Cours - Fonctions vectorielles d'une variable vectorielle.–

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Continuité des fonctions vectorielles E , F et G désignent des espaces vectoriels munis de normes notées . , . et . ou indifféremment E F G. . Les concepts qui suivent sont inchangés par passage à une norme équivalente. I. Généralités A désigne une partie de E . 1°) Définition Déf : On appelle fonction vectorielle définie sur A et à valeurs dans F toute application f :A→F . On note F (A,F ) l’ensemble de ces fonctions. Déf : Pour f ,g :A→F et λ∈K , on définit les fonctions λ.f :A→F et f+g :A→F par : ∀x∈A , (λ.f )(x)=λ.f (x) et (f+g)(x)=f (x )+g(x) . Pour α :A→K et f :A→F , on définit la fonction α.f :A→F par : ∀x∈A , (α.f )(x)=α(x).f (x ) . SiF est une algèbre, on définit la fonction fg :A→K par : ∀x∈A , (fg)(x)=f (x)g(x) . Prop : F (A,F ) est un K -espace vectoriel et une K -algèbre si F en est une. 2°) Applications bornées +Déf : Une application f :A→F est dite bornée ssi ∃M∈ℝ ,∀x∈A, f (x) ≤M . On note B(A,F ) l’ensemble des fonctions bornées de A vers F . Prop : B(A,F ) est un sous-espace vectoriel de F (A,F ) (éventuellement une sous-algèbre). 3°) Applications lipschitziennes 3°) Applications lipschitziennes +Déf : Une application f :A⊂E→F est dite lipschitzienne ssi ∃k∈ℝ ,∀x,y∈A, f (x)−f (y) ≤k x−y . F EProp : Soit f ,g :A⊂E→F et λ∈K . Si f et g sont lipschitziennes alors f+g et λf aussi. Prop : Soit f :A⊂E→F et g :B⊂F→G telles que f (A)⊂B . Si f et g sont lipschitziennes alors gf aussi. Théorème : Soit f ∈L(E,F ) . On a ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Continuitédesfonctions vectorielles 
,etdésignent  .des espaces vectoriels munis de normes notées, .et .ou indifféremment . . Les concepts qui suivent sont inchangés par passage à une norme équivalente.
I. Généralités désigne une partie de. 1°) Définition Déf : On appelle fonction vectorielle définie suret à valeurs danstoute application:. On noteF(, de ces fonctions.) l’ensemble Déf : Pour,:etλ, on définit les fonctionsλ.:et+:par : , (λ.)()=λ.() et (+)()=()+() . Pourα:et:, on définit la fonctionα.:par : , (α.)()=α().() . Siest une algèbre, on définit la fonction:par : , ()()=()() . Prop : F(, un) est-espace vectoriel et une-algèbre sien est une. 2°) Applications bornées Déf : Une application:est dite bornée ssi+,,(). On noteB(,) l’ensemble des fonctions bornées devers. Prop : B(,) est un sous-espace vectoriel deF(,) (éventuellement une sous-algèbre). 3°) Applications lipschitziennes Déf : Une application:est dite lipschitzienne ssi+,,,()() .
Prop :Soit,:etλ. Sietsont lipschitziennes alors+etλaussi. Prop :Soit:et:telles que(). Sietsont lipschitziennes alorsaussi. Théorème : SoitL(,) . On a équivalence entre : (i)est lipschitzienne, (ii)+,,() . 4°) Cas particulier a) application àvaleurs dansun espace vectoriel normé produit Soit1,, .des espaces vectoriels normés respectivement par1,, .et=1×× l’espace vectoriel normé produit. Pour=(1,,),=max. 1Considérons les projections canoniques:=1××. Prop :Les applicationssont lipschitziennes. Considérons:.,()= (1(),,( qui d) ce éfinit=:. Déf : Les applications1,,sont appelées applications coordonnées de. Prop : est bornée ssi ses applications coordonnées le sont. - 1 / 8 -    
  
Prop : est lipschitzienne ssi ses applications coordonnées le sont. b) applicationsà valeurs dans unespace vectorielnorméde dimension finie Soitun-espace vectoriel de dimension finie etB=(1,, base de) uneet .,Bla norme relative àB. Pour=11++,,B=1max. Considérons1,,les applications composantes dans la baseB. Prop :Les applicationssont lipschitziennes. Considérons:.,()=1()1++() ce qui définit=:. Déf : Les applications1,,sont appelées fonctions composantes derelatives à la base (1,,) . Prop : est bornée ssi ses applications composantes le sont. Prop : est lipschitzienne ssi ses applications composantes le sont. II. Limites dune fonction àvaleurs vectorielles 
1°) Limites enunpoint 
Déf : Soitune partie de,:et. On dit quetend versenssi ε>0,α>0,,α()ε. s On note alor→. Théorème : Soit:et. Si→et→alors=. Déf : On dit queconverge enssi il existetel que→. Cet élémentest alors unique, on l’appelle limite deenet on note=limou=lim() .  Prop :Soit,:. Sietsont égales au voisinage dealors→→. Prop :Soit:etune partie detelle que Si→alors→. Déf : Soit:,et. Sous réserve d’existence, on appelle limite deenselonla limite deen. On la note lim() .  ,Prop :Soit:,=′′et′′.  (),→et(),′′→ ssi()→. 2°) Justification de la convergence a) caractérisation séquentielle Théorème : Soit:,un élément adhérent àet. On a équivalence entre : (i)→ (ii)(),(). Cor : Sitend versenalors() . Ce dernier résultat est une extension du théorème de passage à la limite des inégalités.
  
 
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b) convergence par comparaison Théorème : Soit:,:,et. s→. Si()() et→0 alorc) convergenceparopérations  Théorème : Soit,:et. Si→et→alorsλ,,λ+→λ+. Si de plusest une algèbre normée alors→. Cor : L’ensemble des fonctions deversconvergeant enest un sous-espace vectoriel (ou sous-algèbre) deF(,) et֏limdéfinit une application linéaire (ou morphisme dey -algèbre) Prop :Soit:,α:et. Siα→λet→alorsα.→λ.. Théorème : Soit:et:telles que()et Si→et→alors→. Cor : Si→alors→. Théorème : On suppose queest un espace vectoriel normé produit=1××. Soit:de fonctions coordonnées1,,et. →=(1,,)⇔ ∀1,→. (ii)1→λ1,,→λ. Théorème : On suppose quede dimension finie munie d’une baseest un espace  (ε1,,ε) . Soit:de fonctions coordonnées1,,et. On a équivalence entre : (i)→λ1ε1++λε (ii)1→λ1,,→λ. d) convergence par le critère de Cauchy Déf : On dit que: satisfait le critère de Cauchy enssi ε>0,α>0,,,αetα()()ε.
Prop :Siconverge enalorsvérifie le critère de Cauchy en. Théorème : Siest complet et sivérifie le critère de Cauchy enalorsconverge en. 3°) Extensionsde la notion delimite Déf : Soit:et. Sin’est pas majorée, on note+ssiε>0,,,()ε. Sin’est pas minorée, on notessiε>0,,,()ε. Déf : Soit:et Sin’est pas bornée, on note→+→ssiε>0,,,()ε. Déf : :etun élément adhérent à. On note+ssi,δ>0,,δ(). On note→−∞ssi,δ>0,,δ()≤ −. Les résultats raisonnablement attendus sont vrais.
  
 
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4°) Outils de comparaison Soit,:et. Déf : dit que Onest dominée parenssi
,α>0,,α() ( On note alors) .=() . On dit queest négligeable devantenssi ε>0,α>0,,α()ε() . On note alors=() . On dit queest équivalente àenssi=( On note alors) ..   III. Continuité 
1°) Définition Prop :Si:CV enalors lim=() . Déf : application Une:est dite continue enssi→() . Une application:est dite continue ssiest continue en chaque point. On noteC(, des fonctions continues de) l’ensemblevers. Théorème : Les fonctions lipschitziennes sont continues. Prop :Si:est continue alors toute restriction del’est aussi. Prop :Si:est continue et CV en\alors en posant()=lim, on prolongeen une fonction continue sur∪ {}.
2°) Opérations sur lesfonctions continues En vertu des résultats d’opérations sur les limites nous établissons les résultats suivants : Théorème : Soit,:etλ. Sietsont continues alorsλet+sont continues. De plus, siest une algèbre normée alorsest continue. Prop :Soitα:et:. Siαetsont continues alorsα.est continue. Théorème : Soit:et:telle que(). Sietsont continues alorsest continue. Prop :On suppose queest un espace vectoriel normé produit=1××. : est continue ssi ses fonctions coordonnées1,,le sont. Prop :Supposons quesoit de dimension finie (et muni d’une base1,,) . :est continue ssi ses fonctions coordonnées1,,le sont. 3°) Uniformecontinui Déf : application Une:est dite uniformément continue ssi ε>0,α>0,,,α()()ε. Prop :Toute fonction uniformément continue est continue. Prop :Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.
  
 
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IV. Continuité et topologie 1°) Image réciproquedunouvert, d’un fermé Théorème : Soit:. On a équivalence entre : (i)est continue, (ii) l’image réciproque de tout ouvert deest un ouvert relatif de, (iii) l’image réciproque de tout fermé deest un fermé relatif de. Cor : Soit:continue etα. Les ensembles{/()=α},{/()α}et{/()α}sont fermés. Les ensembles{/()α},{/()<α}et{/()>α}sont ouverts. 2°) Continuité et densi Théorème : Soit,:continues. Sietcoïncident sur une partiedense dansalors . = 3°) Image directe duncompact Théorème : Soit:. Siest une partie compacte deet siest continue alors() est une partie compacte de. Cor : Siest compacte alorsC(,)B(,) . Cor : Siest une partie compacte non vide deet:une fonction continue alorsadmet un minimum et est maximum. On dit queest bornée et atteint ses bornes. 4°) Uniformecontinui et compaciThéorème : Siest une partie compacte dealors toute fonction continue deversest uniformément continue. Cor : fonction continue de Toute,versest uniformément continue.
5°) Connexitépararcs Déf : partie Unedeest dite connexe par arcs ssi,, il existe une applicationγ: 0,1 continue vérifiantγ(0)=,γ(1)=etγ( 0,1 ). On dit queγest un chemin allant deàinclus dans. Prop :Les parties convexes sont connexes par arcs. Prop :Les parties connexes par arcs desont ses intervalles. Prop :de deux connexes par arcs est connexe par arcs.Le produit cartésien Théorème : L’image directe d’un connexe par arcs par une application continue et connexe par arcs. Cor : TVI généralisé Siest une partie connexe par arcs deet:une application continue alors( un) est intervalle de. En particulierprend toute valeur intermédiaire entre deux valeurs déjà prises.
V. Continuité et linéarité 
1°) Application linéaire continue Théorème : Une application linéaire:. On a équivalence entre : (i)est continue, (ii)est continue en 0,
  
 
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