Du calcul des dérivations

Louis François Antoine Arbogast

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CALCULDU
DES
IVATI ON S;D É R
F. A. ARBOGAST,PAR L.
nationalDe rinstitut de France Professeur de,
Mathématiques à Strasbourg.
A STRASBOURG,
DE L'IMPRIMERIE DE LEVRAULT, FRÈRES.
AN VIII (1800).*
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/î 'rPREFACE.
s'est proposé dans cet oiiVrâge d'offrir un genre de calcul qui\Jn
embrasse la théorie des suites, et dont le calcul différentiel n'est qu'un
particulier : il qui abrègent labo-cas fournit des procédés des opérations
rieuses et des formules qui facilitent les recherches dans des matières,
compliquées il sert à lier entre elles plusieurs branches de l'Analyse :;
une variété d'objets il m'aappliqué à assez grande , conduit directement,
et le plus souvent sans peine à des résultats , dont plusieursme paroissent,
nouveaux, et d'autres présentés sous un aspect nouveau.
Cette méthode calcul est fondée sur une manièrede générale de
considérer les quantités comme dérivant les unes des autres c'est ce;
qui me Ta fait nommei^ Calcul des dérivations.
Pour se faire une idée des dérivations , on observera que des quantités
des fonctions qu'on desou déduit les unes autres par un procédé uniforme
d'opérations sont des quantités dérivées telles sont les, ; différentielles
successives. Qn peut étendre cette idée en considérant des quantités qui
dérivent les unes des autres , non en elles-mêmes mais seulement dans,
les opérations qui les assemblent et les lient entre elles les; quantités
elles-mêmes étant quelconques arbitraires indépendantes., , Ainsi , en
supposant que de plusieurs lettres différentes la première entre seule
dans une fonction, tandis que les deux premières entrent dans la dérivée
de cette que les trois premières entrent par la même loi dans
la dérivée de cette dérivée , et ainsi de suite on aura des; dérivées dans
le sens étendu que je leur ai donné. Ici les quantités désignées par les
lettres différentes ne dérivent pas les unes des autres et les; dérivées
que considèreje sont moins des dérivées de quantités que des
d'opérations comme l'Algèbre est moins un calcul de, quantités que à*arithmétiques ou géométriques exécuter sur les quantités.
La dérivation est l'opération par laquelle une dérivée est déduite de
celle qui la précède ou de la fonction. La méthode des dérivations enPREFACE.ij
consiste à saisir la loi qui lie les assemblages de quantités quel-général
à servir cette loi d'unconques les uns aux autres , et se de comme moyen
pour passer de dérivée en dérivée.de calcul
Pour former Talgorithme des dérivations, il a fallu introduire des signes
une attention particulière à cet objet persuadénouveaux j'ai donné que
; ,
de la puissance de l'Analyse consiste dans le choix et l'emploile secret
caractéristiques la chose qu'ilsheureux de signes simples et dt doivent
me suis prescrit à cet égard les règles suivantes : i.°dereprésenter (*). Je
les notations le plus qu'il étoit possible analogues à des notationsrendre
2.** inutiles et quereçues de ne point introduire de notations j'aurois;
sans confusion par des déjà en usage 3.° de lespu remplacer ;
-très simples en faisant entrer cependant toutes les variétéschoisir , y
qu'exigeoient les différences des opérations.
Apres cette idée générale de la méthode, jetons un coup d'œil sur
les matières traitées dans cet ouvrage.
calcul différentiel donne avec tant facilité le développementLe de en
des fonctions de binômes qu'il est naturel de désirer une méthodesérie ,
qui s étende avec la même facilité à des fonctions de polynômes d'un
termesnombre de quelconque. M'étant proposé cette recherche je fis
,
varier les coëfficiens des termes des polynômes , en les regardantcomme
dérivant les uns des autres lorsmême qu'ils étoient indépendans. Cette,
considération me conduisit à la méthode générale de développement
que j'expose dans les trois premiers articles qui forment comme la
,
première partie de l'ouvrage.
J'y considère non-seulement les séries et les polynômes simples , c'est-
à-dire ceux qui suivant puissanees d'une seule lettresont ordonnés les ,-
(*) ËULER, dans un mémoire intitulé : Subsidium calculi sinuum et imprimé^
dans le tome Pétersbourg dit, page i65 : Ac siV des nouveaux commentaires de ,
quidem ipsius Analysis prœstantiam spectamus^ eam prœcipue soli idoneo quanti"
tates signis denotandi modo tribuendam esse deprehendimus quo minus erit miran";
dum attulerit.si commoda sinuum, in algorithmum introductio tantum lucri,
PREFACE. lij
les sërîesmais encore et les polynômes ordonnes suivant les puissances
et les produits de deux de, trois lettres différentes qu'on peut appeler,
séries et polynômes doubles triples. Le sujet des trois premiers articles,
est la solution du problème général suivant :
Etant proposée une fonction quelconque d'un ou de plusieurs poly-
nômes simples, doubles, triples i.** développer la; fonction en une série
pareillement simple double, ou , ou triple , en faisant dériver les uns
2.°des antres les termes successifs du développement : dans tous ces
cas, trouver immédiatement un terme quelconque du développement,
le fairesans dépendre d'aucun des autres termes.
Les coëffîciens dans ces développemens de fonctions de polynômes se
présentent composés de deux espèces de quantités ; de celles qui conser-
vent le signe de la fonction ou qui dépendent de la fonction , et dans
lesquelles n entre que le premier terme du polynôme celleset de qui; ,
signe fonctiondégagées du de , demeurent les mêmes pour des fonctions
quelconques forment des composés, et groupes uniquement des coëfficiens
du polynôme à commencer par celui du second terme., Comme ces
•quantités dépendent du nombre des termes dont le polynôme est formé,
j'ai cru pouvoir les désigner par la dénomination de quantités polyno-
miales.
Les règles pour faire dériver les unes autresdes les quantités qui
dépendent de la fonction sont les mêmes que celles du calcul, différen-
tiel pour prendre les différentielles successives d'une fonction la diffé-,
la variable étantrentielle de constante et égale à Funité ainsi on pourra;
former à.toujours part ces quantités.
règles de dérivation relativement aux quantités polynomialesLes
donnent des procédés ^i simples et si expéditifs, qu'en faisant dériver ces
quantités les unes des autres on pourra écrire sans s'arrêter le déve-,
loppement tout réduit , et le pousser aussi loin qu'on voudra bien plus;
l'expression toute réduite d'un termeon pourra écrire de même quel-
la série du indépendamment des autres termes.conquede développement ,,
IV PREFACE.
Les règles pour exëcuter les.dëveloppemens réduits sont des consé-
faciles de formules générales symétriques quune mêmequences et
diversement appliquée , enchaîne les unes aux\ autres. Si doncanalyse ,
Taccumulationon trouvoit une sorte d'aridité dans les énoncés ou dans
si on les croyoit à charge à la mémoire on observera qu'ildes règles , ;
découlent,suffit de retrouver les formules et que, comme les règles en,
fois saisi la manière de les en déduire on pourra toujourssi on a une ,
dans chaque cas sans qu'il soit nécessaire d'avoir retenu la règle , la,
former de nouveau d'après les formules.
dans ces formules que consiste proprement la solution des pro-C'est
blèmes : elles suivent des lois faciles à saisir, ce qui les rend elles-
d'une propriétémêmes faciles à retenir ou à retrouver : elles jouissent
augmente futilité dans les dans les démonstrationsqui en analyses et
,
celle d'être susceptibles de différens degrés de développement que j'ai
,
distingués par lesnoms de développemens premier, second troisième, etc.,
l'article premier, oii j'ai donné le développement des fonctionsDans<