Cours-FI-I

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Extrait

 

Chapitre 1

Theorie des probabilites elementaire

1.1Promenadesaleatoires Cepremierchapitreoreunexposesynthetiquedesfondationsmathematiquesdelatheorie desprobabilites.Nousavonschoisivolontairementderestreindrenotrepresentational’etude desphenomenesaleatoiresneprenantqu’unnombrenidevaleurs.Cechoixnouspermet notamment de contourner la theorie abstraite de l’integration de Lebesgue, sur laquelle la theorie generale des probabilites est edi ee. Dans ce contexte simpli e, la theorie des probabilites se resume a une analyse fonctionnelle elementaire sur des espaces nis. A titre d’exemple, une experiencealeatoireneprenantqu’unnombrenidevaleurscorrespondtoutsimplementala donneed’unensemblenid’evenementsmunisd’unemesurerepresentantlesdeprobabilites derealisationdechacun. Ce chapitre introductif est consacre a l’etude des divers objets mathematiques correspondantauxprincipalesnotionsprobabilistes,telleslesnotionsdevariablesaleatoires,le conditionnement, et l’independance entre evenements. Ces modeles mathematiques permettent une analyse precise et rigoureuse de nombreux phenomenes aleatoires discrets. De plus, la terminologieprobabilisteestenadequationparfaiteavecl’experience.Ainsil’etudedeces modeles permet d’approfondir conjointement l’analyse mathematique et l’intuition probabiliste de phenomenes aleatoires complexes. Cechapitres’organisedelafaconsuivante: La premiere section concerne l’etude des mesures de probabilites (sur des espaces d’evenements discrets). Nous insisterons sur les phenomenes aleatoires uniformes ou chaque evenementspeutserealiseraveclamˆemeprobabilite.Nouspresenteronslesmodeles combinatoires d’urnes traditionnels. La seconde section porte sur les notions de variables aleatoires (en abregev.a.), et la propriete de mesurabilite par rapport a une algebre d’evenements. Ces modeles ensemblistes permettent de modeliser l’information apportee par la donnee d’une variable aleatoire. La troisieme et derniere section concerne l’une des notions les plus importantes, et la plus fructueusedelatheoriedesprobabilites,lanotiondeconditionnement.Cettenotionintervient 7

  

8BILIT  ESDESPROBAHTE  ROEIPATIER.1HCRIATE  LE  NEME des que l’on etudie des phenomenes aleatoires sachant une information partielle sur le resultat de l’experience. 1.1.1 Experiences aleatoires Une experience aleatoire discrete se decrit mathematiquement par la donnee d’un espace ni . Les pointsω∈enesntte rrepenemtnselsveeaires.Ilelementeppasiofraptnosssleesl epreuves,lesresultats,ouencorelesaleasdel’experience.LessousensemblesA sontde , appeles les evenements.enemtnOnditquel’eveAse produit lorsqueω∈A.AinsiAse produit autant de fois qu’il y a d’evenements elementaires dansA.

Une mesure de probabilitePsur , est une applicationP [0 dansde ,1], telle que P ω∈ P(ω) = 1. La probabiliteP(A) d’un evenementA, est denie par la formule P(A) = X P(ω) = X 1 A (ω)P(ω) ω∈A ω∈

On notera que l’on aP( ) = 1, etP(∅) = 0, avec la convention P ∅ bmesneseL.0=t,es le∅, sont appeles respectivement, l’evenement certain, et l’evenement impossible. Le couple ( ,P), est appele un espace de probabilite, ou encore un espace de probabilites. Exemple 1.1.1aglsnemuiotnasepoitalduntoenermAa10nutse,seduxdenttajeen, evenementaleatoireAqui s’exprime dans l’espace produit = ( 1  2 ) avec 1 = 2 ={1,6} , . . . avec la formule A={(4,6),(6,4),(5,5)} Chaque aleaω= (ω 1 , ω 2 )ntseeselre,eprstseratluω 1 , etω 2 , des lancers du premier, et du deuxiemedes.Pourdesdesnonpipes,laprobabilitederealisationd’unjetdonne,disons ω= (1,2)est deP[(1,2)] = 1/36eA.niisalrpobabilitepourquAaeresdtseesilpaeenonr P(A) =P[(4,6)] +P[(6,4)] +P[(5,5)] = 3/36 = 1/12 Sil’ons’interesseuniquementauxresultatsdupremierdes,ilestbienplusjudicieuxdeles exprimer dans l’espace 1 ={1, . . . ,6}. Obtenir le chir e6cederdestunes,e,olalcnsrud evenementaleatoirequis’exprimedans 1 nedusingleton,aplrdanoA 1 ={6}  1 . La probabilitederealisationdechaquealeaω 1 ∈ 1 duprncerauladantt,ssedremeeinopserroc, alorsdonneepar P 1 (ω 1 ) = def. P[{ω 1 }  2 ] = X P[(ω 1 , ω 2 )] = 6/36 = 1/6 ω 2 ∈ 2

1.1.PROMENADESAL  EATOIRES9 L’exempleprecedentmontrequ’eˆemesnavumnealirtoementaenirpxdremuepee’st des espaces probabilises plus ou moins complexes.En pratique, l’on pourra mettra aprotcettesouplesse,enchoisissantl’espaceprobabiliseleplussimplerendantcomptede l’experience etudiee. La representation des evenements comme partie d’un ensemble  ore une correspondance precieuse entre les operations logiques sur les realisations des experiences, et les operations d’inclusion/exclusion classiques de la theorie des ensembles : A tout evenementA, on associe son contraireA c =   AiuqealiseriqueseunisemtnAne l’est pas. A tout couple d’evenements A,B , l’evenementA∩Best celui qui se realise uniquement si les evenementsAetBse realisentsimultanement.Demeˆme,l’evenementA∪Bse realise, lorsque l’evenementAouB se realise. Lorsque l’on aA∩B=∅, on dit que les evenementsAetBsont incompatibles. Nous laissons le soin au lecteur de verier les formule suivantes :

–A∩B=∅=⇒P(A∪B) =P(A) +P(B). –∀A, B P(A∪B) +P(A∩B) =P(A) +P(B). –∀AωP(A c ) = 1   P(A). – Pour toutA, B, C P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C) {P(A∩B) +P(B∩C) +P(A∩C)}+P(A∩B∩C)

Exercice 1.1.1Verier les formules A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (A∪B) c =A c ∩B c A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (A∩B) c =A c ∪B c Exercice 1.1.2ntmesve’enetceldnoirentMoecoltoutpour)queneecucrrrre(rapA 1 , . . . , A n , nous avons P(A 1 ∪. . .∪A n )P(A 1 ) +. . .+P(A n ) Exercice 1.1.3SoitA, BpuocnurtreM.nouqeevled’entsenem A4B= [A∩B c ]∪[B∩A c ] = (A   B)∪(B   A) representel’evenementouexactementAouBerquel’onaspeorudtiV.eir 1 A4B = 1 A + 1 B   21 A∩B Endeduireparlecalcul,puisschematiquement,laformule P(A4B) =P(A) +P(B)   2P(A∩B)



10ERIAITILS  E  EELNTME  HOEIRDESERPBOBACHAPITRE1.T Probleme1.1.1.1(formuledePoincare)SoitA 1 , . . . , A n  une suite d’evenements. 1. Verier les formules suivantes 1 A 1 ∩A 2 = 1 A 1 ∩1 A 2 1 A 1 ∪A 2 = 1   (1   1 A 1 )(1   1 A 2 ) = 1 A 1 + 1 A 2   1 A 1 ∩A 2 2. Montrer que n 1 ∪ n p=1 A p = 1    Y 1   1 A p  p=1 3. En utilisant la formule n n Y (1 +a i ) = 1 + X X a i 1 . . . a i p i=1 p=1 1 i 1 <...<i p n qui est valable pour toutn0, et pour tout(a i ) 1in ∈R n eri,v’ideerletnti n P(∪ in =1 A i ) = X X (   1) p   1 P(A i 1 ∩. . .∩A i p ) (1.1) p=1 1 i 1 <...<i p n 4. Montrer que pour toutA ,ω∈ , etu∈R, on a (1 +u) 1 A (ω) = 1 +u1 A (ω) avec la convention0 0 = 1, lorsqueu=   1, etω6∈Aiuerddeneit’ldiet.En n (1 +u) P i n =1 1 A i = Y (1 +u1 A i ) i=1 Parunraisonnementanalogueaceluiutilisedanslaquestionprecedente,verierl’identite n X (1 +u) P n i=1 1 i A (ω) P(ω) = 1 + X X u p P(A i 1 ∩. . .∩A i p ) ω∈ p=1 1 i 1 <...<i p n 5.RetrouverlaformuledePoincare(1.1),enposantu=   1. 1.1.2 Paysages uniformes Lorsque tous les evenements elementairesωd’un espace probabilise ( ,Ptlamˆemeno) probabiliteple calcul des probabilites des evenements composes, A reduit au comptage se denombred’elementsdansAlP.icerpsuent,semavonnouss P( ) = X P(ω) =| | p= 1 =⇒p= 1/| | ω∈ etparconsequent,nousavons