EXERCICES DE MATHEMATIQUES Filière SV

698 lecture(s)

EXERCICES DE MATHEMATIQUES Filière SV

Commenter Intégrer Stats et infos du document Retour en haut de page
oxibawas
publié par

s'abonner

Vous aimerez aussi

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques 2005-2006
EXERCICES
DE MATHEMATIQUES
Semestre 1
Filière SV
1
2
Introduction
Ce recueil d’exercices permet aux étudiants motivés de pouvoir chercher des exercices, à leur rythme, chez eux. En effet, la meilleure façon d’apprendre un cours de mathématiques est la recherche personnelle, qui s’avère difficile lorsque les exercices s’enchaînent un peu trop vite en séance de TD. L’étudiant en difficulté doit absolument relever quelles sont ses lacunes, et essayer de les combler à l’aide de ses anciens cours, ou bien d’ouvrages de la bibliothèque. Dans ce polycopié certains exercices sont plus difficles que d’autres. Tous ne seront pas fait en TD, et d’autres, non présents ici, pourront être donnés en TD. C’est au chargé de TD de s’adapter au niveau moyen du groupe et aux différentes difficultés rencontrées lors des résolution des exercices. Le cours a encore évolué en 2005, il s’agit maintenant du programme du LMD. Il est moins théorique et plus étendu que l’an dernier. On n’insiste plus sur la formule du binôme (donc sur la formule de Leibniz), même si il est intéressant de la voir lors d’un TD, l’étude des fonctions est plus sommaire, la décomposition en éléments simples a disparu, des fonctions réciproques il ne reste que les trigonométriques. En revanche les nombres complexes font leur apparition et je compte bien cette année aborder le chapitre des équations différentielles. J’ai divisé ce cours en cinq chapitres : 1. Calculs et nombres complexes 2. Dérivées et primitives 3. Fonctions réciproques trigonométriques. 4. Approximations locales. 5. Équations différentielles Des extraits de partiels figurent à la fin du polycopié. Attention, beaucoup d’exercices de partiels ne sont plus au programme !
Chapitre 1
Calculs et nombres complexes
Exercice 1.1 Écrire sous forme a + ib (forme algébrique) les complexes suivants : 2 (1 i )(1 + 2 i )  i  313 i ! (3 2 i ) 2 11+ 22 ii4 i 3 i Exercice 1.2 Pour quelles valeurs du nombre réel x , le nombre z = (10 x + i (2 + x ))( x i ) est-l un nombre réel ? Exercice 1.3 Dans le plan complexe on considère le point A de coordonnées ( 1; 0) . 1. Prouver que l’affixe de A est solution de l’équation : z 3 5 z 2 + 19 z + 25 = 0 ( E ) 2. Résoudre dans C l’équation ( E ) 3. B et C sont les poins dont les affixes sont les autres solutions de ( E ) . Construire le triangle ABC et démontrer qu’il est rectangle isocèle. Exercice 1.4 Simplifier l’expression : n B = X ( a k +1 a k ) k =1 On pourra imaginer que a k désigne la taille à k ans Exercice 1.5 1. Résoudre dans R : 8 x 4 8 x 2 + 1 = 0 2. Résoudre dans R : cos 4 z = 0 3. Exprimer cos 4 z en fonction de cos z . 4. En déduire les valeurs de cos 8 π et cos 38 π Exercice 1.6 Résoudre dans R l’inéquation suivante : 1 > x x On vérifiera graphiquement le résultat. Exercice 1.7 Résoudre dans R les inéquations suivantes : 1. x 2 2 x + 3 x 1
3
4 2. 3 x ≤ − 2 3. | x 3 | > | x + 7 | 4. e cos x ≥ − 1 Exercice 1.8 1. Résoudre dans R le système suivant :
CHAPITRE 1. CALCULS ET NOMBRES COMPLEXES
y = 520 l x og+ x + log y = 4 2. Résoudre dans R l’équation suivante : 8 6 x 3 × 8 3 x 4 = 0 . 3. Soit m R . Résoudre dans R les équations suivantes : e x + e x = m e x e x = m Exercice 1.9 Soit f ( x ) = q x + 2 x 1 + q x 2 x 1 1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f . 2. Simplifier f ( x ) en distinguant les cas x 2 et 1 x 2 . (Indication : calculer ( x 1 + 1) 2 ...) Exercice 1.10 Résoudre dans R les équations suivantes : 1. x 3 7 x 6 = 0 2. | − x | = 2 3. e x 2 = ( e x ) 2 Exercice 1.11 Déterminer un module et un argument des nombres complexes suivants : 1 3 1 + i 3 z 1 = 1 + i  z 2 =1 i  z 3 = 1 + i Exercice 1.12 Soit z 1 = 1 + i et z 2 = 3 i . 1. Calculer le module et un argument de z 1 et z 2 . 2. Écrire sous forme algébrique et trigonométrique le produit z 1 z 2 . 3. En déduire les valeurs de cos 1 π 2 et sin 1 π 2 .
Chapitre 2
Dérivées et primitives
Exercice 2.1 Calculer les limites suivantes : x 1 1 x li m 1 11 xx 73 l x i m 2 x 2 4 x li m 0 + r 1 + 1 x r x 1l x i m 1 x 11 x 3 3 1 lim 2 x + 1 3 x 4 x 2 2l x i m 0 (1 x 2 e x +) x si 3 n x
x + p x + 3 x lim x 2 + 2 sin x 12 lim x 6 π 4 cos 2 x 3 li tan x sin x x m 0 sin 3 x 2
Exercice 2.2 Calculer les limites suivantes : li sin x 2 lim x 3 (lsni(n1 x +) 4 x ) l x i m 0 x (tasnin x ( x 4 s)in x ) l x i m 0 e 4 x 2 1 x m 0 x + 3 x x 0 ln(cos x ) 4 x + n 1 x x l i + m 1 l x ++21 x li m π x sin x πl x i m 0 x 4 2+ x 3 3 x + 2 x + 2 xx l i + m ln 3( e 7 x 2 x 2 )5+ x 2 4 x Exercice 2.3 Etudier la limite, lorsque x tend vers l’infini, de x ( x 2 + m x ) , où m est un paramètre réel. Exercice 2.4 Injection d’un médicament : A. Présence du médicament dans le sang Un médicament est injecté par voie intramusculaire. Il passe du muscle au sang, puis est éliminé par les reins. On désigne par f ( t ) la quantité de médicament (en millilitres) contenue dans le sang à l’instant t (en heures). Une étude a permis de constater que pour tout t de [0 + [ , on a : f ( t ) = q ( e 0 5 t e t ) t = 0 correspond à l’heure de l’injection et q est la quantité de médicament injectée. 1. Etudier les variations de la fonction f sur [0 + [ . 2. Dresser le tableau des variations de f en précisant la limite en + . B. Contrôle des effets du médicament La quantité contenue dans le sang ne doit pas dépasser la valeur s M = 2 6 , appelée seuil de toxicité , et le médicament est efficace si la quantité présente dans le sang est supérieure à la valeur s m = 1 2 , appelée seuil d’efficacité . 1. Déduire de la question A, les valeurs que l’on peut donner à q pour qu’à aucun moment la quantité présente dans le sang ne dépasse s M . 5
6 CHAPITRE 2. DÉRIVÉES ET PRIMITIVES 2. On suppose que q = 10 . Dans un repère orthonormé, tracer la courbe de la fonction f obtenue dans ce cas. 3. Déterminer graphiquement l’intervalle de temps pendant lequel le médicament est efficace. Exercice 2.5 Vrai ou faux ? 1. La dérivée de f ( x ) = cos 2 x est f 0 ( x ) = sin 2 x . 2. Si f est dérivable sur ]0 2[ et si f 0 (1) = 0 , alors f admet un maximum ou un minimum en 1 . Exercice 2.6 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f ( x ) = sin(cos x ) h ( x ) = cos(sin x ) g ( x ) = ln( x 2 ) k ( x ) = ln (ln( x )) l ( x ) = acxx ++ bdm ( x )=1+1ta n x x 2 n ( x ) = sin cos( x 2 ) o ( x ) = e e x
Exercice 2.7 Calculer f 0 en fonction de g 0 dans les différents cas suivants : f ( x ) = g ( ax + b ) f ( x ) = g ( a + g ( x )) f ( x ) = g ( x + g ( a )) f ( x ) = g ( x + g ( x )) f ( e x +2 ) = g ( x 3 ) Exercice 2.8 Calculer les intégrales suivantes en précisant dans quels cas les bornes sont valables : Z 02 3 t t dt ; Z 03 tt 2 d + t 1; Z 0 π 2 cos 2 ( x ) dx ; c a b R ZZ 01 tπl 2 nc x o d s 3 x ( x p ) o s u i r n( tx ) d R x ;; ZZ 001 x t t 2 a t n++ n ( t 1 t)+2 d 1 tdt ; Z p ab ou ( r 2 xx 1 1 R ) n e d t xn a = ve 1 2 3 Exercice 2.9 Soient les fonctions f ( x ) = x 2 2 et g ( x ) = 1+1 x 2 définies pour x R . – Tracer les courbes représentatives de f et g . En quels point sont-elles sécantes ? – Calculer l’aire de la région délimitée par les deux courbes précédentes et les droites d’équations x = 0 et x = 1 . Exercice 2.10 On note : I 1 = Z 0 π c Z π sin 2 x dx os 2 x dx I 2 = 0 0 I 3 = Z 2 π sin 2 x dx I 4 = Z π 2 π sin 2 x dx – En utilisant le changement de variable u = x + π , montrer que I 3 = I 4 . – En utilisant le changement de variable v = π 2 x , montrer que I 1 = I 2 . – Calculer I 1 .
7
Exercice 2.11 On pose, pour n N , π = Z 0 2 cos n t dt I n 1. Calculer I 0  I 1  I 2 . 2. Trouver une relation entre I n et I n +2 3. En déduire une expression de I 2 p et de I 2 p +1 . Exercice 2.12 A l’aide des formules d’Euler, calculer Z ππ (2 x ) cos(4 x ) dx cos Puis, pour p cule Z π  q Z , cal r cos( px ) cos( qx ) dx . π Exercice 2.13 Pour x R , on considère les deux intégrales Z 0 x dt A = Z 0 x e t sin(2 t A = e t cos(2 t ) ) dt En effectuant des intégrations par parties, trouver des relations entre A et B . En déduire leurs valeurs. Exercice 2.14 Après un repiquage au temps zéro, on contrôle la vitesse de croissance d’une population bactérienne. Cette vitesse y ( t ) varie en fonction du temps t (en minutes) et peut s’exprimer sous la forme : y ( t ) = 1 + ( t 1) e t 2 – Calculer la primitive N ( t ) de y ( t ) qui vaut N (0) à l’instant t = 0 . – Que représente N ( t ) ? Si N (0) = 100 , que vaut N (6) ? On donne e 4 = 54 60 et e 2 = 0 14 . Exercice 2.15 Prouver que si x 0 4 π , alors 2 2 x sin x x π En déduire un encadrement de l’intégrale : Z 0 7 sin t dt 0 3 Exercice 2.16 Calculer les intégrales suivantes : π 4 Z 2 π π 10 (1 + cos t + cos 2 t ) dt ; Z 3 π sin 3 t dt ; Z 13 x 2 2 x x 1+1 dx ; xe x 2 dt Z 3 x 3 ln x dx ; Z 01 t 2 e t dt ; Z 01 3 Exercice 2.17 Soit F l’application de R ? + dans R définie par 1 n t 1 dt + Z 1 x t 1 2 sin t sin t 1 dt F ( x ) = Z 1 x sin t si Calculer F 0 ( x ) . Que peut-on en déduire pour F ?
CHAPITRE 2. DÉRIVÉES ET PRIMITIVES
8 Exercice 2.18 Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [ a b ] , oú a b sont deux réels. Quel est le signe de R ab [ f ( t ) + λg ( t )] 2 dt pour λ R ? En déduire l’inégalité suivante : "Z ab f ( t ) g ( t ) dt # 2 Z ab [ f ( t )] 2 dt !Z ab [ g ( t )] 2 dt !
(on pourra développer R ab [ f ( t ) + λg ( t )] 2 dt et la considérer comme un trinôme du second degré en λ .)
Chapitre 3 Fonctions réciproques
3.1 Questions de cours Exercice 3.1 Vrai ou faux ? 1. La fonction f : x x 2 n’est pas une bijection de R dans R , mais est une bijection de R + dans R + . 2. La fonction f ( x ) = 3 x +1 est une bijection de R dans R dont la bijection réciproque est f 1 ( ) = x 1 . x 3 3. La fonction x arcsin x est définie sur ] π 2  π 2 [ . 4. La fonction f ( x ) = arccos x est dérivable sur ] 1 1[ et pour tout x ] 1 1[ , f 0 ( x ) = 1 +1 x 2 . 5. Pour tout x R , arcsin(sin x ) = x . Interprétation graphique Les graphes suivants peuvent-ils être les graphes de deux fonctions f et f 1 ?
Exercice 3.2 Soit f la fonction définie sur R par : e 2 x +2 si x < 1 x 2 + 2 x + 3 si x > 0 f ( x ) = 2 x + 3 si 1 x 0 1. Tracer son graphe. 2. Montrer que f est continue et strictement croissante. 3. Donner les formules définissant sa fonction réciproque g et tracer le graphe de f et de g . 4. Étudier la dérivabilité de f et de g . Exercice 3.3 1. Démontrer que la fonction réciproque d’une fonction impaire est impaire. 9
10 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉCIPROQUES 2. Pourquoi ne peut-on pas parler de la fonction réciproque d’une fonction paire ? Exercice 3.4 x Soit f la fonction définie par x R , f ( x ) = 1 + ee x . Montrer que f est continue, bijective et déterminer sa réciproque f 1 . Exercice 3.5 On appelle « logarithme décimal » une fonction, notée log , proportionnelle à la fonction « logarithme népérien » (notée ln ) et telle que log 10 = 1 . 1. Montrer que x > 0 lln1 x 0 og x =ln 2. Soit x > 1 trouver une relation entre le nombre de chiffres de x et la partie entière de log x . 3. Soit x < 1 , trouver une relation entre le nombre des zéros initiaux de x et la partie entière de log x . 4. Déterminer, si elle existe, la fonction réciproque de log . Exercice 3.6 Soit f la fonction définie par : 1 = arctan x + arctan f ( x ) x 1. Déterminer son ensemble de définition, et étudier sa parité. 2. Calculer sa fonction dérivée. Que peut-on en conclure ? Exercice 3.7 On pose f ( x ) = arctan x + arctan 2 x pour x réel. 1. Étudier la fonction f et en tracer la représentation graphique. 2. Montrer que f est une bijection de R sur un intervalle que l’on précisera. On notera g son application réciproque. Sans aucune étude de g , tracer sa représentation graphique dans le même repère que f . F E a x ir e e r l c i é c t e ud 3 e .8 complète et tracer le graphe de la fonction définie par f ( x ) = arcsin 12+ xx 2 . Exercice 3.9 Montrer : Exercice 3.10 Montrer : Exercice 3.11 Démontrer que : cos (arctan x ) = 11+ x 2 Trouver de même une expression pour sin (arctan x ) . Exercice 3.12 Comparer les fonctions f ( x ) = arcsin p 1 x 2 et g ( x ) = arccos x Exercice 3.13 Simplifier : f ( x ) = arccos r 1+c2os x g ( x ) = arctan( cotan 2 x )
arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π arcsin 45 = 2 arctan 21
Chapitre 4
Approximations locales
Exercice 4.1 1. Opérations sur les développements limités Soient f et g deux fonctions dont le développement limité à l’ordre 1 en 0 est donné par f ( x ) = 1 + 3 x + ( x ); g ( x ) = 2 + x + ( x ); Donner le développement limité à l’ordre 1 en 0 des fonctions suivantes : f + 4 g f g f 2  f g g f f g 2. Limites usuelles Retrouver à l’aide des développements limités les limites usuelles, à savoir sin x lim x = 1 x li m 0 1 c 2 os x =12 lim ln(1 x + x ) = 1 x li m 0 e x x 1 = 1 x 0 x x 0
3. Une erreur classique Dans un examen, on demandait de donner le développement limité de la fonction f ( x ) = e cos x à l’ordre 3 en 0 . Un étudiant donnait comme réponse f ( x ) = 3 + 4 x 5 x 3 + x 3 ε ( x ) Expliquer pourquoi le correcteur s’est immédiatement rendu compte que le résultat est faux. Exercice 4.2 1. Ecrire un encadrement de sin(0 1) en utilisant la formule de Taylor à l’ordre 4. 2. Donner une valeur approchée à 10 2 près de ln( 23 ) et de e à 10 3 près. Exercice 4.3 En appliquant le théorème de Taylor-Lagrange, montrer que : x R  e x 1 + x x > 0 ln(1 + x ) > x x 2 2 x ]0 2 π ] sin x > x x 6 3
Exercice 4.4 1. Calculer un DL 4 de x 7→ e 2 x -en élevant au carré celui de x 7→ e x
11
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.