16pour tout entier natureln. � �×� �0

2. c.L’année 2030 correspond àn= 17. 17 = 41 340×1,16 515 414 à l’unité près. � ≈ 17 > 480 000 doncl’augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait � 17 d’atteindre la prévision de l’ADEME pour l’année 2030.

3. a.La formule saisie dans la cellule B3 est : « = 1,16*B2 ».

3. b.Selon les prévisions de l’ADEME (Doc. 1), le nombre de véhicules électriques vendus en 2030 12 serait de 12 % des 2 millions de véhicules vendus, soit ×2 000 000 = 12×20 000 =240 000 100 véhicules. 173 974 < 240 000 donc le taux d’augmentation annuel de 16 % ne permettrait pas d’atteindre les prévisions de l’ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030.

4. a.173 974 est le nombre de véhicules électriques vendus en 2030 d’après les prévisions de l’ADEME, si le taux d’augmentation annuel est de 16 %. 4. b. Variables Etapes de l’algorithme q u Initialisation 1,16 173 974 Etape 11,17 201 307 Etape 21,18 232 645 Etape 35331,19 268

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4. c.La valeur affichée par le résultat est (1,19 - 1)×100 = 0,19×100 = 19 %. Le pourcentage d’augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d’atteindre les prévisions de l’ADEME en 2030 est de19 %. Exercice n°4 : 1. a. = 1,5 donc la fonction de densité de cette loi normale est lafigure 3car elle est symétrique � par rapport à la droite d’équationx1,5.= = �

1. b.P(1,485X 1,515) =P(1,5 - 0,015X+ 0,015) = 1,5 P( -X) + ≤ ≤ ≤ ≤ � � ≤ ≤ � � ≈ 0,68au centième près.

2. a.La probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits estnulle, d’après la définition d’une loi normale.

-4 2. b.En utilisant la calculatrice,P(1,46X 1,54)0,9923à 10 près. ≤ ≤ ≈

2. c.Il s’agit de calculerP(X= 1,55) P(X- 1,5) P(1,5X= 0,5 - 1,55) P(1,5X ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ 1,55) -4 0,5 - 0,49960,004près, en utilisant la calculatrice.à 10 ≈ ≈

3. a.On ap= 0,0077 etn= 10 000. On vérifie que : n30,= 10 000 np5 et= 10 000×0,0077 = 77 n(1 -p) = 10 000×0,9923 = 9 923 5. ≥ ≥ ≥

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de bouteilles non- conformes est : �(1 ‒ �) �(1 ‒ �) I = � ‒1,96; �+ 1,96 [ �� ] 0,0077 × 0,9923 0,0077 × 0,9923 I = 0,0077‒1,96;1,960,0077 + [ ]  10 000 10 000 I [0,0059 ; 0,0095] ≈ -4 en arrondissant les bornes de l’intervalle à 10 près (par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure)

90 3. b.= 0,009 et cette valeur appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % I trouvé au 10 000 3. a.., doncl’usine OCEFRAIS n’a pas de raison de s’inquiéter.

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