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• Publié par: Orku
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• Langue: Français

Extrait

´A C A D E M I E D E M O N T P E L L I E R
´U N I V E R S I T E M O N T P E L L I E R II
— SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC —
`THESE
pour obtenir le grade de
´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE MONTPELLIER II
Discipline : Mathematiques´ Appliquees.´
Formation Doctorale : Biostatistique.
´Ecole Doctorale : Information, Structures, Systemes.`
present´ ee´ et soutenue publiquement
par
Laurent GARDES
le
Titre
ˆEstimation d’une fonction quantile extreme
Jury
Pierre Jacob Directeur de these`
Stephane´ Girard de these`
Armelle Guillou Rapporteur
Ivette Gomes
Jean-Noel¨ Bacro Examinateur
Irene` Gijbels

Table des matier` es
Introduction 4
1 Estimation du support d’un processus de Poisson en utilisant la base de Faber-Schauder 12
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Definition´ de l’estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Approximation de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Estimation de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Resultats´ preliminaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Forme explicite de la fonction noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Etude de la fonction noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Etude de la valeur extremeˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Convergence uniforme de l’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Convergence de l’estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Convergence uniforme presque complete` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Rappels sur la theorie´ des valeurs extremesˆ et resultat´ preliminair´ e 32
2.1 Theorie´ des valeurs extremesˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Definition´ d’une fonction a` variations reguli´ eres` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Representation´ de Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Quelques resultats´ sur les fonctions a` variations reguli´ eres` . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.4 Loi des valeurs extremesˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.5 Caracterisation´ des domaines d’attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.6 Theor´ eme` de Pickands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Un resultat´ preliminaire´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Hypotheses` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Enonce´ et demonstration´ du resultat´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Utilisation de seuils aleatoir´ es pour estimer l’indice de valeur extremeˆ 43
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Hypotheses` et resultat´ preliminaire´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Definitions´ des estimateurs de l’indice de valeur extremeˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2