Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA

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Cours
de
mathématiques fondamentales 1année, DUT GEA
Mourad Abouzaïd
9
décembre
2008
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Table des matières
Introduction 0 Rappels d’algèbre élémentaire 0.1 Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1 Développer, factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Manipulation des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.2 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.1 Multiplication et division de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.2 Simplification d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.3 Addition de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Systèmes linéaires, programmation linéaires 1.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Les systèmes2×2. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Méthode par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Méthode par combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Les différents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Le Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Objectif du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Opérations autorisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Mécanisme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Les différents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Systèmes d’inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
1.8 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Une méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Le simplexe en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d’une fonction d’une variable réelle 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coût total, coût moyen, coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Coût moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Étude qualitative des différents types de coûts . . . . . . . . . . . . 2.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Interprétation de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Calcul de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Élasticité et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Élasticités croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites 3.1 Définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Définition explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Variations d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Variations d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 32 37 38 41 41 41 41 42 43 43 44 46 47 47 47 48 48 53 53 54 55 55 56 57 57 57 58 58 58 59 59 59 60 61 61 61 62 62 63
TABLE DES MATIÈRES
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4.2
Fonctions exponentielles et logarithmes 4.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Deux fonctions exponentielles particulières . Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . 4.2.3 Le logarithme népérien . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Changement de base d’exponentielle . . . . Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes
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TABLE
DES
MATIÈRES
Introduction
Beaucoup de problèmes concrets, notamment en terme de gestion peuvent se traduire en problèmes mathématiques. C’est ce que l’on appelle la mise en équation. On dispose alors de toute une batterie d’outils et de techniques mathématiques pour résoudre ce pro-blème. Dans ce cours, on commencera par revoir quelques techniques de calcul de base, indispensable à n’importe quelle étude mathématique. On verra ensuite trois outils parti-culiers, et quelques applications :
– les systèmes linéaires, que l’on appliquera à la progression linéaire (un problème d’optimisation), les fonctions d’une variable réelle (continuité, dérivée, fonctions usuelles), que l’on appliquera à des problèmes d’analyse marginale et d’élasticité. – les suites arithmétiques et géométriques que l’on appliquera à du calcul d’intérêts.
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TABLE
DES
MATIÈRES
0 Rappels d’algèbre élémentaire
0.1 Calcul algébrique Faire du calcul algébrique, c’est utiliser toutes les règles que l’on vient de voir, en utili-sant, soit des chiffres, soit des lettres, soit (bien souvent...) les deux. Les lettres représentent alors des inconnues, ou des paramètres, et doivent être traités comme des chiffres (dont on ne connaît pas la valeur).
0.1.1 Développer, factoriser Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit. Pour cela, il faut commencer par trouver un facteur commun àtousles termes de la somme que l’on veut factoriser. Ainsi, a×b+a×c=a×(b+c)Exemples: 1.6x+ 3y= 3×2x+ 3y= 3(2x+y). 2.3(x1)(x+ 2)(x1) = (x1)(3(x+ 2)) = (x1)(x+ 1).
Développer une expression, c’est transformer un produit en somme (c’est l’opération inverse de la factorisation). Ainsi : a×(b+c) =a×b+a×c
Et de façon plus générale : (a+b)×(c+d) =ac+ad+bc+bd Exemples: 1.3(2x1) = 6x32.5[12(1a)] = 510(1a) = 510 + 10a= 10a53.(x1)(x2) =x22xx+ 2 =x23x+ 24.(x3)(x+ 3) =x2+ 3x3x9 =x29
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TABLE DES MATIÈRES
10 0.1.2 Identités remarquables Pour rendre les calculs plus rapide, il existe certaines identités qui doivent être connues : les identités remarquables. (Notons que si on ne les connaît pas, on peut les retrouver à l’aide des règles de calcul que l’on vient de voir... ). Elles sont au nombre de trois :
1.(a+b)2=a2+ 2ab+b2ATTENTION 2.(ab)2=a22ab+b2on voit bien ici qu’en particulier 3.(a+b)(ab)=a2b2(a+b)26=a2+b2
Exemples: 1(x+ 5)2=x2+ 10x+ 254x2+ 12x+ 9 = (2x+ 3)22(4xy)2= 16x28xy+y2 x214x+ 49 = (x7)23(23x)(2 + 3x) = 49x2 x21 = (x1)(x+ 1)(3x1)29 = (3x13)(3x1 + 3) = (3x4)(3x+ 2). Si l’on veut développer des expressions du type(a+b)npour un entiernplus grand que 2, on pourra utiliser ces identités remarquable, et le fait que(a+b)n= (a+b)×(a+b)n1. Exemples: 1.(a+b)3= (a+b)(a+b)2= (a+b)(a2+ 2ab+b2) =a3+ 3a2b+ 3ab2=b32.(x1)4= (x1)2(x1)2= (x22x+ 1)(x22x =+ 1)  =x44x3+ 6x24x+ 1.
Remarque: il existe une formule générale pour développer les expressions du type (a+b)nbinôme de Newton, qui fait notamment intervenir lesappelé coefficients binomiaux.
0.2 Manipulation des puissances La puissance (ou l’exposant) est une notation. Ainsi, siaest un nombre etnun entier, anest le produit deapar lui mêmenfois. an=a×a×  ×a  | {z } nfois
0.2.1 Règles de calcul Soientaetbdes nombres réels et soientmetndes entiers.
0.3. FRACTION
am×an=am+n(a×b)m=am×bm amam=bamm =am n anb En particulier,aier,am=a1m 1=a1En particul1
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Attention: il n’y a pas de formule simple pour exprimer(a+b)n... Exemples: 1.(x2)3+ (x3)2=x6+x6= 2x6. 2.(x+x+x)2= (3x)2= 32x2= 9x2. Pour pour factoriser une somme dont les termes contiennent des puissances, l’exposant donne le nombe de facteurs indentiques. Ainsi, si une expression apparaît dans plusieurs termes à des puissances différentes, le facteur commun est l’expression en question à la plus petite puissance. Exemples: 1.x3x2=x2(x1). 2.18x4+ 24x3+ 12x5= 6x3(3x+ 4 + 2x2). 0.2.2 Racines carrées 1 La racine carrée peut être vue comme une puissance12:a=a2Ainsi, toutes les . formules que l’on vient de voir pour les puissances entières s’appliquent à la racine, vue comme une puissance. En particulier, on aa×b=a×b. De plus, on n’a pas de formule simple poura+b. 0.3 Fraction Une fraction est un quotient (une division)abaetbsont des entiers (bétant évidement non nul). l’entieraest lenumérateuret l’entierbest ledénominateur. Remarque: siaest plus petit queb, la fractionabest plus petite que1. Siaest plus grand queb, la fractionbaest plus grande que1. 0.3.1 Multiplication et division de fractions Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux. a c a×c = b×d b×d
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