Cours Détection synchrone

Nathalie Olivier

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ECOLE SUPERIEURE D’INGENIEURS EN ELECTRONIQUE ET ELECTROTECHNIQUE Cité DESCARTES – BP 99 93162 NOISY-LE-GRAND CEDEX TEL. : [phone] – FAX : [phone] INTERNET : http://www.esiee.fr DETECTION SYNCHRONE Unité EM4-CIAN 2003-2004 O. Français Détection Synchrone Groupe ESIEE SOMMAIRE I RAPPELS SUR LE BRUIT............................................................................................................................... 3 I.1 DEFINITION.................................................................................................................................................... 3 I.2 VARIABLE ALEATOIRE.... 3 I.2.1 Densité de probabilité ........................................................................................................................... 4 I.2.2 Loi de probabilité équiprobable............................................................................................................ 4 I.2.2 obabilité gaussienne ............................................................................................................... 5 I.3 OUTILS MATHEMATIQUES ASSOCIES A L’ETUDE DES BRUITS EN ELECTRONIQUE............................................ 5 I.3.1 Représentation temporelle..................................................................................................................... 5 I.3.2 Représentation fréquentielle............................................................... ...

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     ECOLE SUPERIEURE DINGENIEURS EN ELECTRONIQUE ET ELECTROTECHNIQUE   Cité DESCARTES  BP 99 93162 NOISY-LE-GRAND CEDEX TEL. : [phone]  FAX : [phone] INTERNET : http://www.esiee.fr     D ETECTION SYNCHRONE      

      Unité EM4-CIAN 2003-2004

 

O. Français

Détection Synchrone

 

SOMMAIRE

Groupe ESIEE

    I RAPPELS SUR LE BRUIT ............................................................................................................................... 3   I.1 D EFINITION .................................................................................................................................................... 3   I.2 V ARIABLE ALEATOIRE ................................................................................................................................... 3   I.2.1 Densité de probabilité ........................................................................................................................... 4   I.2.2 Loi de probabilité équiprobable............................................................................................................ 4   I.2.2 Loi de probabilité gaussienne ............................................................................................................... 5   I.3 O UTILS MATHEMATIQUES ASSOCIES A L  ETUDE DES BRUITS EN ELECTRONIQUE ............................................ 5   I.3.1 Représentation temporelle..................................................................................................................... 5   I.3.2 Représentation fréquentielle.................................................................................................................. 6   II PRINCIPALES SOURCES DE BRUIT.......................................................................................................... 7   II.1 B RUIT THERMIQUE (J OHNSON NOISE ) ........................................................................................................... 7   II.2 B RUIT DE GRENAILLE (S HOT NOISE ) ............................................................................................................. 7   II.3 B RUIT DE FLICKER ( ROSE OU DE SCINTILLEMENT ) ........................................................................................ 8   II.4 B RUIT D  UN AMPLIFICATEUR ........................................................................................................................ 8   II.5 B RUIT TOTAL ................................................................................................................................................ 9   III PRISE EN COMPTE DU BRUIT DANS LES SYSTEMES ..................................................................... 10   III.1 C ALCUL DU BRUIT SORTIE D  UN SYSTEME LINEAIRE ................................................................................. 10   III.2 B ANDE EQUIVALENTE DE BRUIT ................................................................................................................ 11   III.3 F ACTEUR DE BRUIT ................................................................................................................................... 12   IV DETECTION SYNCHRONE : THEORIE ET APPLICATIONS............................................................ 13   IV.1 C ADRE DE LA DETECTION SYNCHRONE ..................................................................................................... 13   IV.2 C HAINE DE MESURE CLASSIQUE ................................................................................................................ 14   IV.3 C HAINE DE MESURE MODULEE .................................................................................................................. 14   IV.4 D ÉTECTION SYNCHRONE ........................................................................................................................... 15   IV.5 C ONCLUSION SUR LA DETECTION SYNCHRONE .......................................................................................... 17   IV.6 I NFLUENCE DE LA PHASE : C AS DE RECUPERATION DE PORTEUSE ............................................................. 18   IV.7 D OUBLE D ETECTION S YNCHRONE ............................................................................................................ 19   IV.8 C AS D  UN SIGNAL NON CONSTANT ............................................................................................................ 19   V REALISATION DU MULTIPLIEUR........................................................................................................... 19   V.1 C AS DE LA BASSE FREQUENCE .................................................................................................................... 19   V.2 C AS DE LA HAUTE FREQUENCE ................................................................................................................... 20   V.2.1Multiplieur à paires différentielles...................................................................................................... 20   V.2.2 Multiplieur par Découpage ................................................................................................................ 20   VI APPLICATION  EXTENSION DU PRINCIPE ....................................................................................... 21   VI.1 D ETECTION SYNCHRONE APPLIQUEE A LA TRANSMISSION DE SIGNAUX .................................................... 21   VI.1.1 Transmission AM avec Porteuse....................................................................................................... 21   VI.1.2 Transmission AM sans porteuse ....................................................................................................... 21   VI.1.3 Transmission AM à Bande Latérale Unique (BLU).......................................................................... 22   VI.1.4 Démodulation I/Q ............................................................................................................................. 23   VI.2 R ECHERCHE DE NON - LINEARITE ............................................................................................................... 23   VI.3 D ÉTECTION SYNCHRONE UTILISÉE EN LOCK IN ...................................................................................... 24   Cas N°1 : Modulation du point de mesure .................................................................................................. 25   Cas N°2 : Modulation autour du point de mesure....................................................................................... 26    

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DETECTION SYNCHRONE    La détection synchrone est un procédé utilisé lorsque lon souhaite extraire un signal utile noyé dans du bruit. Ce principe sapplique généralement à des signaux de très faibles amplitudes (µV). On retrouve lutilisation de cette technique pour : - Mesure de tension de faible niveau noyé dans du bruit qui peut peut être aléatoire ou périodique (type rayonnement 50Hz). oCapteur oChaîne de mesure et de transmission - Signaux très basses fréquences, en bande étroite, qui peuvent être considérés comme quasi-constants.   La détection synchrone est un moyen de minimiser linfluence du bruit sur le signal utile en effectuant une mesure optimisant le rapport signal sur bruit : _______ SNR 10 log  V 2 (t) S dB = _______ = B   b 2 (t)

I Rappels sur le bruit I.1 Définition  Dans toute mesure ou transmission de signal, on observe des signaux dorigines multiples (rayonnement, effet dantenne, bruit des composants) qui se superposent à linformation recherchée. Ce bruit se traduit par lapparition de signaux erratiques qui génèrent des tensions ou courants parasites et se rajoutent au signal utile. be(t)

e(t)  Système   danalyse  s(t)  bi(t)   Le bruit est donc un signal indésirable qui vient perturber linformation utile. Il peut être de deux origines : - Externe au système : cest le cas des perturbations électromagnétiques (50Hz Phénomène dantenne, de diaphonie). Il est toujours possible de minimiser leur effet par des blindages appropriés ou des filtrages appropriés.   - Interne au système : Ce bruit est généré par les composants eux-mêmes. Il ne peut être éliminé. I.2 Variable aléatoire Avant daborder les bruits rencontrés en électronique, nous allons dabord faire quelques rappels sur les variable aléatoires.

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I.2.1 Densité de probabilité Une variable aléatoire x est classiquement associée à une densité de probabilité p(x) qui caractérise la loi de probabilité dapparition dun événement (son occurrence) vis à vis de la variable aléatoire. Ainsi, la probabilité quun événement se produisent sur un intervalle ]x, x+dx] est telle que : x+dx Pr { X ∈ ] x, x+dx ] = } ∫ p(x)dx   x Ainsi, lévénement certain implique quune densité de probabilité soit telle que : +∞ ∫ p(x)dx=1   −∞  A partir de la densité de probabilité, on peut calculer lespérance mathématique E liée à la variable x : E(x)= ∫ x.p(x)dx=x      E(x) nest autre que la valeur moyenne de x.    Lespérance mathématique de x² vaut : E(x²)= ∫ x².p(x)dx=x²      Ce qui nous permet de définir la variance qui nest autre que lespérance mathématique de (x−E(x))² , elle est notéeσ² : σ 2 x =E x−E(x))²) =E(x²)−x ²     I.2.2 Loi de probabilité équiprobable    Dans ce cas, la densité de probabilité est constante sur la gamme de valeur de la variable aléatoire. Cest le cas par exemple du bruit de quantification. Dans le cas dune quantification centrée, le bruit varie entre +q/2 et q/2 avec q le pas de quantification. Dans le cas dun signal variant de plusieurs pas de quantification, on suppose une équi-répartition des valeurs du bruit de quantification entre±q/2, soit une densité de probabilité de 1/q : p(b) 1/q

b -q/2 0 +q/2    Ainsi : p(b)=1 / q pour b∈q / 2 :+q / 2]   p(b)=0 pour b∉ [− / 2q / 2 : q]       On trouve alors une valeur moyenne du bruit : E(x)=0.    Une variance :σ²=q²/12.  

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I.2.2 Loi de probabilité gaussienne  De nombreuses variables aléatoires sont du type gaussien. La densité de probabilité dune gaussienne centrée en a sécrit : 1 (x−a ) 2 p(x)= − 2σ   σ2π e 2  Sa représentation est la suivante : p(x)

x 0 a   Ce qui donne comme espérance mathématique de x et de x² :   E(x)=a et E(x²)=σ²    On appelle a la valeur moyenne de la gaussienne etσlécart type.   I.3 Outils mathématiques associés à létude des bruits en électronique   A la différence dune variable aléatoire, un bruit en électronique possède une valeur aléatoire qui fluctue dans le temps. Par contre, ce bruit possède des propriétés statistiques qui sont invariantes dans le temps et le rendent indépendants du temps. On dit quil est stationnaire et ergodique (moyenne temporelle = moyenne statistique).   I.3.1 Représentation temporelle    Un bruit est un signal aléatoire qui est en général associé à une fonction de distribution (ou de répartition) et dont la valeur instantanée est imprévisible. La valeur temporelle b(t) qui lui est associé est en générale telle que sa valeur moyenne est nulle : b(t)=0    Par contre, sa valeur quadratique moyenne est non nulle est peut servir à sa _ caractérisation. On la note B 2 et elle vaut : B _ = T i ∞ 1 ∫ 0 T 2 l −> tdt)(² T bm     _  Rem : B 2 correspond à lespérance mathématique de b² .  

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 La valeur quadratique moyenne nest autre que le carré de la valeur efficace du signal associé au bruit. Le bruit est associé soit à une source de tension v b  une source de soit courant i b représenté par : Vb(t) Ib(t)

   On caractérise ces sources par leur tension ou courant efficace en utilisant la puissance moyenne réduite de bruit, puissance calculée sur une résistance de 1Ω: _ P= V b 2 = 2 _  ou __ 2   b R V b P b =R I b 2 = I b    En tout point du circuit, ce bruit est toujours ramené aux propriétés du signal par le calcul du rapport de la puissance du signal sur la puissance de bruit (SNR) :   (SNR) dB =g1lo0 P P s   b    Où les puissances calculées correspondent à la puissance réduite des signaux et sont donc les valeurs quadratiques moyennes du signal et du bruit.    Linfluence du bruit sur le signal sera dautant plus faible que le (SNR) dB sera grand.  Le calcul de la puissance réduite de bruit peut se faire à partir du comportement en fréquence du bruit au travers du système.   I.3.2 Représentation fréquentielle On caractérise les bruits par leur Densité Spectrale de Puissance (DSP). La DSP nest autre que la transformée de Fourier de la fonction dauto-corrélation du bruit. Elle correspond à la répartition en fréquence de la puissance de bruit. +∞ P b = ∫ DSP b (f )df (cas monolatérale) 0    Ainsi, la puissance du bruit est obtenue en intégrant sa DSP sur la gamme de fréquence utile.   Rq1 :Une DSP peut être associée à un comportement en tension ou en courant : V b2 (f )  V²/Hz -> > ² I b2 (f )  /Hz - A I 2 b (f )    Rq2 :   Dans le cas dune DSP constante dans la bande de fréquence utile on parle alors de bruit blanc.   Rq3 : On définit aussi la DSP comme étant le carré du module de la transformée de fourrier: D b =X(f ) 2  

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II Principales sources de bruit Dans ce qui suit, on se place dans un plan de fréquence monolatérale [0 ; +∞]. II.1 Bruit thermique (Johnson noise)   Dans un conducteur, sous une agitation thermique, les électrons ont des mouvements aléatoires qui génèrent des variations de potentiels qui se modélisent pour une source de bruit. Ainsi, une résistance génère un bruit dorigine thermique ayant comme densité spectrale de puissance : X(f )=4k TR hf k f T h (V 2 /Hz) e kT −1 Avec T la température en degrés Kelvin, R la résistance en ohms, h la constante de Planck (6,6.10 -34 Js) et k la constante de Boltzmann : 1,38.10 -23 J.K -1     A température ambiante (300K ) : hf hf pour f=1Ghz hf kT ≈ f=1Thz1 pour hf kT ≈0,9 e kT −1 e kT −1 hf On notera que pour les applications délectronique, on peut négliger le terme hf kT . e kT −1   Ainsi, le bruit thermique dune résistance est considéré comme un bruit blanc et possède donc une DSP constante égale à 4kTR (Pour R=1MΩ, X(f)=10 -14 V²/Hz).   X(f )≈4k TR   On modélise ainsi la résistance bruyante par un générateur de tension placé en série avec une résistance « parfaite » :  

R R ou  R 4kT/ 4kTR   Modèle de bruit dune résistance   Ainsi, la tension efficace de bruit (moyenne quadratique) ou le courant efficace de bruit introduit par une résistance dans un système ayant une bande utile∆vaut : V T =2 k TR∆f I s = 2 kT∆f R  

II.2 Bruit de grenaille (Shot noise)    Ce bruit est du à une génération aléatoire des porteurs dans les semi-conducteurs au travers dune jonction et est proportionnel au courant qui traverse le composant. Ces

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fluctuations microscopique du courant dans les semi-conducteurs se modélisent par une source de bruit en courant ayant comme DSP :    X(f )=2q I moy (A 2 /Hz) Avec q=1,6.10 -19 C    Par exemple, une diode génère un bruit de grenaille du type bruit blanc quand elle est traversée par un courant et on le modélise par une source de courant en parallèle sur la diode :

  Modèle de bruit dune diode    Dans un système ayant une bande passante∆f , le courant quadratique moyen généré par le shot noise vaut : I s 2 =2qI m ∆f (A²)   II.3 Bruit de flicker (rose ou de scintillement)    Cest un bruit basse fréquence. Il est lié à la présence de défauts ou dimpuretés au sein dun semi-conducteur (absorptions et relâchements aléatoires de porteurs). Il est défini par un coefficient empirique (K) qui est lié à la technologie et aux caractéristiques des composants. Sa dépendance spectrale en basses fréquences évolue en 1/F : X(f )= K f  (V 2 /Hz)   II.4 Bruit dun amplificateur    Un amplificateur contient dans sa structure interne des diodes, transistor, résistances qui viennent dégrader le signal par le bruit quils génèrent. Il est pratique de représenter les caractéristiques en bruit de lamplificateur par un modèle équivalent en bruit ramenée en entrée constitué par :   - un générateur de tension de bruit placé en série (type bruit thermique).   - un générateur de courant de bruit placé en parallèle (type bruit de grenaille).                

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Le modèle dun amplificateur avec son bruit ramené en entrée est le suivant :   V²(f) + A.Op I²(f ) - non bruyant   Modèle de bruit ramené en entrée dun Ampli. Op.      Le modèle avec bruit ramené en entrée est obtenu par identification en calculant le bruit total en sortie de lamplificateur pour les deux représentations de lamplificateur (Amplificateur bruyant et amplificateur non bruyant avec bruit ramené en entrée).    Lidentification est effectuée en deux temps afin de déterminer la source équivalent de bruit en tension puis la source équivalent de bruit en courant (ou inversement !) :   ♦V²(f) : Entrée mise en court-circuit, calcul du bruit en sortie puis identification avec le calcul fait avec le bruit ramené en entrée seul (V²(f) en V²/Hz).   ♦ Entrée en circuit ouvert, calcul du bruit en sortie puis identificationI²(f) : avec I²(f) (en A²/Hz).   A noter, que cette représentation peut sappliquer pour tout système. Une fois établie, elle simplifie grandement les calculs, car le système (Ampli, Quadripole) est alors considéré comme parfait (non bruyant), il juste prendre en compte les sources équivalentes de bruit placées en entrée (Ib et Vb).   Les data sheet des C.I. fournissent des renseignements concernant les valeurs V b et I b . Les valeurs typiques sont une tension efficace de bruit de 10nV/ Hz et un courant efficace de bruit de 0.01pA/ Hz .   II.5 Bruit total    Les bruits nétant pas corrélés entre eux (à priori), le bruit total en sortie dun système est la somme des bruit présents au sein du système : __ __ P btot = ∑ P bi    V 2 = ∑ V b 2   btot i i i Ce qui sapplique aussi pour la DSP : DSP btot (f )= ∑ DSP bi (f )   V 2 t (f )= ∑ V 2 (f )    bto bi i i    Ci dessous, lexemple dun relevé de la densité spectrale de puissance de bruit dun amplificateur inverseur à Ampli. OP, le relevé a été effectué pour différents gains :

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  Bruit en sortie dun Amplificateur inverseur (Source Gilles Amendola)    On remarquera, dans ce cas, que le bruit est important en basse fréquence (bruit de flicker), quil présente un minima pour 200kHz (zone de Bruit thermique du type bruit blanc), quil diminue fortement au-delà de 100Mhz (coupure en fréquence de lampli). Le bruit total est la superposition des différents bruits présents dans le système (A.OP et résistance).   III Prise en compte du bruit dans les systèmes III.1 Calcul du bruit sortie dun système linéaire    Le calcul de la puissance de bruit en sortie dun système seffectue à partir de la réponse en fréquence qui lie la tension de bruit en sortie Sb à lorigine de la source de bruit Vb. Soit H(f) cette fonction de transfert : Vb(t) Système  Sb(t) H(f)      Connaissant H(f), on peut écrire que : S b (f )=H(f ).V b (f )      Ce qui implique en terme de densité spectrale de puissance que : S 2 b (f )=H(f ) 2 .V b2 (f )      La densité spectrale de puissance en sortie du filtre S 2 b (f ) est le produit entre la densité spectrale de puissance en entrée V b2 (f ) multiplié par le module élevé au carré de la fonction de transfert du système H(f ) 2 .   La puissance en sortie se calcule en intégrant la DSP S b2 (f ) : +∞ P s,b = ∫ S 2 b (f )df   0  

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Exemple :Calcul de la tension efficace de bruit aux bornes dun circuit RC :

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C b  C R R v(t)

      On prend en compte le bruit de la résistance en lui associant sa tension de bruit b (Bruit thermique de DSP Db(f) = 4kTR, du type bruit blanc). Le calcul seffectue en trois étapes : a: Calcul de la fonction de transfert qui lie la tension v à la source de bruit b est : V(f ) = = H(f) B(f)1j2 1   + πRC    b : Calcul de la DSP de bruit au niveau de la tension v : D v (f )=H(f ) 2 b =   D (f )  1+(2 4k πC²R) RT    La représentation dans le plan de fréquence de la DPS en sortie est donc le produit entre le bruit blanc de la résistance R et le module au carré dun filtre passe bas de fréquence de coupure 1/RC : Dv(f)  4kTR 

Db(f)

1/RC 0 f        c : Calcul du carré de la tension efficace de bruit en sortie, qui correspond à la puissance réduite de bruit, obtenu en intégrant la DSP : 4kTR df kT  ac tan 2 C V _ 2 b _ = + ∫ 0 ∞ D v (f )df= + ∫ 0 ∞ 1+(2πRC)² =   π  ( C πR )    0 +∞ = C kT      On obtient donc une tension efficace de bruit V b = kT C     III.2 Bande équivalente de bruit    Soit un filtre de gain G(f), la bande équivalente de bruit est une bande de fréquence (∆f b  ouBeq) donnant la même puissance de bruit en sortie du filtre en considérant une 

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