Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants

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Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 1/27 Systèmes linéaires continus et invariants 1) PRÉSENTATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. ................5 11) LIMITE D’ÉTUDE : LINÉAIRE CONTINU INVARIANT. .................................................................... 5 12) CRITÈRES QUANTIFIANT LES PERFORMANCES D’UN SLCI........................................................ 5 121) L’erreur statique (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est un échelon) ou l’erreur de poursuite (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est une rampe) quantifie la précision........................................................................................................................................... 5 122) Le temps de réponse (déterminé seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la rapidité.............................................................................................................................................. 5 123) La capacité à converger ou le nombre d’oscillations (déterminés seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la stabilité................................................................................................. 6 13) ANALYSE D'UN SLCI.............................................................................................................. 6 une phase d’observation des critères : erreur, temps de réponse et oscillations…........... 6 ase de conclusion ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants   Systèmes linéaires continus et invariants
 
1) PRÉSENTATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. ................5 11) LIMITE DÉTUDE: LINÉAIRECONTINUINVARIANT. .................................................................... 5 12) CRITÈRES QUANTIFIANT LES PERFORMANCES DUNSLCI. ....................................................... 5 121) L’erreur statique (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est un échelon) ou l’erreur de poursuite (déterminé en régime permanent lorsque l’entrée est une rampe) quantifie la précision...........................................................................................................................................5 122) Le temps de réponse (déterminé seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la rapidité..............................................................................................................................................5 123) La capacité à converger ou le nombre d’oscillations (déterminés seulement lorsque l’entrée est un échelon) quantifie la stabilité. ................................................................................................ 6 13) ANALYSE D'UN 6SLCI. ............................................................................................................. une phase d’observation des critères : erreur, temps de réponse et oscillations… ........... 6 une phase de conclusion sur les performances : précision, rapidité et stabilité. ............... 6 
2) MODÉLISATION DES SLCI............................................................................................6 21) MODÉLISATION DESSLCIPAR ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE...................................................... 6 211) Cas général.............................................................................................................................. 6 212) Exemples pour les systèmes électriques................................................................................. 6 22) RÉSOLUTION DE LÉQUATION DIFFÉRENTIELLE:LA TRANSFORMÉE DELAPLACE 7. ...................... 221) Techniques de résolution de l’équation différentielle............................................................... 7 222) Définition mathématique de la transformée de Laplace. ......................................................... 7 223) Fonctions causales. ................................................................................................................. 7 224) Transformées usuelles de fonctions causales......................................................................... 7 225) Propriétés de la transformée de Laplace................................................................................. 7 Dérivation 1ère..................................................................................................................... 7 Dérivation 2nd...................................................................................................................... 7 Intégration...........................................................................................................................7 Retard ................................................................................................................................. 7 Multiplication d’une fonction par un scalaire ....................................................................... 7 Multiplication d’une fonction par une fonction..................................................................... 7 Théorème de la valeur initiale............................................................................................. 7 Théorème de la valeur finale .............................................................................................. 7 226) Détermination de la Transformée de Laplace inverse. ............................................................ 8 1) Mettre l’ordre du polynôme du numérateur inférieur à celui du dénominateur. ............. 8 2) Rechercher les racines du dénominateur....................................................................... 8 3) Factoriser le dénominateur............................................................................................. 8 4) Décomposer S(p) en éléments simples. ........................................................................ 8 5) Identifier des transformées usuelles............................................................................... 8 23) REPRÉSENTATION DESSLCIPAR FONCTION DE TRANSFERT. .................................................. 9 231) Existence de la fonction de transfert si les conditions initiales sont nulles.............................. 9 232) Notion de forme canonique, gain statique, ordre et classe, pôles et zéros. ............................ 9 24) REPRÉSENTATION DESSLCIPAR SCHÉMA-BLOC 9. ...................................................................
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3) SLCI ASSERVIS. ..........................................................................................................10 31) INSUFFISANCE DES SYSTÈMES EN BOUCLE OUVERTE(BO). ................................................... 10 32) LESSLCIASSERVIS OU EN BOUCLE FERMÉE(BF) - GÉNÉRALITÉS. ....................................... 10 321) Différentes fonctions réalisées par un système asservi. ....................................................... 10 Traduire la consigne en un signal utilisable 10 ...................Utilisation de transducteurs. Observer l’état du systèmeUtilisation de capteurs...................................................... 10 Comparer l'image de la consigne à l'image de la sortieUtilisation de comparateurs. 10 Corriger la commande pour améliorer précision-rapidité-stabilitéUtilisation de correcteurs. ....................................................................................................................... 10 322) Représentation par schéma-bloc d’un système asservi élémentaire. ................................... 10 Notions de chaîne directe, chaîne de retour, comparateur, écart et erreur...................... 10 323) Définition : suivre les variations de la consigne quels que soient les effets perturbateurs extérieurs........................................................................................................................................10 Système régulé : Cas où l’entrée est fixe dans le temps.................................................. 10 Système suiveur : Cas où l’entrée varie dans le temps.................................................... 10 33) SIMPLIFICATIONS DE SCHÉMAS-BLOCS ÉLÉMENTAIRES. ......................................................... 11 331) Fonction de Transfert de systèmes en série.......................................................................... 11 332) Fonction de Transfert de systèmes en parallèle.................................................................... 11 333) Fonction de Transfert de systèmes en Boucle Fermée : FTBF et formule de Black............. 11 334) Fonctions de Transfert de systèmes à n entrées, principe de superposition. ....................... 12 34) SIMPLIFICATIONS DE SCHÉMAS-BLOCS AVEC BOUCLES IMBRIQUÉES. ..................................... 12 35) CALCUL DE LÉCART(STATIQUE OU DE POURSUITE)EN RÉGIME PERMANENT.......................... 13 351) Fonction de Transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBO............................................ 13 352) Expression de l'écart statique. ............................................................................................... 13 
4) COMPORTEMENT TEMPOREL DE SLCI PARTICULIERS (ÉTUDE DU RÉGIME TRANSITOIRE). ................................................................................................................13 41) SOLLICITATIONS(OU ENTRÉES)TYPES. ................................................................................ 13 Impulsion de Dirac(t) ................................................................................................................... 13 Échelon a.u(t).................................................................................................................................13 Rampe a.t.u(t) ................................................................................................................................ 13 Remarque : "réponse indicielle = réponse à un échelon lorsque l'amplitude a vaut 1 . ................ 13 " 42) COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES PROPORTIONNELS(OU DE GAIN PUR) :  14K. .......... 421) Définition. ............................................................................................................................... 14 K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ......................... 14 422) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 14 43) COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DÉRIVATEURS: K.P. ......................................... 14 431) Définition. ............................................................................................................................... 14 K : gain statique du système (ens1et s(t) de même nature).............................. 14si e(t)  432) Réponse à une rampe a.t.u(t). ............................................................................................... 14 44) COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES INTÉGRATEURS: K/P. ....................................... 14 441) Définition. ............................................................................................................................... 14 K : gain statique du système (en s si e(t) et s(t) de même nature)................................... 14 442) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 14  MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/10/2010
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45) COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DU1ERORDRE: ........................K....15........ 1 .p 451) Définition. ............................................................................................................................... 15 K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ......................... 15 : constante de temps (en s)............................................................................................ 15 452) Réponse à une impulsion a.(t). ............................................................................................ 15 Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ..................... 15 453) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 16 Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ..................... 16 Temps de réponse à 5% (défini toujours pour une entrée en échelon) ........................... 16 Bilan..................................................................................................................................16 454) Réponse à une rampe a.t.u(t). ............................................................................................... 17 Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, asymptote en +). ................... 17
ÈMEK  1 46) COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTÈMES DU2ORDRE: 12zp.2.p2.................. 18 00 461) Définition. ............................................................................................................................... 18 K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature) ......................... 18 0(notée parfoisnamortie >0 pulsation du système s’il n’était) : pulsation propre non pas amortie (en rad/s)....................................................................................................... 18 z (noté parfois m ou) : facteur d’amortissement >0 (sans unité) ................................... 18 462) Réponse à une impulsion(t). ............................................................................................... 18 Détermination de l’allure de la réponse. ........................................................................... 18 463) Réponse à une rampe a.t.u(t). ............................................................................................... 18 464) Réponse à un échelon Ec.u(t). .............................................................................................. 19 Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en +). ..................... 19 Détermination de l’allure de la réponse. ........................................................................... 19 Temps de réponse. ........................................................................................................... 20 Temps de réponse réduit tr5%.0. ..................................................................................... 20 Dépassement absolu Dket dépassement relatif Dk%(cas z<1)........................................ 20 Notions de pulsation amortieaet de pseudo-période Ta 22(cas z<1). ............................... Temps tjlorsque s(tj)=K.Ec (cas z<1). 22 .............................................................................. Temps tklorsque les dépassements s’effectuent : s'(tk)=0 (cas z<1). .............................. 22 Expression des dépassements relatifs Dk%si l’abaque n’est pas donné (cas z<1). ........ 22 i ue :K. 23 465) Autre forme de la fonction de transfert d’un 2èmeordre apériod q(1 1.p)(1 2.p)........ Réponse à un échelon dans le cas général. .................................................................... 23 Réponse à un échelon dans le cas où une constante de temps est négligeable devant l’autre (c'est-à-dire qu’une racine est négligeable devant l’autre). ................................... 23
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47) SYSTÈMES DU1ERET2ÈMEORDRE BOUCLÉS PAR UN RETOUR UNITAIRE. ................................. 24 471) Petit rappel sur l’erreur statique d’un système du 1erou 2ème 24ordre en BO. .......................... 472) Paramètres de la fonction de transfert en boucle fermée FTBF............................................ 24 FTBF d’un système du 1er 24 ........................................ordre placé dans la chaîne directe. FTBF d’un système du 2èmeordre placé dans la chaîne directe. ..................................... 24 473) Avantages et inconvénients de la boucle de retour UNITAIRE. ............................................ 24
48) IDENTIFICATION À UN MODÈLE(À LAIDE DUN GRAPHIQUE TEMPOREL). .................................. 25 481) Modéliser pour prévoir le comportement. .............................................................................. 25 482) Expérimenter pour pouvoir identifier. ..................................................................................... 25 483) Choix du modèle : 1erou 2èmeordre ?.................................................................................... 25 484) Identification à un modèle du 1erordre :SpK.... 25 . ................................ Ep1 .p................ .. Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale.................................. 25 La constante de tempsest obtenue à partir du relevé du temps mis pour atteindre 0,63.K.Ec (t=) .................................................................................................................. 25 485) Identification à un modèle du 2èmeordre apériodique (z>1) :ESpp(1 1K)1p(. 2.p)... 26 Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale.................................. 26 Les 2 constantes de temps sont obtenues en utilisant une méthode approchée à partir du tracé de la tangente au point d’inflexion. .......................................................................... 26 486) Identification à un modèle du 2èmeordre oscillant (0<z<1) :ESpKp2z2......... 26 p10p2 0 Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale.................................. 26 Le facteur d’amortissement est obtenu à partir du relevé du 1erdépassement. .............. 26 La pulsation propre est obtenue à partir du relevé de la pseudo-période ou du temps de réponse.............................................................................................................................26 487) Identification à une somme de fonctions de transfert connues. ............................................ 27  
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Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 5/27  1) Présentation des Systèmes Linéaires Continus Invariants. 11) Limite d étude : Linéaire Continu Invariant. Dans cette étude, nous nous limiterons aux Systèmes Linéaires Continus Invariants : Invariant : le système ne vieillit pas : son comportement dans le temps reste inchangé (si on reproduit la même expérience à 2 dates différentes, on obtiendra les mêmes résultats). Continu :valeur du temps et sur l’ensemble de leur les grandeurs étudiées sont définies pour toute plage de variation. Linéaire :les systèmes étudiés respectent le principe de superposition : Si à une entrée e1(t) correspond une sortie s1(t) et si à une entrée e2(t) correspond une sortie s2(t), alors à une entrée k1.e1(t) + k2.e2(t) correspond une sortie k1.s1(t) + k2.s2(t), avec k1et k2constantes.  Dans la réalité les phénomènes sont linéaires dans un certain domaine de variation. A l extérieur de ce domaine, des phénomènes non linéaires, comme des saturations apparaissent.  Quelques SLCI du laboratoire :(voir cours 3) de sortie GrandeursGrandeurs d entrée Angle de cap souhaité Angle de cap réel Un pilote automatique de bateauconsigne Position et vitesse souhaitées Position et vitesse réelles Un chariot filoguidé(xconsigne, vconsigne) (x, v) Une cordeuse de raquette Tension dTc noisngeT neison de lal eor c sdehaouéeitTa corde réelle     12) Critères quantifiant les performances d un SLCI. Afin d’analyser les performances (précision, rapidité et stabilité) d’un système, on le sollicite à une variation de l’entrée et on étudie la réponse (ou sortie) du système. Plusieurs critères (ou caractéristiques dynamiques) permettent de quantifier ces performances.    121) L erreur statique(déterminé en régime permanent lorsque lentrée est un échelon)  erreurou l de poursuiterégime permanent lorsque l entrée est une rampe)(déterminé en  quantifie la précision.  erreur statique e(t)s(t) e(t) de poursuite erreur ou de traîna ts(t) ge t  avec e(t) et s(t) de même nature
 Erreur :Er(t)e(t)s(t)à l’instant t Erreur statique est l’erreur en régime permanentEr()e()s()avec en entrée un échelon Erreur de poursuite ou de traînage est l’erreur en régime permanentEr()e()s()avec en entrée une rampe   122) Le temps de réponseseulement lorsque lentrée est un échelon)(déterminé  quantifie la rapidité. s(t) Lmeo itnesm dpes  5m%is  SpAarVlAaLrEépUoRn sFeI NpAoLurE astt(eind)  est àr es() 1,05.s() retenu comme critère de rapidité :t5% 0,95.s()  Attention !!! Ce n est pas le temps mis pour in r l v l r h i .t5% t  MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/10/2010
Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 6/27  123) La oscillationscapacité à converger ou le nombre d(déterminés seulement lorsque l entrée est un échelon)quantifie la stabilité.  s(t) s(t) e t s(t) t Système s table non oscillant
t t Système instable Système stable mais oscill ant     13) Analyse d'un SLCI. Une analyse comportera 2 étapes : une phase d observation des critères : erreur, temps de réponse et oscillations une phase de conclusion sur les performances : précision, rapidité et stabilité. NB : On ne dira jamais que le temps de réponse est rapide, ou que l’erreur est précise… Les critères s’évaluent par des chiffres qui peuvent être plus faibles, plus grands… que d’autres…  Etudier les SLCI, c est essayer d améliorer ces différentes caractéristiques.      2) Modélisation des SLCI. 21) Modélisation des SLCI par équation différentielle. 211) Cas général. Après modélisation, la relation entre les grandeurs d’entrée et de sortie s’exprime sous la forme d’une équation différentielle à coefficients constants.   e(t) Systè me s(t)   n1 m1 m andnstdn(t)an 1ddtns1(t)    a1dst)t(da0s(t)b0e(t)b1ed(t)td    bm 1tddme1(t)bmedt(t)d    m  Les systèmes réels étudiés impliquent mn. n est l ordre du système.  La résolution de cette équation différentielle donnera la réponse (ou sortie s(t)) théorique du système à une entrée fixée e(t). Attention ce n’est qu’un modèle !   212) Exemples pour les systèmes électriques. Résistance Bobine Condensateur
   u(t)R.i(t) u(t)t)d(tidL. u(t).C1i(t).dt u(t) : tension i(t) : intensité R : résistance L : inductance C : capacité  Il faut noter que ces relations simplifiées ne reflètent le comportement qu en première approximation. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/10/2010
Cours 04 - Systèmes linéaires continus et invariants Page 7/27  22) Résolution de l équation différentielle : la transformée de Laplace. 221) Techniques de résolution de l équation différentielle.   Technique utilisée par les automaticiens :Technique de résolution classique. elle repose sur les transformées de Laplace.   : répEquation s1(t) onse libre DomaineDomaine temporel en t de Laplace en p différentielle sans caractérisation du second membre régime transitoireÉquation différentielleTransforméeÉquation polynomiale avec second membrede La placeS p(vace n pe)  E(p) et avec s(t) et e(t) Equation différentielle s(t)=s1(t)+s2(t) avec second membre    Transformée  Equation s2(t) : répo nse forcée particulière céariamcteé rpiseratmioann ednut  Solution s(t)InverseSolution S(p) r g  L’objectif est de résoudre un polynôme plutôt qu’une équa.dif.  222) Définition mathématique de la transformée de Laplace. La transformée de LaplaceF(p)de la fonctionf(t) ( t ), est : fLLf ( t )F(p )f ( t ).ep..dtoù p est une t variable   Cette transformation ermet de asser du domaine tem orel en t au domaine de La lace en . com lexe  223) Fonctions causales. La cause précède l’effet. L’ingénieur a pour pratique d’étudier l’effet d’une cause qu’il situe à la date t=0.  En automatique, on utilisera donc la transformée de Laplace restreinte F(p )f ( t ).ep.t.dt qui ne 0s’applique qu’auxfonctions causales (c'est-à-dire aux fonctions f(t) telles que f(t) = 0 pour t<0).  Pour rendre une fonction mathématique f(t) (qui nest pas nulle quand t<0) causale, on la multiplie par la fonction d Heaviside u(t) : u(t) = 0 si t < 0  u(t) = 1 si t0  224) Transformées usuelles de fonctions causales. Nous ne chercherons pas à déterminer F(p) par la définition (car résoudre l’intégrale est aussi difficile que de résoudre l’équation différentielle du départ). Nous nous servirons de tableaux qu’il faudra connaître :  (t) upmIoisl acirDn( td)eK t ea t.ea ea.t.sin(t) ea.t.cos(t) f.t .t K 1 11pa  F(p) 1 p p2 pa (pa)2 (pa)2 2 (pa)2 2  225) Propriétés de la transformée de Laplace.  Dérivation 1ère Dérivation 2nd fnectonn ioudgrationRetard  nIétoitcnof  nuneon duMtl Multiplication iplicati par un scalaire par une fonction f(t) f(t) f(t) 0tf(x).dx f(tx) K.f(t) f(t).g(t) F(p) p.F(p)f(0) p2.F(p)p.f(0)f(0)pF(p) ep.x.F(p) K.F(p) F(p).G(p)  Théorème de la valeur initialef(0)lim f(t)lim p.Lf(t) lim p.F(p)  t0p p  Théorème de la valeur finalef()lim f(t)lim p.Lf(t) lim p.F(p) tp0p0
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Les commentaires (1)
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hardet2012

important pour ma formation.Merci!

mercredi 20 février 2013 - 13:04

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