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BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2016 __________________ Série STD2A Sciences et Technologies du Design et des Arts Appliqués MATHEMATIQUES __________________ Jeudi 16 juin 2016 __________________ '85(( '( /¶(35(89( KHXUHV COEFFICIENT:2 Le sujet comporte 9 pages numérotées de 1/9 à 9/9 Dès que le sujet vous est remis, assurez-YRXV TX¶LO HVW FRPSOHW L¶DQQH[H SDJH Q¶est pas à rendre avec la copie. Les 2 annexes en pages 8 et 9 sont à rendre avec la copie. Le candidat doit traiter les 3 exercices. Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, TX¶LO DXUD GpYHORSSpH ,O HVW UDSSHOp TXH OD TXDOLWp GH OD UpGDFWLRQ OD FODUWp HW OD SUpFLVLRQ GHV raisonnements entreront pour une paUW LPSRUWDQWH GDQV O¶DSSUpFLDWLRQ GHV FRSLHV /¶XVDJH GH OD FDOFXODWULFH HVW DXWRULVp FRQIRUPpPHQW j OD UqJOHPHQWDWLRQ HQ YLJXHXU(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999). 16MA2AMLR11/9 EXERCICE 1 (8 points) Un styliste a imaginé la montre-bracelet pour enfants représentée ci-dessous. La montre et son bracelet ont été dessinés dans le repère orthonormalሺ ǡ ǡ ሻdel'annexe 1. Pour la montre, la figure est constituée d'une ellipseߝet d'un cercle߁. Pour le bracelet, la figure est constituée d¶XQ DUF GH SDUDEROH UHOLDQW OHV SRLQWVBetC, du segmentሾ ሿ, du demi-cercle de diamètreሾ ሿet de leurs symétriques par rapport aux axes de coordonnées.
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BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE
SESSION 2016
__________________
Série STD2A
Sciences et Technologies du Design et des Arts Appliqués MATHEMATIQUES __________________ Jeudi 16 juin 2016 __________________ DUREE DE L’EPREUVE : 3 heuresCOEFFICIENT:2Le sujet comporte 9 pages numérotées de 1/9 à 9/9 Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.L’annexe 1, page 7, n’est pas à rendre avec la copie. Les 2 annexes en pages 8 et 9 sont à rendre avec la copie. Le candidat doit traiter les 3 exercices. Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.L’usage de la calculatrice est autorisé conformément à la règlementation en vigueur(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999). 16MA2AMLR11/9
EXERCICE 1 (8 points) Un styliste a imaginé la montre-bracelet pour enfants représentée ci-dessous.
La montre et son bracelet ont été dessinés dans le repère orthonormalሺO, I, Jሻdel'annexe 1. Pour la montre, la figure est constituée d'une ellipseet d'un cercle. Pour le bracelet, la figure est constituée d’un arc de parabole reliant les pointsBetC, du segment[CD], du demi-cercle de diamètre[DE]et de leurs symétriques par rapport aux axes de coordonnées. Dans le repèreሺO, I, Jሻ, les pointsA,B,C,DetEont pour coordonnéesAሺͲ ; ͵ሻ,BሺͶ ; ͳ,ͺሻ, Cሺͺ ; ͳሻ,DሺͳͶ ; ͳሻetEሺͳͶ ; ͳሻ. Les pointsHetKsont les points d’intersection d’abscisses positives respectivement du cercleet de l’ellipseavec l’axeሺOIሻ. Partie A : étude des différentes parties composant la montre-bracelet 1.La partie montre L'ellipseet le cercleont pour centreO. మ మ ୶ ୷ a.Dans le repèreሺO, I, Jሻ, une équation cartésienne de l'ellipseest+ͳ=. ଶହ ଽ Donner la longueur de chacun des axes de l'ellipse. b.Justifier que le pointBest un point de l'ellipse.
c.Le cerclepasse par le pointA. Donner une équation cartésienne du cercle.
d.L'ellipsea été obtenue à partir du cerclepar affinité orthogonale d'axeሺOJሻ. ÔK Donner le rapport de cette affinité orthogonale. Ôh 2.La partie bracelet La partie reliant les pointsBetCest un arc de la parabolePreprésente la fonction qui ݂définie par݂ሺݔሻ =Ͳ,Ͳͷݔ  Ͳ,ͺݔ + Ͷ,ʹ.a.Vérifier que les pointsBetCsont bien des points de la paraboleP .b.La tangente à la parabolePpoint au Cest-elleparallèle à l’axeሺOIሻ? Justifier. Que peut-on dire du raccordement au pointCentre l'arc de la paraboleP et le segment[CD]? c.On admet que la tangente à l'ellipseau pointBa pour équationݕ =Ͳ,ͺݔ + ͷ. Que peut-on dire du raccordement entre l'arc de parabole et l'ellipseau pointB? Justifier. d.Donner une représentation paramétrique du demi-cercle de diamètre[DE].
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Partie B : nouveau modèle de montre-bracelet Afin de réduire la partie métallique et de lisser l'objet, le styliste souhaite ne conserver que le cercle en métal. Pour le bracelet, il veut relier les pointsAetCpar la courbeC représentant la fonction݃ଷ ଶ définie, sur l’intervalle[Ͳ ; ͺ], parݔ=ܽݔ++ݔܾ݀+ݔܿ݃ܽ,ܾ,ܿet݀sont des réels. 1.Donner l'expression de la fonction݃′dérivée de la fonction݃. 2.On souhaite que les tangentes à la courbeC aux pointsAetCsoient parallèles à l’axeሺOIሻ. a.Donner݃ሺͲሻ,݃′ሺͲሻ,݃ሺͺሻet݃′ሺͺሻ. b.En déduire un systèmed’équationsvérifié parܽ,ܾ,ܿet݀. c.Résoudre ce système. ͳ ͵ ଷ ଶ 3.On admet que pour tout réelݔdel’intervalleͺ][Ͳ ; ,͵ݔ  ݔ + ݃ሺݔሻ = . ͳʹͺ ͵ʹ a.Compléter le tableau de valeurs donné enannexe 2 à rendre avec la copie. On arrondira les résultats au dixième. b.Tracer la courbeC dans le repère donné enannexe 2 à rendre avec la copie. Compléter la figure pour obtenir le nouveau modèle de montre-bracelet.
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EXERCICE 2 (7 points) Le palais de l'Alhambra à Grenade est réputé pour ses ornements muraux représentants différents pavages du plan. L'un des plus célèbres est représenté ci-dessous. Il est constitué de motifspajarita.
Partie A : construction d'un motifpajaritaà partir d'un triangle équilatéral On veut compléter la figureconstituée d’un triangle équilatéralABCdel'annexe 3 à rendre avec la copieafin de construire le motifpajaritareprésenté ci-contre. 1.Placer les pointsA′,B′etC′milieux respectifs des segments[BC],[AC]et[AB]. 2.Construire les droitesΔ,Δ′etΔ′′médiatrices respectives des segments[AB′],[BC′]et[CA′]. On note : -Ile point d'intersection deΔetΔ′-Jle point d'intersection deΔ′etΔ′′-Kle point d'intersection deΔ′′etΔ. 3.Construire les arcs de cercle, internes au triangle ABC, de centres respectifsI,JetKet reliant respectivement les pointsBetC′,CetA′etAetB′puis leurs symétriques respectifs par rapport aux pointsC′,A′etB′pour obtenir le motifpajarita.
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Partie B : quelques propriétés géométriques On considère le motifpajaritaobtenu à partir du triangle équilatéralABC, construit dans lapartie Aet représenté ci-contre. Les sommets de ce motifparajitasont les pointsA,BetC. Les pointsI,JetKconstruits dans la question2.de la partie Asont les centres respectifs des arcs de cercle reliant les pointsBetC′,CetA′etAetB′. 1.Tangente commune a.Sur quel segment de la figure ci-contre se trouve le centre de l'arc de cercle reliant les pointsB′et C ?Justifier. b.Prouver que les arcs de cercle reliant les pointsAetB′etB′etCont la même tangente au pointB′. Justifier. 2.Tangente au sommet a.Justifier que les droitesሺA′B′ሻetሺIJሻsont perpendiculaires. ̂ b.En déduire que l'angleB′CJest droit. c.Quelle est la tangente enCà l'arc reliant les pointsA′etC? Justifier.Partie C : pavage du plan 1.Par quelles transformations peut-on obtenir le pavage del'annexe 3 à rendre avec la copieà partir du motifpajarita? Pour définir ces transformations, placer les points nécessaires sur la figure del’annexe 3à rendre avec la copie. 2.Un carreleur souhaite recouvrir un mur de motifspajarita. Pour des questions pratiques, il veut utiliser des carreaux de forme hexagonale. a.Surl'annexe 3 à rendre avec la copie, dessiner soigneusementun exemple d’hexagone régulier, le plus petit possible, dont les sommets soient des sommets de motifspajaritaet qui permette de paver le plan. b.Par quelles transformations peut-on obtenir le pavage del'annexe 3 à rendre avec la copieen utilisant ce motif hexagonal ?
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EXERCICE 3 (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des cinq questions,une seule des quatreréponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point.Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. 1.On notelogla fonction logarithme décimal. Le nombre réellogሺͳͲ × ʹ,ʹሻest égal à : ͹,ʹͷ × logሺʹ,ʹሻͷ + logሺʹ,ʹሻͷ,͵Ͷ 2.On considère le cubeABCDEFGHd'arête͵représenté ci-contre.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Le produit scalaireCA ⋅ EHest égal à : ͻ͵√͵ 3.La solution de l'équationͺ + ʹݔ =ʹͲest :
ͳ,ͺͳ͹
−ଷ ͸
ͻ
ʹ
4.On considère le triangleABCci-contre. ̂ Le cosinus de l'angleBACest égal à : ଻ ଵ ͻ଼ ସ 5.Toutes les faces du tétraèdre régulierABCDreprésenté ci-contre sont des triangles équilatéraux.Hest le centre de gravité de la faceBCD.
Le tétraèdreABCDest invariant par la rotation d'axeሺAHሻet d'angle :
ͻͲ°
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ͳʹͲ°
͸Ͳ°
͵√͵
͸
ଵଵ ଵ଺
ͳͺͲ°
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Annexe 1
7/9
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ݔ݃ሺݔሻ
0
Annexe 2 à rendre avec la copie 1 2 3 4 5
6
7
8
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Annexe 3 à rendre avec la copie EXERCICE 2Partie A
EXERCICE 2Partie C
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