FORMULE DE STIRLING Démonstration

 · p  p       -  -   ¥      ¥    -  - ˛ p  ¥ - p · p  p * ¥    p       -     p  
  ¥ -     ¥   - -     ·    ˛     ·     -              -                  ˛  ˛ 
 "   FORMULE DE STIRLING On considère la suite (u ) définie par :n n n n! e
u = n nn * Il est clair que : n , u > 0n * Posons, pour n , v = ln(u )n n * Étudions, pour n : 1
n+n
u
(n + 1)! n n n 1 12n+1


v v = ln = ln e = ln e = 1 n + ln 1 +n+1 n n+1u 2n ! n + 1 n + 1 nn (n + 1) 1 1 1 1

Or, on sait que : ln 1 + = + O 2 3nn 2n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1




D'où : v v = 1 n + + O = 1 1 + + + O = On+1 n 2 3 2 2 22 n 2n 2n2n n 4n n n 1 Or, la série de terme général converge. Donc la série de terme général v v également.n+1 n2 n Il en va donc donc de même de la suite (v ) et donc de la suite (u ).n n vnEt comme u = e , la suite (u ) converge vers un certain réel > 0. (Puisque (v ) converge)n n n On a donc : u ~n + n n
C'est-à-dire : n! ~ n + e On détermine à l'aide d'un équivalent connu dans lequel intervient des factorielles, comme par exemple l'équivalent des intégrales de Stirling : n2I = cos t dtn 0 On connaît les deux résultats suivants (voir, par ailleurs, les résultats sur les intégrales de Wallis)) : I ~n + 2n (2n)! I = 2n 2n 2 22 (n!) 2n 2n (2n) e 2n En conséquence : ~ 2n n n 2+4n 22 ( n e n) D'où ~ 2 + Et par passage à la limite lorsque n tend vers l'infini : = 2 n n
Conclusion : n! ~ 2 n + e Formule de Stirling Page 1 G. COSTANTINI