COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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erAMAMI MP-PC 1 janvier 2010
7.2 exercices
1280 7.2.1 L’onde plane progressive OPP dans Ie vide
1/Rappeler les équations de Maxwell et en déduire les équations aux
! !
dérivees partielles verifiées par les champs E et B un domaine de I’espace
vide de charges et de courants.
1285 2/Une solution de ces équations est dite en onde plane homogène lorsque
les champs ne dépendent que d’une variable d’espace, soit ici z, et du temps t
Soit X(z, t) une composante quelconque parmi E ;E ;E ;B ;B ;B Résoudrex y z x y z
I’équation scalaire a une dimension verifiée par X(z, t) en introduisant les
2variables p=z ct etq=z+ct ouc μ e = 10 0
1290
3/Interpréter la solution précédente en terme d’ondes planes progressives
homogènes et donner la signification de la grandeur c.
4/Quelle serait I’expression d’une OPP homogène se propageant dans la
!
1295 direction et Ie sens d’un vecteur unitaire u quelconque ?
5/Récrire les équations de Maxwell par leurs projections sur les axes Oxyz en
! !
se limitant pour chacune des composantes de E et B à une fonction de la seule
variable p=z ct.
! !
6/En déduire que les champs E et B sont :
1300 -transverses, c’est-a-dire orthogonaux à la direction de propagation.
-orthogonaux et ont des modules proportionnels.
Montrer qu’il est possible de résumer ces propriétés par une seule relation
vectorielle.
!
1305 7/Quels sont les potentiels V et A correspondant à une telle onde ? Est-il
possible de choisir V = 0 ? Commenter.
E8/l’impédance caractéristique de l’onde est la quantitéZ =μ Déterminerc 0B
I’expression deZ en fonction des caractéristiques du vide. Quelle est sa valeurc
1310 numérique
!
9/Si u est la densité volumique d’énergie électromagnétique et P Ieem
vecteur de Poynting, établir la relation locale traduisant la conservation de
I’énergie électromagnétique en I’absence de charges et de courants.
1315
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!
10/A quelles expressions pour u et P conduisent les équations deem
Maxwell ?
!
11/Calculer u et P pour I’OPP précédente en fonction du seul champem
!
1320 électrique, puis donner une relation simple entre u et P Interpréterem
physiquement ce résultat.
7.2.2 Onde electromagnetique plane progressive
On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans Ie vide.
1325 1/Rappeler l’équation aux dérivees partielles à laquelle satisfont les champs
! !
électrique E et magnétique B
!
2/On suppose que Ie champ électrique est de la forme E =
!E cos(wt kz) e0 z
1330 a/ A quelle équation doit satisfaire k pour que ce champ soit solution de
l’équation rappelée à la question 1 ?
b/Quels sont la direction, Ie sens et la vitesse de propagation de cette onde ?
c/Quel est l’état de polarisation de cette onde ?
d/Quelle est la structure de cette onde ?
! !
1335 e/Calculer Ie champ magnétique B associé à E ainsi que Ie vecteur de
Poynting de l’onde.
3/La puissance moyenne rayonnée par cette onde à travers une surface
2S = 4mm orthogonale à sa direction de propagation est P = 10W Calculer
1340 les amplitudesE etB des champs électrique et magnétique0 0
7.2.3 polarisation des ondes électromagnétiques
1/décrire l’état de polarisation des ondes suivantes
! ! !pa/E =E cos(wt+kz) e +E cos(wt+kz+ ) e0 x 0 y3
! ! !p p
1345 b/E =E cos(wt kz ) e +E cos(wt kz ) e0 x 0 y8 8
2/Donner 1’expression d’une onde électromagnétique plane progressive
harmonique se propageant dans Ie sens des x négatifs, à polarisation circulaire
droite
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1350 7.2.4 notions de conductions dans les métaux
La conductivite peut etre decrite dans Ie modele simple suivant : Un
conducteur metallique est forme d’atomes ionises fixes et d’electrons libres de
densite n (nombre d’electrons libres par unite de volume), ces derniers assurant
la conduction electrique. En plus des forces dues au champ electromagnetique,
1355 un electron de masse Tn et de charge -e est soumis aux forces d’interaction
(chocs) avec les ions, modelisees par une force de type frottement f1uide
! ! !mf = v ou v est la vitesse de I’electron par rapport au conducteur ett une
t
constante dependant de la nature du materiau.
1360 A/conducteur en régime continu : la loi d’ohm
1/Le conducteur est initialement en equilibre (electrons au repos). A partir
de I’instant t = 0, un generateur exterieur impose de façon instantanee un
! !champ electrique uniforme et constant, parallele à l’axe Oz E =E e0 0 z
1365
a/Ecrire et integrer I’equation du mouvement d’un electron en exprimant la
!!vitesse v en fonction de m, e,t et E Que represente physiquementt ?0
! !b/Montrer qu’en regime permanent, v tend vers une valeur limite v quel
1370 l’on déterminera
! !
c/En deduire la loi d’Ohm locale j =g E exprimer la conductiviteg en0 0 0
regime continu en fonction de n, e, m ett
7 1 1 3
1375 d/Pour Ie cuivre g = 5;8:10 W :m et n= 1;1:1029m en deduire la0
valeur numerique det .Commentaire.
2/Le conducteur est de forme cylindrique, de section constante S et de
longueur 1 limitée entre deux points A et B de son axe Oz(Z Z =L)B A
1380
a/Montrer que la difference de potentiel entre les points A et B est
proportionnelle au courant I traversant Ie cylindre :V V =R :IA B 0
Exprimer la resistanceR de la portion AB en fonction de L,g et S0 0
1385 b/Determiner la puissanceP transmise par Ie generateur aux electrons situes
entre A et B, en fonction de R et I, et ceci par deux méthodes (dont aucune ne0
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fait directement appel aP =(VA VB):I. Commentaire.
B/conducteur en régime variable :épaisseur de peau
1390
1/Le generateur exterieur impose un champ electrique sinusoidal de
pulsation w parallèle a Oz et qui dans Ie conducteur est pour Ie moment
! !
suppose uniforme en notation complexe E =E exp jwt e0 z
!
1395 a/Determiner en regime permanent, la vitesse v d’un electron.
! !
b/Montrer que la loi d’Ohm locale s’ecrit encore j =gE ou la conductivité
g en regime variable est complexe.I’exprimer en fonctlon deg ;w;t0
1400 c/Quelles sont les deux differences importantes avec Ie cas du regime
continu ?
d/Jusqu’a quelle frequence f peut-on utiliser, pour Ie cuivre, la valeurg duc 0
regime continu sans commettre une erreur superieure a 0;01 ?
1405
La suite de la partie B concerne Ie cas f < fc
!!
¶Ee/Montrer qu’alors Ie courant de deplacement j =e est negligeableD 0 ¶t!
devant Ie courant de conduction j .qu’appelle t-on cette approximation ?
1410
f/Pourquoi I’hypothese de I’uniformite de E en regime variable n’est-elle
certainement pas valable ?
2/On se propose de corriger cette hypothese dans Ie cas du conducteur
1415 cylindrique d’axe Oz et de rayon a.
a/Montrer, en utilisant I’equation de conservation de la charge, que la densite
volumique de charges est nulle dans Ie conducteur en regime sinusoidal.
b/donner les équations de maxwell et leurs contenus physique dans un
!
1420 milieu contenant une densité de charger et de courant j
c/Deduire des equations de Maxwell I’equation verifiee par Ie champ
electrique dans Ie conducteur.
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! (1+j)(a r) !
1425 d/Montrer qu’une solution du type : E = E exp exp jwt e0 z
d
convient si rd ,r etant la distance d’un point du conducteur à l’axe etd une
grandeur homogene a une longueur a exprimer en fonction deμ ;g;w0
2
¶ 1 ¶On donne en coordonnees cylindriques :D= +2 r¶r ¶r
1430 e/Interpreter physiquement la solution proposee. Quelle signification peut-on
donner ad ?
!
f/Tracer I’amplitude E en fonction de r en admettant que E est negligeable
pour r de I’ordre ou inferieur ad
1435 g/Expliquer pourquoi un fil de cuivre de 1 mm de diametre convient a la
transmission de la fréquence domestique(f = 50Hz) ainsi qu’a celie des basses
frequences de I’electrocinetique(f = 100kHz en TP d’electronique).max
Ce moyen convient-il a la transmission des fréquences radio(f’ 100MHz) ?
Expliquer et justifier Ie nom d’epaisseur de peau donne ad dans ce cas.
1440
C/conducteur en très haute fréquence :plasmon
1/Le calcul de la conductivite effectue a la question B.1 reste valable :
a/A partir de quelle frequence f ’ la conductivite est-elle, en module, reduitec
en gros d’un facteur 100 par rapport a laviteg en basse frequence ?0
1445
b/Calculer f ’ pour Ie cuivre (valeurs numeriques en A1). De quel domainec
d’ondes electromagnetiques s’agit-il ?
La suite de cette question concerne Ie domaine f > f ’c
1450 c/Quelle est I’expression approchee deg ? Quelle hypothese cela revient-i