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• Publié par: Chowyug
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• Langue: Français

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Mod´elisation et calcul des interfaces bi-fluides
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19 d´ecembre 2001Copyright (c) 2001 Pierre Saramito
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21 Introduction aux ´equations de Navier-Stokes
1.1 Conservation de la masse
Introduisons les notations suivantes :
ρ(x,t) la densit´e au point x =(x ,x ,x ) et `a l’instant t.1 2 3
u(x,t) =(u (x,t)) la vitesse au point x et `a l’instant t.i 1≤i≤3
Ω
V
x
u(x,t)
´Fig. 1 – Ecoulement dans un domaine Ω.
3SoitΩ⊂R ledomaineouvertborn´eoccup´eparlefluideetV ⊂ Ωunsous-domaineouvert
r´egulier quelconque, comme repr´esent´e sur la figure 1. La conservation de la masse dans le
volumeV exprime que la variation de la masse totale de fluide contenu dansV `a l’instant
t est ´egale au flux de masse entrant `a travers ∂V : Z Z
d
ρ(x,t)dx =− ρ(x,t)u(x,t).n(x)ds
dt V ∂V
ou` n est la normale unitaire sortante `aV sur ∂V. Rappelons la formule de Stokes :Z Z
1 3v.nds= divvdx, ∀v∈ (H (V))
∂V V
etappliquons cetteformule aumembre de droitedel’´equation de conservationde la masse,
avec v =ρ(.,t)u(.,t). Apr`es permutation de la d´erivation en temps et de la somme sur V
dans le membre de gauche, il vient : Z
∂ρ
+div(ρu) dx =0
∂tV
3Cette relation ´etant vraie pour tout voisinageV d’un point quelconque x de l’ouvert Ω, et
`a tout instant t d’un intervalle de temps ]0,T[, nous obtenons une expression locale de la
conservation de la masse :
∂ρ
+div(ρu) =0 dans Ω×]0,T[ (1)
∂t
1.2 Conservation de la quantit´e de mouvement
Cette relation s’´enonce de fac¸on g´en´erale :
masse×acc´el´eration = forces exerc´ees
ceci dans tout volumeV ⊂ Ω de fluide. Consid´erons une particule en x `a l’instant t : cette
2particule sera enx+u(x,t)δt+O(δt ) `a l’instantt+δt. Ainsi, son acc´el´eration est donn´ee
par :
2u(x+u(x,t)δt+O(δt ),t+δt)−u(x,t)
a(x,t) = lim
δt→0 δt
∂u
= +u.∇u (x,t)
∂t
ou` u.∇u est la notation d’un vecteur de composantes
3X ∂ui
(u.∇u) = u , 1≤i≤ 3i j
∂xj
j=1
Les forces exerc´ees sur le volumeV sont de deux sorte :
i) Les forces externes, duˆes `a la gravit´e :Z
ρ(x,t)gdx
V
ou` g est le vecteur gravit´e, suppos´e constant. Nous n´egligerons ici les autres forces,
telles que la force de Coriolis ou les forces duˆes aux effets magn´etiques.
ii) Les forces internes, duˆes aux d´eformations du fluide :Z
σ (x,t)n(x)dxtot
∂V
ou` σ (x,t) est le tenseur sym´etrique des contraintes totales.tot
La notation σ n repr´esente un champs de vecteur issu du produit tenseur-vecteur, detot
composantes :
3X
(σ n) = σ n , 1≤i≤ 3tot i ij j
j=1
4La conservation de la quantit´e de mouvement s’´ecrit donc :Z Z Z
∂u
ρ(x,t) +u.∇u (x,t),dx= ρ(x,t)gdx+ σ (x,t)n(x)dstot
∂tV V ∂V
Introduisons la divergence d’un tenseur τ : !
3X∂τij
divτ =
∂xj
j=1 1≤i≤3
Ainsi, divτ est un champs de vecteur, `a trois composantes. Afin d’´eviter toute ambigu¨ıt´e
avec la divergence d’un champs devecteur divv,l’op´erateur divergence de tenseur est not´e
en caract`eres gras.
En appliquant la formule de Stokes suivante :Z Z
1 3×3τnds= divτdx, ∀τ ∈ (H (V))
∂V V
au tenseur σ (.,t), la conservation de la quantit´e de mouvement devient :tot Z
∂u
ρ +u.∇u −divσ −ρg dx= 0tot
∂tV
Cette relation ´etant vrai pour tout voisinageV d’un point quelconque x de l’ouvert Ω, et
`a tout instant t, nous obtenons une expression locale de la conservation de la quantit´e de
mouvement :
∂u
ρ +u.∇u −divσ =ρg dans Ω×]0,T[ (2)tot
∂t
1.3 Loi de comportement
Commenc¸ons par introduire quelques d´efinitions. Tout d’abord, d´efinissons la trace d’un
tenseur τ :
3X
tr(τ) = τii
i=1
1Un tenseur τ peut ˆetre d´ecompos´e en la somme de tr(τ)I, appel´e partie sph´erique,
3
1et de τ − tr(τ)I, sa partie d´eviatrice, ou` I = (δ ) est le tenseur identit´e et δij 1≤i,j≤3 ij3
repr´esentant le symbole de Kronecker.
La partie sph´erique du tenseur des contraintes totales permet d’introduire le champs de
pression :
1
p=− tr(σ )tot
3
5La partie d´eviatrice du tenseur des contraintes totales est not´ee σ, si bien que :
σ =−pI +σ (3)tot
La loi de comportement exprime une relation entre la partie d´eviatrice du tenseur des
contraintes totales et le tenseur des gradients de vitesse ∇u :
∂ui
(∇u) = , 1≤i,j≤ 3ij
∂xj
Dans le cas le plus simple d’un fluide newtonien, la loi de comportement est :
2η
σ = 2ηD(u)− div(u)I (4)
3
ou` η est une constante positive appel´ee viscosit´e et D(u) est la partie sym´etrique du
tenseur de gradient des vitesses :
T∇u+∇u
D(u) =
2
Le tenseur D(u) est aussi appel´e tenseur des taux de d´eformation. Remarquons que
tr(D(u))= divu,sibienquel’expression dumembre dedroitede(4)estbiena`tracenulle.
L’eau et l’air sont des fluides newtoniens et v´erifient la relation (4). Un certain nombre de
fluides ne v´erifient pas cette loi de comportement, et sont appel´es fluides non-newtoniens;
citons notamment :
– les pˆates alimentaires (pˆate `a pain, ...), les argiles et terres;
– lesfluidespr´esentantdesfibres,telsquelesplastiquesfondusoubienlesmicro-organismes
en biom´ecanique;
– les m´elanges de fluide et de particules, tels que le sang, les m´elanges de sable et d’eau;
– les gaz rar´efi´es.
La loi entre σ et∇u est alors non-lin´eaire.
1.4 Hypoth`ese d’incompressibilit´e
Dans la suite, nous allons supposer la densit´e ρ constante. Cette hypoth`ese se justifie
lorsque le fluide est de l’eau, ou bien encore de l’air `a faible vitesse. La conservation de la
masse (1) conduit alors `a la relation d’incompressibilit´e :
divu = 0 dans Ω×]0,T[ (5)
et la loi de comportement (4) devient :
σ =2ηD(u)
6En utilisant la d´ecomposition (3) du tenseur des contraintes totales, la conservation de la
quantit´e de mouvement (2) devient alors :
∂u
ρ +u.∇u −div(2ηD(u))+∇p =ρg dans Ω×]0,T[
∂t
Remarquant encore l’identit´e div(2D(u))= Δu+∇(divu), cette relation s’´ecrit aussi :
∂u
ρ +u.∇u −ηΔu+∇p=ρg dans Ω×]0,T[ (6)
∂t
Les ´equations (5)-(6) sont appel´ees ´equations de Navier-Stokes.
1.5 Probl`eme aux limites
Le probl`eme est compl´et´e par une condition initiale :
u(x,t=0) =u (x) pour presque tout x∈ Ω0
et par une condition aux limites :
u(x,t=0) =u (x) pour presque tout x∈∂Ω, t∈]0,T[Γ
ou` u et u sont donn´es.0 Γ
Le probl`eme de Navier-Stokes s’´enonce alors :
(NS) : trouver u et p tels que
∂u ρ +u.∇u − ηΔu + ∇p = ρg dans Ω×]0,T[ ∂t
− divu = 0 dans Ω×]0,T[ u(0) = u dans Ω0
u = u sur ∂Ω×]0,T[Γ
Pourdesr´esultatsd’existence etd’unicit´e, onpourraconsulter[Lio68]ou[Pir88],page132.
1.6 Approximation en temps
L’intervalle [0,T] est partitionn´e en N sous-intervalles [t ,t ], ou` t =nΔt, 0≤n≤Nn n+1 n
et Δt =T/N est le pas de temps.
Introduisons la d´eriv´ee totale d’une quantit´e ϕ :
dϕ ∂ϕ
= +(u.∇)ϕ
dt ∂t
7ϕ= 0
(n)ϕ=ϕ
t =0
(n+1)ϕ =ϕ
t =t (n+1)n u
(n)X (x)
t =tn+1
(n) xu
Fig. 2 – Approximation de la d´eriv´ee totale.
(n)Notons X (x) la position de la particule au temps t qui est `a la position x au tempsn
t . Cette situation est repr´esent´ee sur la figure 2. La d´eriv´ee totale de ϕ `a l’instant tn+1 n+1
est approch´ee suivant l’expression de type diff´erences finies :
(n)dϕ ϕ(x,t )−ϕ(X (x),t )n+1 n
(x,t ) = +O(Δt)n+1
dt Δt
Remarquons que la d´eriv´ee totale du champs des vitesses
du ∂u
= +(u.∇)u
dt ∂t
apparaˆıtdans les´equations de Navier-Stokes. Ilest donc possible d’approcher ce terme par
(n)du u(x,t )−u(X (x),t )n+1 n
(x,t ) = +O(Δt)n+1
dt Δt
Utilisons un sch´ema d’Euler implicite pour approcher en temps le probl`eme :
(n+1) (n) (n)Y −Y ◦X (n+1)M +F(Y ) = 0
Δt
(0)Y = Y0
avec
uY =
p
M = diag(ρ, 0) −ηΔu+∇pF(Y) = −divu
(n) (n)Nous pouvons construite par r´ecurrence une suite (u ) , ou` u (x) ≈ u(x,t ) est0≤n≤N n
une approximation de la vitesse :
8Algorithme 1.1 (sch´ema d’Euler implicite)
(0)• n= 0 : u :=u est donn´e.0
(n) (n+1) (n+1)• n≥ 0 : u ´etant connu, trouver u et p tels que
ρ ρ(n+1) (n) (n)(n+1) (n+1)u − ηΔu + ∇p = ρg+ u ◦X dans Ω
Δt Δt
(n+1)− divu = 0 dans Ω
(n+1)u = u (t ) sur ∂ΩΓ n+1
1.7 Probl`eme de Stokes
`A chaque ´etape de l’algorithme pr´ec´edent, nous avons `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de
type Stokes, de la forme :
(S) : trouver u et p tels que
(αI−ηΔ)u + ∇p = f dans Ω
− divu = 0 dans Ω
u = u sur ∂ΩΓ
−1 3 1/2 3ou` α etη sont des constant