suites-cours

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Mathematiques pour le signal discret { Ma32Guy CasaleIRMaR b^ at 21 Beaulieuhttp ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/ ReferencesA First Course in Mathematical AnalysisDavid Brannan, Cambridge University PressMathematiques BTS-DUT IndustrielsC. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus{ Chapitre 1 : Suites numeriques{ 2 : Series numeriques{ Chapitre 3 : Series entieres{ 4 : Transformee en Z11 Suites numeriques1.1 Quelques de nitions.De nition 1 Une suite numerique est une fonction de N dans R (suite reelle)ou C (suite complexe) qui a un entier n associe un nombre u .nUne suite est notee (u ) ou (u ) et u est appele le terme general de lan n2N n nsuite.Cette notation est une abreviation de (u ;u ;u ;u ;u :::).0 1 2 3 4Exemples 1{ Les decimales d’un nombre : l’ecriture de est (3; 1; 4; 1; 5;:::).{ Suites de nies a partir d’une formule f en prenant les valeurs de f en les2 sinxx +epentiers : Si f(x) = , f de nit une suite u =f(n).njxj { Suites constantes u =c2C pour tout n2N : (c;c;c;c;c;:::).n{ La suite des temperatures (en C) relevees tous les matins a l’IUT : (8:5; 12; 9:2; 7:6; 8;:::):{ Echantillonnage a la periode T d’un signal F :e(F (t );F (t +T );:::;F (t +nT );:::) = (u ;u ;:::u :::):0 0 e 0 e 0 1 nNous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.Representations graphiques2Operations sur les suitesSoient (u ) et (v ) deux suites.n nOn de nit la somme (u ) + (v ) terme a terme :n n( u ...

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Extrait

Math´ematiquespourlesignaldiscret–Ma32 Guy Casale

IRMaRbaˆt21Beaulieu

http ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/

R ´ efe ´ rences A First Course in Mathematical Analysis David Brannan, Cambridge University Press Mathe´matiquesBTS-DUTIndustriels C. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus

–Chapitre1:Suitesnume´riques –Chapitre2:S´eriesnum´eriques

–Chapitre3:Se´riesentie`res –Chapitre4:Transform´eeenZ

1

1

Suitesnume´riques

1.1Quelquesd´efinitions. De´finition1teuim´nuiqeresueenutcnofnoitednUseNdansReellet´rs(iue) ouCeitnenua`iuq)exeomplitec(surnassocie un nombreu n . Unesuiteestnot´ee(u n ) n∈N ou(u n )etu n ppate´lesen´´ealerteleegrmlade suite.

Cettenotationestuneabr´eviationde(u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . . .).

Exemples 1 –Lesde´cimalesd’unnombre:l’´ecrituredeπest(3,1,4,1,5, . . .). –Suitesde´finiesa`partird’uneformulefen prenant les valeurs defen les 2 sinx x+e entiers : Sif(x) = p ,fenustie´dfieinutu n =f(n). |x| −π – Suites constantesu n =c∈Cpour toutn∈N:(c, c, c, c, c, . . .). ◦ –Lasuitedestempe´ratures(enCv´eerele)sna`amitlssetsuoT:IUl’(8.5,12,9.2,7.6,8, . . .). –Echantillonnage`alap´eriodeT e d’un signalF:

(F(t 0 ), F(t 0 +T e ), . . . , F(t 0 +nT e ), . . .) = (u 0 , u 1 , . . . u n . . .).

Nous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.

Repre´sentationsgraphiques

2

) ) )

u 3 v 3 u 3 +v 3

u 4 v 4 u 4 +v 4

. . . u n . . . . . . v n . . . . . . u n +v n . . .

) ) )

) )

) )

u 2 u 1

u 3 u 2

u 1 v 1 u 1 v 1

. . . u n . . . . . . u n+1 . . .

. . . u n . . . . . . v n . . . . . . u n v n . . .

Onde´finitleproduit(u n )×(v n `emrreta:meet)

u 4 v 4 u 4 v 4

u 4 u 5

3

De´finissezvousmˆemelesd´ecalages±kpourk∈N:

u 1 v 1 u 1 +v 1

Ond´efinitle1+“e”ecd´agalou vers le futur (u n+1 ) :

u 2 v 2 u 2 v 2

u 1 u 2

u 3 u 4

u 2 u 3

u 2 v 2 u 2 +v 2

u 1 u 0

+ =

Op´erationssurlessuites

Onde´finitlasomme(u n ) + (v n `emrreta:emte)

u 0 u 1

= =

u 0 0

( (

= =

( (

Ond´efinitle1-”ga“eecald´´ssa(eolspevureu n−1 ) :

( ( (

u 0 v 0 u 0 v 0

× =

Soient (u n ) et (v n ) deux suites.

u 0 v 0 u 0 +v 0

( ( (

(u n ) (u n+1 )

(u n ) (u n−1 )

u 4 u 3

. . . u n . . . . . . u n−1 . . .

u 3 v 3 u 3 v 3

D´efinition2esuieUneellet´r(u n )est dite

–e´eorajmsi

–ee´ronimsi

–´nrobeesi

–croissantesi

–siastne´dceorsi

Remarque 1Une suite(z n )bmoncserediorce´deetnassrequsˆet´eedalifixesemolptuapenep oude´croissantecaronnepeuxpastoujourscomparerdeuxnombrescomplexes.Lessuites –(<ez n )lleer´estiarspde,se –(=mz n )des parties imaginaires, –(|z n |)des modules peuventˆetrecroissantes,de´croissantes,born´ees,...

Deuxcaracte´risationsde la variation d’une suite :

–Unesuitere´elle(u n nesti)estssancroir(et.psece´dsiorntsasie)seetemul u n+1 −u n est toujours (resp. ).

–Unesuiter´eelle(u n ) de nombresstrictement positifsest croissante u n+1 (resp.de´croissante)sietseulementsiest u n (resp. ).

4

D´emonstrationparre´currence. Pourmontrerquequ’uneproprie´t´eP(n) est vraie pour toutn≥n 0 : 1.Onmontrequelaproprie´te´estvraieaurangn 0 i.e.P(n 0 ) est vraie. 2. On montre que si pourne´xfi,P(n−1) est vraie alorsP(n) l’est aussii.e. P(n−1)⇒P(n).

Exemple1

Calculezparr´ecurrencelasommedesnerscarr´premise: 1 2 Sc(n) = 1 + 4 + 9 + 16 +. . .+n=n(n+ 1)(2n+ 1). 6

1.

2.

1.2 Limites & convergence De´finition3On dit qu’une suite(u n )tend (ou converge) versun nombre`si pourtoutepr´ecisionεil existe un rangNtel que pour toutn≥Nles nombresu n soienta`unedistanceεde`:

∀ε >0,

∃N∈N

tel que

n≥N⇒ |u n −`| ≤ε

1 √ Exemple 2trap’driqsnoa`’uMtronmrgee´´nrieuleatedetnranglasuncertai n+1 −10 est plus petit que10.

S’il existe, le nombre`´eellaespptalimitede la suite (u n ) et on note

limu n =`ouu n −→`. n→+∞n→+∞ S’il n’existe pas on dit que la suitediverge.

5

Exemples2

−n –Lasuitedetermege´n´eralu n =econverge vers0.

n –Lasuitedetermeg´ene´ralu n =converge vers1. n+ 2

2 –Lasuitedetermeg´ene´ralu n =nne converge pas.

nπ –Lasuitedetermeg´en´eralu n = sin( )ne converge pas. 2

Th´eor`eme1

– Si la limite existe elle est unique.

–Unesuiteconvergenteestborne´e.

– Si(u n )et(v n )tnefi´erivu n =v n lorsquen > n 0 alors (u n )converge si et seulement si(v n )converge.

– S’il existeq∈Ntel queu n+q =v n pour toutnalors (u n )converge si et seulement si(v n )converge. Si elles convergent,limu n = limv n . n→+∞n→+∞

Preuve.

–

. . .

The´ore`me2Toutesuitecroissajamteetntseee´rogeernvcoe.nt ( tideetusiosse´rcetmianteeeesnor´teen.ontcrgveouT )

Preuve.

–

. . .





1 1 1 Exemple 3nsquelasMontroinperaiuet´dfieu n = 1 + + +. . .+ n converge. 2 4 2

6

1.3 1.3.1

1.3.2

1.3.3

Re`glesope´ratoiressurleslimites. Combinaisonslin´eaires.

0 0 Siu n −→`etv n −→`alorsu n +v n −→`+` . n→+∞n→+∞n→+∞ Siu n −→`etλ∈R(ouC) alorsλu n −→λ`. n→+∞n→+∞

b. Produits et quotients.

0 0 Siu n −→`etv n −→`alorsu n v n −→`` n→+∞n→+∞n→+∞ 0 u n ` Si de plus lesv n ainsi que`sont non nuls alors−→ 0 . v n ` n→+∞

Imageparunefonctioncontinue.

Siu n −→`et sifest une fonction continue en`alors n→+∞

f(u n )−→f(`). n→+∞

7