Quelles démonstrations pour le théorème de Pythagore ?

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Quelles démonstrations pour le théorème de Pythagore ? lundi 7 février 2011 parAlain BERNARD,Brigitte ROUSSEL Quelles démonstrationspour le théorème de Pythagore ? Ungrand théorème mériteplusieurs démonstrations. Plusieurs civilisations se sont intéressées à cette propriété des triangles rectangles. Alors : chinoise, arabe,grecque ou européenne,quelles approches" '·XQSRLQW GH YXH épistémologique, comment ces différentes approchespeuvent-elles influencer une démarche SpGDJRJLTXH HW GLGDFWLTXH GDQV O·HQVHLJQHPHQW RX O·XWLOLVDWLRQ GH OD SURSULpWp GH 3\WKDJRUH? PREMIÈRE PARTIE 81 3(8 '·+,672,5( $87285 '8 7+eORÈME DE PYTHAGORE Un théorème aussi important que le théorème de Pythagore a un avant, un pendant et un après. (QYLURQ DQV G·KLVWRLUH DX WRWDO $YDQW QRXV pWXGLHURQV XQH WDEOHWWH EDE\ORQLHQQH GDWpH YHUV1800 etquelquepeu étonnante. Pendant, ily D WRXWH XQH KLVWRLUH GH O·DXWHXUSUpVXPp GX WKpRUqPH MXVTX·j OD IRUPH OpJXpHSDU (XFOLGH DQVSOXV WDUG $SUqV LO D ELHQ IDOOX GHV WUDGXFWHXUV HW GHV transmetteurs. Tout cela agrémenté de démonstrations utilisables au collège. Le problème Voici unepropriété (évidente ?) du triangle rectangle isocèle : le carré construit sur sa base est égale à OD VRPPH GHV FDUUpV FRQVWUXLWV VXU OHV F{WpV GH O·DQJOH GURLW Pourdémontrercette propriété, nous allons nous contenter de découper les triangles-unités. Nous vérifionsque nous avons de chaque côté le même nombre de triangles-unité, à savoir 4.
Publié le : vendredi 13 novembre 2015
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Quelles démonstrations pour le théorème de Pythagore ?
lundi 7 février 2011 parAlain BERNARD,Brigitte ROUSSEL
Quelles démonstrationspour le théorème de Pythagore ? Ungrand théorème mériteplusieurs démonstrations. Plusieurs civilisations se sont intéressées à cette propriété des triangles rectangles. Alors : chinoise, arabe,grecque ou européenne,quelles approches? D’unpoint de vue épistémologique, comment ces différentes approchespeuvent-elles influencer une démarche pédagogique et didactique dans l’enseignement ou l’utilisation de la propriété de Pythagore?
PREMIÈRE PARTIE: UN PEU D’HISTOIRE AUTOUR DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
Un théorème aussi important que le théorème de Pythagore a un avant, un pendant et un après. Environ 3000 ans d’histoire au total. Avant, nous étudierons une tablette babylonienne datée vers-1800 etquelquepeu étonnante. Pendant, ilya toute une histoire de l’auteurprésumé du théorème jusqu’à la forme léguéepar Euclide 300 ansplus tard. Après, il a bien fallu des traducteurs et des transmetteurs. Tout cela agrémenté de démonstrations utilisables au collège.
Le problème
Voici unepropriété (évidente ?) du triangle rectangle isocèle : le carré construit sur sa base est égale à la somme des carrés construits sur les côtés de l’angle droit.
Pourdémontrercette propriété, nous allons nous contenter de découper les triangles-unités. Nous vérifionsque nous avons de chaque côté le même nombre de triangles-unité, à savoir 4. Les nombres et les mesures sont pratiquement inutiles !
Conjecture : la propriété reste vraie si le triangleest rectangle mais n’est plus isocèle.
Avant Pythagore
Et même bien avant Pythagore puisque nous sommes environ 1300 ans auparavant. Une tablette incroyable, conservée pendant 3000 ou 4000 ans dans le désert et maintenant à l’université de Yale, montre l’habileté d’au moins un homme de Mésopotamie dans le tracé du carré et de ses diagonales ainsi que leurs mesures. Un artiste !
Cette tablette est unique. Elleporte sur le côté du carré sa mesure 30 soit 0,5 en
base 60. Sur la diagonale on peut lire 1 24 51 10, ce qui donne Et sous cette inscription 42 25 35, c’est-à-dire 0 plus 42 soixantièmes, etc.
.
Vous avez deviné. Une utilisation du futur théorème de Pythagore. Dans le triangle isocèle de côté 30 soixantièmes, la diagonale mesure 0 42 25 35. Et nous avons enprime une excellente valeur
approchée de
. Difficile à croire, n’est-il pas ?
Nous nepouvonspas en déduire des choses trèsprécises sur l’organisation del’école. Simplement, 1800 ans avant, en Mésopotamie, un homme avait compriscomment mesurer la diagonale d’un carré. Et il avait eu l’heureuse idée degraver son résultat sur une tablette d’argile.
Pythagore de Samos (580-500)
Tout est nombre (Pythagore).
À ce voisin,dans le temps comme dans l’espace,de Thalès,on attribue la démonstration du théorème de l’angle droit. Depuis la haute antiquitéjusqu’à nosjours, sur les chantiers de par le monde, il est une méthodecommodepour implanter un angle droit. Vousprenez une corde à 13 nœuds. Elle délimite 12 segments égaux. Tendez bien la corde et vous aurez un angle droit. Pythagore a transformé cette vieille connaissance empirique et pratique des maçons en un théorème.
La vie de Pythagore nous serait mieux connueque celle de Thalès. Conditionnel de rigueur. Né à Samos,il aurait connu son célèbre voisin. Il est allé en Égyptepour s’initier à lagéométrie comme cela se faisait en son temps. De retour dans son île, il aurait essayé de se faire une place auprès du tyran local. Samos n’étaitpas une démocratie. Il est certainqu’il aquitté Samospour la Grande Grèce, une colonie du sud de l’Italie. De son plein gré ou chassé?
En Grande Grèce, il a fondé une école entièrement à sa dévotion, très hiérarchisée. Grand Maître entouré de ses disciples comme cela se fait encore, Pythagore ne semble pas avoir été un démocrate, plutôt ungourou. Avec Thalès et Pythagore, nous avons deux versions de lapolitique. Ce dernier connut un certain succès en politique avec ses disciples.
Le théorème de Pythagore est un théorème de construction
L’énoncé porte sur des surfaces, sur les surfaces de carrés.
Théorème :soit un triangle ABC rectangle en A. Alors : le carréconstruitsur l’hypoténuse BC est égal à la somme des carrésconstruitssur les côtés de l’angle droit, AB et AC.
Intéressons-nous à quelques démonstrations du théorème de Pythagore.
La démonstration classique dans les livres anciens est reprise dans lesÉlémentsd’Euclide, toujours lui. La démonstration de Pythagore était-elle la même ? Peut-être. Peut-êtrepas, car la démonstration d’Euclide est assez savante et complexe. Dans l’esprit de Pythagore, l’idée devait être celle d’Euclide, superposer des surfaces. Par contre, leprocédé était sûrement différent. Une façon intéressante deprocéder est le découpage. Souvent une démonstration suggère de découper un ou deux carrés et d’utiliser les morceaux pour reconstituer le dernier carré.
Première démonstration
Legrand carré construit sur AC est égal à la somme des deuxpetits carrés construits sur AB et BC. Certes. Il reste à localiser ces carrés et à mettre enplace une démonstration basée sur lespropriétés des triangles ou sur le découpage et les surfaces superposables.
Deuxième démonstration
Rappelonsque l’exercice consiste à découper les morceaux de triangles et à appliquer laméthode des surfaces superposables,i. e.égales. Après découpage, on se retrouve avec un puzzle de 6 morceaux.
Cepremier voyage nous fait remonter aux débuts de la civilisationgrecque, avant,par exemple, le siècle de Périclès. Nous avons assisté à la naissance de la mathématiquepar démonstration. Ceque certains ont nommé « le miracle grec » a commencé. Nous entrons dans le monde des certitudes en géométrie, sur des objets simplifiés. Les démonstrations de cesgéomètres sontperdues,pas leurs théorèmes, loin de là,puisqu’ils forment toujours le coeur de notre enseignement.Commepar hasard, ces théorèmesprimitifs sont encore et toujours nospremiers théorèmes dans l’enseignement. Nepas en déduirequ’on doit enseigner dans l’ordre historique. Cependant,la construction historique a un ordre et ne pas tenir compte de cet ordre a aussi de graves inconvénients dans certains cas. Le fait estque lespremiersgéomètres ont réglé enpriorité lesproblèmes desparallèles et de l’angle droitpar des résultats sur les mesures de longueurs et de surfaces. Clairement, ces résultats sont définitifs et font partie du patrimoine de l’humanité.
Troisième démonstration
Ces démonstrations furent en fait éclipsées pendant 2000 ans par celle donnée par Euclide vers 300 avant J.-C.,qui fut la référence à travers toutes les civilisations méditerranéennes. Probablement cellequi vous fut enseignée, basée toujours sur l’égalité des surfaces, maispar raisonnement direct sur la figure.
Les deux idées sont les suivantes :
1.
2.
Les triangles DBC et ABF sont égaux.
Le triangle ABF a une aire moitié de celle du rectangle BHGF.
Alors, Pythagore et son école ont-ils démontré le théorème ? Nous ne le saurons probablementjamais. Les informations sont tropindirectes. L’école mystique dugourou Pythagore avait institué une religion autour de la notion de nombre. Le monde était organisé autour des nombres.
La démonstration léguéepar Euclide trois cents ans après Pythagore sera reprisepar tous ceuxqui firent leur apprentissage des mathématiques dans les fameuxÉlémentsd’Euclide. Quand on connaîtla démonstration, elleparait simple etplutôt naturelle. En fait sa rédaction, le discours associé aux faits géométriques,est assez obscure. Le « discours» d’Euclide est difficile à lire. Comme d’habitude,tropde rigueur faitperdre une bonnepartie du sens. Voici par exemple l’avis de Schopenhauer:
Shopenhauer, dans Le monde comme volonté et comme représentation,qualifie cette démonstration d’étrange et d’absurde. Il écrit: «Elle se donne unepeine infiniepour détruire l’évidence,qui lui est propre,etqui d’ailleurs estplus à saportée,pour lui substituer une évidence logique. [...] À nosyeux,la méthode d’Euclide n’est qu’une brillante absurdité. La démonstration boiteuse et même captieuse d’Euclide nous abandonne aupourquoi, tandisque la simple figure, [...] nous fait entrer dupremier coup, et bienplusprofondémentque la démonstration, au cœur même de laquestion: elles nous amène à uneplus intime conviction de la nécessité de cetteproposition et de sa liaison avec l’essence même du rectangle» (Évelyne Barbin,L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes,chinoises, européennes et indiennes, p. 340).
En résumé,pour ungéomètre, la figure a une force depersuasionque n’apas le texte. Le texte est indispensablepuisqu’ilporte la démonstrationque nous ne savonspas faire avec la seule figure. Mais la figureporte les faits et le texte seul n’a aucun sens. Toute la difficulté vient du lien entre ces deux langages des mathématiques, du passage de l’un à l’autre.
e Civilisation chinoise : Liu Hui, 3 siècle
La démonstration de Liu Hui. Cette démonstration n’utilisepas de discours,et seulementquatre mots « bleu », « rouge », « sort » et « entre». L’utilisation de couleurs pourrait même réduire cette liste à deux mots : « entre » et « sort ».
Les mots « entre » et « sort » indiquent les mouvements de corps, et les mots « bleu » et « rouge » les mouvements de l’œilquiperçoit lesfiguresqui sont les mêmes. Lafigure de Liu Hui s’obtient de celle de Platon-Schopenhauer par décalage des diagonales. Comme nous pouvons le voir en rétablissant une à une les étapes de la constructionquipart des deux carrés construits sur les côtés du triangle rectangle pour obtenir le carré construit sur la diagonale.
La nécessité de l’énoncé n’estpas indiquéepar le chemin du discours, mais le mouvement et les couleurs suggèrent un cheminement à l’entendement. Entre les démonstrationsgrecque et chinoise, il y a un renversement dufixe et du mobile. Lapremière contemple unefigure immobile et déroule son discours, la seconde repose sur la mobilité de lafigure et offre un direqui n’estpas mobilisé dans un discours. (Évelyne Barbin, L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes, p. 341-342).
Civilisation arabe
Les Arabes sont célèbres pour leur création de l’algèbre et la résolution des équations du second degré. Pourtant, ils nous ont transmis, après traduction, lesÉlémentsd’Euclide etlaplupart des textes de géométrie grecs. Donc, pas de doute, ils étaient aussi excellents en géométrie.
Démonstration d’Ibn-Qurra
Notre second exemple est unpeuplus tardif et concerne Ibn-Qurra (836-901). Nous lui devons cette jolie démonstration du théorème de Pythagore. Saurez-vous retrouver sa démonstration ?
Le triangle ABC est rectangle en B. Ibn-Qurra montre que legrand carré est égal à la somme des 2 petits carrés dont les côtés sont AB et BC.
Le problème du président
Attribué à Paul Painlevé (1863-1933), hommepolitique mais aussi mathématicien, la construction remonte en fait au mathématicien italien Mascheroni (1750-1800) connupour ses résolutions deproblèmes à la règle et au compas. L’Histoire ditque Bonaparte,excellent élève en math,enproposa une démonstration devant l’Académie des sciences.
Unjoli triangle ABC rectangle en A. Ses côtés mesurent a, b, c. Calculer de deux manières différentes e l’aire du trapèze ADEC. Vous disposez de l’écriture algébrique inventéepar Descartes au 17siècle. Déduire de vos calculs le théorème de Pythagore.
Commentaire et conclusion
Cette démonstrationparticulièrement courte et élégante se fait enquelques lignes. Et surtoutpar l’algèbre àpremière vue. Sans les difficiles considérations detriangles égaux où tout apprenantpeu motivé va seperdre. Cette démonstration montre la supériorité de l’algèbre dans ce casprécis. Elle fait fonctionner la clef universelle des mathématiquesqui veutque la géométrie algébrique soit
aujourd’hui le fondement de notre travail et de nos raisonnements. Mais il ne fautjamais sous-estimer ni lagéométrie, ni l’algèbre. À tout moment, on peut être amené à utiliser l’une ou l’autre. Il ne vous aurapas échappé le faitque la démonstration algébrique en trois lignes repose sur le calcul des aires de triangles et d’un trapèze. Clef universelle disions-nous.
SECONDE PARTIE : QUELS SONT LES DOCUMENTS UTILISABLES DANS UNE CLASSE ? QUELS ENJEUX ? POUR QUOI FAIRE ?
Première démonstration
Cette figuregéométriquepermet de visualiserqu’au niveau d’un triangle rectangle,l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit. Les nombres ne sont pas utilisés ici, car les géomètres grecs utilisent les grandeurs.
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique
L’utilisation d’animations «géogébresques » permet :
soit de vérifier visuellement, en bougeant lespièces d’unpuzzlegéométrique,que la conjecture de Pythagore semble vraie :
Créé avecGeoGebra
soit d’effectuer des calculs numériques d’aires et d’émettre une conjecture sur la somme des aires en utilisant la figure :
Créé avecGeoGebra
Cependant, Le paradoxe de Lewis Caroll devrait provoquer un débat intéressant sur la notion de preuve. Ce paradoxe est constitué par le puzzle ci-dessous :
Suivant la manière dont lespièces sont agencées, il sembleque l’onpuisse obtenir un carré de côté 8 ou un rectangle dont les dimensions mesurent 5 et 13. Donc, par égalité des aires, on aurait : 64 = 65.
Une construction précise de la figure avec GeoGebra permet d’expliquer le phénomène:
démonstration au niveau desgéomètresgrecs.
Les déplacements des différentes figuresgéométriques ne constituent toujourspas une
Avantage :
Utilisation d’uneanimation sur le site de Kangourou.
Le calcul de deux manières différentes de l’aire du trapèze rectangle AEDC donne unepreuve algébrique de la propriété de Pythagore.
collège de lapropriété de Pythagore.
Autre figure utilisable en classe :
La démonstration desÉlémentsd’Euclide
e Le problème du président : Paul Painlevé, 20 siècle
Les déplacements effectuésgrâce au logiciel sont anachroniques carpas du tout en vigueur au
Les élèves ne voientpas les trois carrés construits sur les côtés du triangle rectangle et doivent
temps d’Euclide!
Cette animationpermet de mieux comprendre la démonstration assez complexepour un élève de
Créé avecGeoGebra
La démonstration est rigoureusepar rapport auxprécédentes. Mais :
comprendre la logistique du déplacement.
La preuve sera apportée par des calculs algébriques.
Mais... on connaissait déjà.
CONCLUSION
On a vu les différentes approches historiques et épistémologiques de lapropriété de Pythagore. Certaines font appel :
à des casparticuliers,
à des découpages de formes connuespour recouvrir ou reconstituer des carrés,
à des démonstrationsgéométriques,
à des calculs numériques,
à des calculs algébriques. Ces différences approches témoignent des différentes conceptions de la notion depreuve au niveau de cettepropriété suivant la civilisation ou l’époque. Onpeut supposerque les élèves ont aussi des attentes multiples sur le sujet !
BIBLIOGRAPHIE
Dominique Tournès (éd.),L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes,chinoises,
européennes et indiennes,Actes du colloque de novembre 1997, Saint-Denis de la Réunion : IUFM
de la Réunion,1997.
Émile Fourrey,Curiositésgéométriques,Paris : Vuibert,1899.
GeoffreyLloyd,Les débuts de la sciencegrecque,Paris : La Découverte,1974.
Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer,Une histoire des mathématiques. Routes et dédales, Paris :
Seuil, 1982.
Euclide,Œuvres, Paris : Blanchard, 1993.
Jean Dhombreset al.,Mathématiques au fil des âges, Paris : Gauthier-Villars, 1987.
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