Cours sur la cohérence temporelle

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Extrait

Chapitre 3
Coh´erence temporelle
3.1 Spectre d’une vibration polychromatique
3.1.1 D´efinition
La lumi`ere blanche du Soleil est compos´ee d’une infinit´e de couleurs observables derri`ereun prisme. Chaque
couleur est associ´ee `a une fr´equence et une longueur d’onde et l’onde lumineuse est alors la superposition
d’une infinit´e d’ondes monochromatiques. A chacune de ces ondes monochromatiques est associ´ee une intensit´e
chromatiqueF(ν) qui d´ecrit l’intensit´e associ´ee a` l’onde de fr´equence ν.
F( ) ν
dI=F( )d ν ν dν
ν
ν
La quantit´e
dI =F(ν)dν
est l’intensit´e comprise entre les fr´equences ν et ν +dν (voir figure ci dessus). F(ν) est appell´ee spectre de la
lumi`ere, ou densit´e spectrale d’intensit´e. Elle repr´esenteune intensit´e par unit´e de fr´equenceet son unit´e MKSA
−2 −1est Wm Hz (bien qu’en optique, on travaille toujours a` une constante pr`es quand on calcule l’intensit´e).
Voici quelques exemples des types de spectre que l’on peut rencontrer
Spectre du corps noir C’estuneapproximationdelalumi`ereduSoleiloud’unelampe`afilament.Lespectre
est une fonction de Planck qui d´epend de la temp´erature du corps ´emetteur

−138πhν hν
F(ν) = exp −1
3c kT
avec T temp´erature du corps, h constante de Planck, k constante de Boltzmann, c vitesse de la lumi`ere. Pour
14le Soleil (T =6000 K), cette courbe pr´esente un maximum pour la fr´equence ν = 3.510 Hz et poss`ede une
14largeur d’environ 4.10 Hz (voir figure 3.2).
Onde monochromatique Il n’y a qu’une fr´equenceν dans laquelle toute l’´energie de l’onde est concentr´ee.0
Le spectre est une distribution de Dirac. On parle de raie monochromatique.
F(ν) =I δ(ν−ν )0 0
1´Chapitre 3 : Coherence 2
Courbe de Planck : spectre du corps noir
1
0.9 Temp : 5760 K
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1e+14 2e+14 3e+14 4e+14 5e+14 6e+14 7e+14 8e+14 9e+14 1e+15
Fréquence
Fig. 3.1 – Spectre d’un corps noir a` la temp´eratureT = 5760 K (c’est celle de la photosph`ere du Soleil). Cette
fonction mod´elise l’intensit´e ´emise dans chaque fr´equence par une ´etoile comme le Soleil.
Realtion entre l’amplitude de l’onde et le spectre On se place en un pointM de de coordonn´ees~r. Soit
une onde plane d’amplitude complexeψ(~r,t). Nous noterons cette amplitudef (t) =ψ(~r,t) pour faire ressortirr
sa d´ependance temporelle. L’onde n’est pas monochromatique, mais elle peut se d´ecomposer en int´egrale de
Fourier. Il vient : Z
∞
2iπνtˆf (t) = f (ν)e dνr r
−∞
Cette ´ecriture montre quef (t) est une somme continue d’ondes planes monochromatiques de fr´equencesν (onr
ˆparle de paquet d’ondes. La quantit´e dψ = f (ν)dν est l’amplitude associ´ee `a chacune de ces ondes planes.r
2ˆL’intensit´e correspondante est dI =|f (ν)| dν et fait ainsi apparaitre le spectre F(ν). Il vientr
2ˆF(ν) =|f (ν)|r
le spectre d’une onde en un point ~r est donc le module carr´e de la transform´ee de Fourier temporelle de son
amplitude complexe.
Vibration quasi-monochromatique C’est le cas de la lumi`ere ´emise par les gaz excit´es : les photons ´emis
δElors d’une transition entre deux niveaux d’´energie s´epar´es de δE ont une fr´equenceν = (h est la constante0 h
de Planck) plus ou moins une quantit´e Δν inversement proportionnelle `a la dur´ee de vie du niveau (principe
d’incertitude de Heisenberg). On parle de largeur naturelle. C’est aussi le cas de la lumi`ere ´emise par un gaz
exit´e confin´e dans une ampoule sous haute pression, l’effet Doppler associ´e `a la vitesse des mol´ecules ´elargit la
raie d’´emission du gaz. Ce peut ˆetre aussi simplement une lumi`ere blanche qui est pass´ee `a travers un filtre
color´e ou interf´erentiel.
Le spectre est une fonction P(ν) appel´ee profil de raie, centr´ee autour d’une fr´equence ν et de largeur0
Δν≪ν appel´ee largeur de raie ou largeur de bande. Ou encore bande passante. On ´ecrit0
F(ν) =P(ν−ν )0
Δν −6Lestransitions´electroniquesproduisentdesraiesdeprofilLorentzienavecunelargeurrelative ≃ 10 ,tandisν0
Δν −4que l’effet Doppler correspond a` des raies gaussiennes dont la largeur d´epend de la temp´erature ( ≃ 10ν0
dans le cas du Soleil).
3.2 Degr´e de coh´erence : application aux franges d’Young
On consid`ere une onde plane quasi-monochromatique de spectre F(ν) =P(ν−ν ) arrivant sous incidence0
normale sur un ´ecran perc´e de deux trous quasi-ponctuels. La direction de propagation est not´eez, le plan des
Spectre normalisé´Chapitre 3 : Coherence 3
Spectre quasi−monochromatique Profil de raie
11 P( ) νF( ) ν
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 Δν 0.4
0.2 0.2
20 40 60 80 100 -40 -20 20 40
ν νν0
(unités arbitraires) (unités arbitraires)
Fig. 3.2 – Spectre et profil de raie typiques d’une onde quasi-monochromatique, caract´eris´ee par une largeur
de raie Δν≪ν . La fonction profil est centr´ee `a l’origine, le spectre est centr´e sur une fr´equence ν .0 0
trous est pris comme origine desz. La distance entre les trous esta, la distance entre le plan des trous et le plan
d’observation est d≫a (on suppose valable l’approximation de la diffraction `a l’infini entre les plans z = 0 et
z =d). On cherche `a calculer l’intensit´e en un pointM de coordonn´ees (x,y) dans le planz =d. Le sch´ema est
le suivant :
x x
Onde plane
polychromatique M
a
0 d
Ecran
d’observation
d >> a
Plan des trous
Intensit´e produite par une tranche [ν,ν +dν]
F( ) ν
On consid`ere un intervalle ´el´ementaire de fr´equences de largeur
dν autour de la fr´equence ν. L’amplitude de l’onde incidente
−(z = 0 ) `a cette fr´equence est dψ , l’intensit´e est dI =F(ν)dν.0 0
Npus allons calculer l’intensit´e produite en M par cet intervalle
dν´el´ementaire de fr´equences en utilisant le formalisme de la diffrac-
tion de Fraunh¨offer.
ν
ν ν0
−– L’amplitude enz =0 vaut dψ .0
+– Enz = 0 apr`es le passage a` travers les trous l’amplitude s’´ecrith i
a a
df (x,y) =dψ δ x− ,y +δ x+ ,y0 0
2 2
.
– Enz =d l’amplitude est la TF dedf (diffraction `a l’infini). Il vient0
ikde πax
df(x,y) =dψ 2cos0
iλd λd´Chapitre 3 : Coherence 4
Fig. 3.3–Frangesd’Youngpourtroislongueursd’ondeλ <λ <λ .L’interfrange,proportionnel`alalongueur1 2 3
d’onde, est diff´erent pour les trois syt`emes de franges. En ´eclairage polychromatique, les 3 syst`emes de franges
s’ajoutent (en intensit´e) et donnent une figure complexe pr´esentantune frange brillante au milieu (diff´erence de
marche nulle). Les graphes du bas repr´esentent l’aspect visuel des franges dans ce cas (couleurs) et le graphe
de l’intensit´e totale (en trait plein).
c– L’intensit´e correspondante est, en fonction deν = :λ
2
dI =dI (1+cos(2πτν)) (3.1)0 2 2λ d
axAvec τ = , cette variable poss`ede la dimension d’un temps. Il s’agit du temps de retard entre les deux ondes
cd
interf´erant en M (diff´erence de marche parcourue a` la vitesse de la lumi`ere). L’intensit´e dI est celle d’une
λdfigure de franges d’Young de constraste 1 et d’interfrange i = . C’est la situation habituelle dans le cas
a
monochromatique.
Intensit´e totale dans toutes les longueurs d’onde
Chaque fr´equence (ou chaque longueur d’onde) produit un syst`eme de franges d’Young avec un interfrange
d´ependant de la longueur d’onde comme illustr´e par la figure 3.3. Puisque des ondes de fr´equences diff´erentes
dont incoh´erentes entre elles, ces franges d’Young s’ajoutent en intensit´e. La frange centrale (correspondant a`
x =0) est brillante quelle que soit λ, on aura donc toujours une frange brillante au centre.
Le calcul de l’intensit´e se fait en int´egrantdI sur la fr´equence. Il vient :Z Z
∞ ∞2 2
I = dI (1+cos(2πτν)) = F(ν) (1+cos(2πτν)) dν02 2 2 2λ d λ d
−∞ −∞
Le spectre de la lumi`ere,F(ν) est une fonction r´eelle, on peut ´ecrireZ Z
∞ ∞2
−2iπτνI = F(ν)dν +ℜe F(ν)e dν
2 2λ d
−∞ −∞´Chapitre 3 : Coherence 5
x x
Onde incidente
M
Points qui
interfèrent
en M
0 d
δ (différence de marche)
retard τ=δ/c
δ
Fig. 3.4 – Ce sch´ema illustre comment deux portions de l’onde incidente situ´ees sur deux fronts d’ondes A
et B interf`erent en M. Le front d’onde A est en retard d’une quantit´e τ sur B avant le plan des trous. Ce
retard est rattrap´e ensuite a` cause de la diff´erence de marche. Faire une exp´erience de trous d’Young revient `a
faire interf´erer deux fronts d’onde de l’onde incidente, d´ecal´es temporellement de τ. Le d´ecalage temporel est
ajustable car il est proportionnel a` x. Plus x est grand, plus le retard est important.
ˆIl apparait la transform´ee de FourierF(τ) du spectre. En introduisant la fonction profil par la relationF(ν) =R
∞ ˆP(ν−ν ), et en utilisant la propri´et´e f(x)dx =f(0)