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• Publié par: Fawyeng
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• Langue: Français

Extrait

`THESE DE DOCTORAT
de
´l’UNIVERSITE PARIS 6
´ ´ ´SPECIALITE : MATHEMATIQUES
present´ ee´ par
Laurent BERGER
pour obtenir le grade de
´Docteur de l’UNIVERSITE PARIS 6
´ ´REPRESENTATIONS p-ADIQUES ET EQUATIONS
´DIFFERENTIELLES
soutenue le 17 Mai 2001 devant le jury compose´ de :
M. Pierre Berthelot
M. Bruno Chiarellotto Rapporteur
M. Gilles Christol
M. Pierre Colmez Directeur
M. Jean-Marc Fontaine Rapporteur
M. Jean-Pierre WintenbergerLaurent Berger
´REPRESENTATIONS p-ADIQUES ET
´ ´EQUATIONS DIFFERENTIELLESLaurent Berger
MS 050 Brandeis University, PO Box 549110, Waltham MA 02454-9110.
E-mail :[e-mail]
Url :http://www.unet.brandeis.edu/˜laurent
Classification mathematique´ par sujets (2000). — 11Gxx, 11Sxx, 12H25, 13K05, 14F30.
Mots clefs. — Periodes´ p-adiques, representations´ p-adiques ordinaires, semi-stables, cris-
tallines, de de Rham, monodromie p-adique, equations´ differentielles´ p-adiques, isocristaux
surconvergents, theorie´ de Hodge p-adique.
17 Mai 2001

´ ´REPRESENTATIONS p-ADIQUES ET EQUATIONS
´DIFFERENTIELLES
Laurent Berger
Resum´ e´. — Dans cet article, on montre comment associer a` toute representation´ p-adique V ,
†
via la theorie´ des -modules de Fontaine, une equation´ differentielle´ p-adique D V ,K rig
c’est-a-dire` un module a` connexion sur l’anneau de Robba.
Cette construction permet de faire le lien entre la theorie´ des -modules et la theorie´ deK
Hodge p-adique. On montre par exemple comment construire D V et D V directement a`cris st
†
partir de D V , ce qui permet de reconnaˆıtre les representations´ semi-stables ou cristallines ;rig
la connexion est alors unipotente ou triviale. Alliee´ a` des techniques de la theorie´ des equations´
†
differentielles´ p-adiques, l’etude´ du module D V permet en outre de donner une nouvellerig
demonstration´ d’un theor´ eme` de Sen caracterisant´ les representations´ C -admissibles.p
Finalement on peut utiliser les resultats´ prec´ edents´ pour etendre´ au cas d’un corps residuel´
1 1parfait quelconque des resultats´ de Hyodo (H H ), de Perrin-Riou (sur la semi-stabilite´g st
des representations´ ordinaires), de Colmez (les representations´ absolument cristallines sont de
hauteur finie), et de Bloch et Kato (si r 0, alors l’exponentielle de Bloch-Kato exp est unV r
isomorphisme) dont les demonstrations´ (dans le cas d’un corps residuel´ fini) reposaient sur des
considerations´ de dimensions de groupes de cohomologie galoisienne.
Abstract (p-adic representations and differential equations). — In this paper, we associate
†
to every p-adic representation V a p-adic differential equation D V , that is to say a modulerig
with a connection over the Robba ring. We do this via the theory of Fontaine’s -modules.K
This construction enables us to relate the theory of -modules to p-adic Hodge theory.K
†
We explain how to construct D V and D V from D V , which allows us to recog-cris st rig
nize semi-stable or crystalline representations; the connection is then either unipotent or trivial.
†Along with techniques from the theory of p-adic differential equations, the study of D Vrig
allows us to give a new proof of Sen’s theorem characterizing C -admissible representations.p
Finally we can use the previous results to extend to the case of arbitrary perfect residue fields
1 1some results of Hyodo (H H ), of Perrin-Riou (the semi-stability of ordinary representa-g st
tions), of Colmez (absolutely crystalline representations are of finite height), and of Bloch and
Kato (if r 0, then Bloch-Kato’s exponential exp is an isomorphism), whose proofs (for aV r
finite residue field) relied on the study of dimensions of Galois cohomology groups.REMERCIEMENTS
Je voudrais tout d’abord remercier Pierre Colmez, qui a dirige´ ce travail, pour avoir partage´
avec moi ses idees´ et ses connaissances, et pour m’avoir consacre´ beaucoup de son temps et
de son ener´ gie. Son cours sur les fonctions L p-adiques a et´ e´ mon introduction aux anneaux
de periodes,´ et m’a donne´ envie d’explorer cette voie. Je suis tres` heureux qu’il ait accepte´ de
diriger mon memoire´ de DEA, puis ma these,` sur ce sujet.
Durant mes recherches, Gilles Christol a repondu´ a` mes nombreuses questions sur les equations´
differentielles´ p-adiques ; je suis content qu’en plus, il fasse partie de mon jury, et je l’en remer-
cie. Bruno Chiarellotto et Jean-Marc Fontaine se sont acquittes´ d’une tacheˆ peu seduisante´ : ils
ont accepte´ d’etreˆ les rapporteurs de ce travail, et de plus de faire partie du jury. Je leur en suis
tres` reconnaissant. Pierre Berthelot a repondu´ a` mes questions sur la cohomologie rigide ; je le
remercie, ainsi que Jean-Pierre Wintenberger, d’etreˆ membre de mon jury.
Pendant les trois ans qu’il m’a fallu pour mener a` bien ce travail, j’ai et´ e´ soutenu financierement`
par plusieurs institutions, que je remercie de leur accueil :
´(1) L’Ecole Normale Superieure´ de la rue d’Ulm, ou` j’etais´ dans ma derniere` annee´ de sco-
larite´ ;
(2) l’University of Massachusetts, Amherst, dont le departement´ de mathematiques,´ dirige´
par Don St. Mary, m’a tres` gentiment accueilli pendant une annee´ ;
(3) le departement´ de mathematiques´ de Brandeis University, dirige´ par Gerald Schwarz, ou`
je vais rester faire ma cooperation´ en travaillant avec Fred Diamond.
Je voudrais aussi remercier pour leur soutien et leur aide : Jeff Achter, Christophe Breuil, Clifton
Cunningham, Fred Diamond, Adrian Iovita, Peter Norman et Glenn Stevens.
Il en va de memeˆ pour ma famille et mes amis, et bien surˆ pour Mirela.
Enfin, je tiens particulierement` a` remercier Nicolas Tosel, qui m’a appris tant de mathematiques.´