Cours-7

Cohen-Tannoudji Cl

Description

18.11.03Cours 7 SUPERPOSITIONS LINÉAIRES D’ÉTATSINTERFÉRENCES QUANTIQUES7- 1Description de l’état d’un atomeCas d’un système en équilibre thermodynamiqueL Øtat est complŁtement dØcrit par les populations π des nniveaux d Ønergie E .n−Ek/ TnBπ =EEσ ∝ennnπ : ØlØments diagonaux de l opØrateur densitØ σ dans lanbase {E }. Les ØlØments non diagonaux sont nuls.nσ : mØlange statistique d Øtats E avec des poids π .n nSystème soumis à une perturbation dont l’effet peut être décrit en termes de taux de transition Wn→n'Une description de l Øtat du systŁme par les seules populations π des Øtats E est l encore suffisante, l Øvolution n nde ces populations Øtant dØcrite par l Øquation:!π =−+WWππ∑ ′ ∑ ′′nn→→nnnnnn′≠ nn′≠7- 2àSuperposition linéaire d’étatsIl ne faut pas oublier cependant qu un atome peut aussi Œtre prØparØ dans un Øtat :ψ = cE∑nnnsuperposition linØaire des Øtats E.nMŒme si l Øtat du systŁme n est pas un Øtat pur, comme l Øtat ψ , mais un mØlange statistique d Øtats, la matrice densitØ σpeut avoir des ØlØments non diagonaux σ avec (n≠n ).nn *EEσσ= =≠cc 0′′′nnnnnn*cc : moyenne sur les Øtats du mØlange statistique.′nnLa phase relative des coefficients c et c ne se moyenne pas n n zØro.σ est appelØ parfois cohØrence entre les Øtats E et E .nn n n 7- 3Importance des superpositions linéaires d’étatsNotion centrale en mØcanique quantique.À l origine du fait que l amplitude de probabilitØ associØe un processus ...

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Extrait

18.11.03

Cours 7

’ SUPERPOSITIONS LINÉAIRES D ÉTATS INTERFÉRENCES QUANTIQUES

7-

1

 est comLétatéd ttirctèlpnemeop patular pes loisn  :éléments diag

7- 2

niveaux dénergie E n . k T n =E n σE n ∝e −E n / B π n onaux de lopérateur densité σ dans la base {E n }. Les éléments non diagonaux sont nuls. σ : mélange statistique détats E n avec des poi ’ ds π n . Système soumis à une perturbation dont l effet peut être décrit en termes de taux de transition W n→n' Une description de létat du système par les seules populationsπ n des états E n est là encore suffisante, lévolution de ces populations étant décrite par léquation: ! n = − ∑ W n→n ′ π n + ∑ W n ′→ n π n ′ ′ ≠ ′ ≠ n n n n

π n des

’ Cas d un système en équilibre thermodynamique

’ ’ Description de l état d un atome

Superposition linéaire d états ’

c n E n

Il ne faut pas oublier cependant quun atome peut aussi être préparé dans un état : = ∑ n superposition linéaire des états E n . Même si létat du système nest pas un état pur, comme létat ψ, mais un mélange statistique détats, la matrice densité σ peut avoir des éléments non diagonaux σ nn avec (n≠n). E n σE n ′ = σ n n ′ =c n c n * ′ ≠0 c n c n * ′ :moyenne sur les états du mélange statistique.

La phase relative des coefficients c n et c n ne se moyenne pas à zéro. σ nn est appelé parfois cohérence entre les états E n et E n . 7- 3

’ Importance des superpositions linéaires d états

Notion centrale en mécanique quantique.

À lorigine du fait que lamplitude de probabilité associée à un processus peut apparaître comme une somme damplitudes dont le carré du module contient des termes dinterférence.

Interférences quantiques entre amplitudes de transition partant du même état initial et aboutissant au même état final.

Effets physiques nouveaux impossibles à décrire et à comprendre en termes de populations et de taux de transition.

Ces effets constituent la richesse (et le mystère) de la mécanique quantique.

7- 4

Buts des cours 7 et 8

1  Montrer comment les interactions atome-photon permettent de créer et de détecter des cohérences Zeeman, hyperfines ou optiques.

Éléments non diagonaux de la matrice densitéσentre sous niveaux Zeeman différents du même niveau hyperfin, entre 2 sous niveaux Zeeman appartenant à des niveaux hyperfins différents, entre le niveau fondamental f et le niveau excité e dune transition optique.

 Comment ces diverses cohérences se manifestent-elles?  À quels effets nouveaux donnent-elles naissance?  Quelles applications peuvent-elles avoir?

7- 5

Buts de ce cours (suite)

2  Dégager les notions de base qui sont utiles pour aborder des problèmes plus récents comme :  les cohérences spatiales Éléments non diagonauxr " "  2de ent rσre points différents " et " ′ de l'espace. r r Jouent un rôle essentiel dans divers problèmes: interférométrie atomique; propriétés de cohérence dun condensat de Bose-Einstein.  les états intriqués Superpositions linéaires de 2 états produits de 2 systèmes différents. Par exemple, 2 spins 1/2 dans létat: ψ =2/1A,+B,− −A,−B,  +   la décohérence Fragilité des superpositions détats macroscopiquement différents vis-à-vis de la dissipation.

7- 6

Plan du cours 7

Création et détection de cohérences atomiques Dans létat excité e Dans létat fondamental f Entre e et f Équation dévolution des cohérences

Effets physiques associés à ces cohérences Résonances de croisement de niveaux Excitation en lumière modulée Modulation de la lumière émise ou absorbée Battements quantiques Piégeage cohérent de populations. États noirs

7- 7

CRÉATION ET DÉTECTION DE COHÉRENCES ATOMIQUES

7-

8

Comment créer des cohérences Zeeman dans l état excité e ’

Action d un champ RF résonnant ’

Par exemple, dans lexpérience de double résonance, les atomes, portés dans M e =0 par une excitationπ, se retrouvent dans une superposition des sous niveaux M e =+1,0,-1 sous leffet du champ RF. Est-ce possible par excitation avec un champ optique large bande? Mélange statistique dondes planes k avec des poids I(k) formant une raie de grande largeur∆(sources à décharge). A priori, le caractère incohérent du champ excitateur semble incompatible avec la création de superpositions détats avec des phases relatives bien définies. En fait, des cohérences Zeeman peuvent être obtenues dans e si la polarisation du faisceau lumineux est bien choisie. 7- 9

’ Choix d une polarisation du faisceau lumineux

Choisissons une polarisationεqui n est, niσ + pure, niπpure, niσ - pure, mais une superposition linéaire de ces 3 polarisations de base : " " " " a + ε + +a 0 ε 0 +a − ε − Partant du sous niveau fondamental M f =0, latome est excité par chaque onde plane k dans M e =+1, 0, -1 avec des   a. amplitudes respectivement proportionnelles àa + ,a 0 , - Les phases relatives des coefficients du développement de létat de latome sur M e =+1, 0, -1 sont donc les mêmes que les phases relatives dea + ,a 0 ,a - . Elles ne dépendent pas de k et restent inchangées quand on moyenne sur k. Des cohérences Zeeman apparaissent donc bien dans e avec un choix convenable de polarisation.

7- 10

B 0

Interprétation en termes de moment cinétique transversal. Supposons que le faisceau lumineux se propage le long de laxe x avec une polarisationσ + par rapport à cet axe, laxe de quantification défini par le champ statique B 0 étant parallèle à laxe z. (Les sous niveaux dénergie M e et les 3 polarisations de baseσ + ,π,σ - sont définis par rapport à laxe z). ’   z ’ n toho pdun ioptsbrol a sedLroσ + , ne une unité de moment l atome gag  ’ cinétique le lon ’ g de laxe x et se  retrouve dans l état|M e =+1> x qui est une superposition linéaire des = 3 états|M e +1, 0, -1> z Le choix dune polarisation qui nest, niσ + pure, niπpure, niσ - pure par rapport à laxe de quantification z entraîne donc lapparition dans e dune grandeur transversale (perpendiculaire à z): « orientation » ou « alignement » T ± 1 1 )( ,T ±2 )(2 ,T ±1 2)( (T q (k) :opérateurs tensoriels irréductibles) 7- 11

σ +

x