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FORMULE DE STIRLING
On considère la suite (u ) définie par :n n
n
n! eu = n
nn
*
Il est clair que : n , u > 0n
*
Posons, pour n , v = ln(u )n n
*
Étudions, pour n :
1 n+n u (n + 1)! n n n 1 12n+1
v v = ln = ln e = ln e = 1 n + ln 1 +n+1 n n+1u 2n ! n + 1 n + 1 nn (n + 1)
1 1 1 1
Or, on sait que : ln 1 + = + O
2 3nn 2n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
D'où : v v = 1 n + + O = 1 1 + + + O = On+1 n 2 3 2 2 22 n 2n 2n2n n 4n n n
1
Or, la série de terme général converge. Donc la série de terme général v v également.n+1 n2
n
Il en va donc donc de même de la suite (v ) et donc de la suite (u ).n n
vnEt comme u = e , la suite (u ) converge vers un certain réel > 0. (Puisque (v ) converge)n n n
On a donc : u ~n
+
n
nC'est-à-dire : n! ~ n
+ e
On détermine à l'aide d'un équivalent connu dans lequel intervient des factorielles, comme par exemple
l'équivalent des intégrales de Stirling :
n2I = cos t dtn
0
On connaît les deux résultats suivants (voir, par ailleurs, les résultats sur les intégrales de Wallis)) :
I ~n
+ 2n
(2n)!
I = 2n 2n 2 22 (n!)
2n 2n
(2n) e 2n
En conséquence : ~
2n n n 2+4n 22 ( n e n)
D'où ~ 2
+
Et par passage à la limite lorsque n tend vers l'infini :
= 2
n
n
Conclusion : n! ~ 2 n
+ e
Formule de Stirling Page 1 G. COSTANTINI