(these)

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7Chapitre 2 : Perturbations et stabilit´e dansles syst`emes dynamiquesLebutdecechapitreestdepr´esenterlesnotionsclassiquesdelath´eoriedessyst`emesdy-namiquesquiserontutilis´eesdanscetteth`ese.Onypasseraaussienrevuelesprobl´ematiqueset les r´esultats connus concernant la stabilit´e structurelle de la dynamique des ´equationsdiff´erentielles ordinaires et des ´equations aux d´eriv´ees partielles.1 Probl`emes de stabilit´e : le formalisme math´emati-quePoursimplifier,nousnouslimiteronsiciauxsyst`emesdynamiquesappel´essemi-groupes.D´efinition 1.1. Soit r un entier positif ou nul. Soit X un espace de Banach et M unersous-vari´et´e de X de classe C . La famille (S(t)) d’applications de M dans M estt∈R+r rappel´ee semi-groupe non-lin´eaire de classeC , ou simplement semi-groupeC , si :i) S(0)=Id,ii) pour tout temps positifs t et s, S(t)S(s)=S(t+s),0iii) l’application S : (t,U)→ S(t)U est de classeC (R ×M,M) et toutes ses d´eriv´ees+0de Fr´echet en U jusqu’a` l’ordre r sont de classeC (R ×X,X).+rOn dit que (S(t)) est un groupe de classe C si les trois propri´et´es pr´ec´edentes sontt∈Rvraies pour t et s dansR.Dor´enavant, nous entendrons par syst`eme dynamique, ou semi-groupe, un semi-groupe0de classeC .Notons que l’on peut aussi d´efinir des syst`emes discrets, ou` la dynamique ne correspondplus `a une ´evolution continue pendant un temps t≥ 0 mais un nombre n∈N d’it´erationsd’un processus.Nous rappelons ici quelques d´efinitions classiques.0D´efinition1.2. ...

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Chapitre2:Perturbationsetstabilit´edans lessyst`emesdynamiques

Lebutdecechapitreestdepre´senterlesnotionsclassiquesdelathe´oriedessyst`emesdy- namiquesquiserontutilise´esdanscetteth`ese.Onypasseraaussienrevuelesprobl´ematiques etlesre´sultatsconnusconcernantlastabilite´structurelledeladynamiquedes´equations diffe´rentiellesordinairesetdese´quationsauxde´riv´eespartielles.

1Probl`emesdestabilite´:leformalismemathe´mati- que Poursimplifier,nousnouslimiteronsiciauxsyste`mesdynamiquesappel´essemi-groupes. D´efinition1.1.Soitrun entier positif ou nul. SoitXun espace de Banach etMune sous-varie´t´edeXde classeC r . La famille(S(t)) t∈R + d’applications deMdansMest appel´eepueg-oresimnessadeclairein´eon-lC r , ou simplement semi-groupeC r , si : i)S(0) =I d, ii) pour tout temps positifstets,S(t)S(s) =S(t+s), iii) l’applicationS: (t, U)→−7S(t)Uest de classeC0(R + × M,M)tuseteote´iresdseev´s deFre´chetenUuj’uqs’la`rdroersont de classeC 0 (R + ×X, X). On dit que(S(t)) t∈R est ungroupede classeCrdentec´espr´et´erp´ipsorrtiolisesossetn vraies pourtetsdansR. Dore´navant,nousentendronsparsyst`emedynamique,ousemi-groupe,unsemi-groupe de classeC0. Notonsquel’onpeutaussid´efinirdessyste`mesdiscrets,o`uladynamiquenecorrespond pl`aunee´volutioncontinuependantuntempst≥0 mais un nombren∈Nnosd’´eittira us d’un processus. Nousrappelonsiciquelquesde´finitionsclassiques. D´efinition1.2.Uneerijartotcednfie´entervalliesuruniIest une fonctionU∈ C 0 (I , X) telle que pour toutt∈Iett ′ ≥0tel quet+t ′ ∈I,U(t+t ′ ) =S(t ′ )U(t). SiI=R, on parle deajtrtoececirplome`et. L’orbite positived’unborn´eBest l’ensemble{S(t)x  t≥0, x∈ B}. On appellebreuiliop´’qenidtu´emennt´ele∈Xtel que pour touttpositif,S(t)e=e. On appellerboeuqidoire´petitep´eriopluspetiededTteomec`epljaceotriuenrtU(t)

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ve´rifiantU(t+T) =U(t)pour toutt≥0ueeqttceet,lltetee´enospeorrp´irifi´eeitpasv´e pour un tempsT′∈]0, T[. L’lembseenωli-imetd’un pointU 0 est l’ensemble des pointsx∈Xtels qu’il existe une suite de temps(t n ) n∈N croissant vers+∞telle queS(t n )U 0 converge versx. L’eblesnmeαim-leitd’un pointU 0 est l’ensemble des pointsx∈Xtels qu’il existe une trajectoire(U(t)) t≤0 avecU(0) =U 0 et une suite de temps(t n ) n∈N d´ecroistnassrev−∞ telle queU(t n )converge versx. Une trajectoirecomohenilajecnetrecomtoiretlpe`utseU(t)telle que l’ensembleω−limite deU(0)et l’ensemble{x∈X ∃(t n )→ −∞, U(t n )→x}ostntsertnostexuage´`atsinre unseulpointd’´equilibreou`auneseuleorbitepe´riodique. Une trajectoirerecoilenht´´eseutenrtecompl`eatejectoirU(t)telle que l’ensembleω−limite deU(0)et l’ensemble{x∈X ∃(t n )→ −∞, U(t n )→x}sont distincts et sont chacun restreintsa`unseulpointd’e´quilibreoua`uneseuleorbitep´eriodique.

SoitΛunespacem´etrique.Lesprobl`emesdeperturbationssontmod´elise´sparune famille (S λ (t)) λ∈Λ de semi-groupesC 0 .S λ 0 (tdnopysuaoc)serrnamiqueist`emedyinitlate pourλproche deλ 0 ,S λ (tor)cme`tsysuadnopseruel’´e,qrocheappulesdepe`prenosen plus proche deS λ 0 (t) quandλtend versλ 0 . Dire queS λ (t) est une bonne approximation deS λ 0 (t)teesrdsusrnisfimptnapveeipmelerexntre`amoestirune:typeondumati ∀T 2 > T 1 ≥0,∀M >0,sup supkS λ 0 (t)U−S λ (t)Uk X −→0 quandλ−→λ 0 , kUk X ≤M t∈[T 1 T 2 ] ouuneestimationplusfaibledanslecasdeperturbationssinguli`eres. Sil’onsouhaitefaireunee´tudeasymptotique,laconvergenceentempsfininesuffitpas. Obteniruneconvergencedetouteslestrajectoiresentempsinfiniestenge´ne´ralillusoire.Il fautalorsserestreindresoit`al’e´tuded’uncomportementqualitatiflocale,commel’attrac- tivite´d’unpointd’e´quilibre,soita`l’´etudedelaconvergenced’ensembleact´eristiques s car de la dynamique comme par exemple les attracteurs compacts g lobaux. D´efinition1.3.On dit qu’un ensembleS 1 ⊂Xattireun ensembleS 2 ⊂Xsi supdist X (S(t)x,S 1 )−→0quandt→+∞, x∈S 2 ou`dist X dilasted’ceanstaunensemunpoint`lbe dist X (x,S 1  in) = S f 1 ky−xk X  y∈ Unattracteur global compactAnsysourupe`tmeS(t)est un ensemble compact, inva- riant par le flot (pour toutt≥0,S(t)A=Aotsuelbsro´nseedtq)eatuiretiX.

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Denombreuxsyste`mesphysiquesdissipatifs,autrementditdontl’´energiede´croitavec letemps,poss`edentunattracteurcompactglobal.Remarquonsquecetattracteurcontient touteslestrajectoirescomple`tes. SoitS λ 0 (temeqyst`metuuiadartcanttmoapuecrctns)uA λ 0 . Supposons que ses per- turbationsS λ (t) admettent aussi un attracteur compactA λ alsn.epUnimerere`ate´adep comparaisonqualitativedeladynamiqueestl’e´tudedelaconvergencedeA λ versA λ 0 en tantqu’ensembles.Ainsi,danslecasdel’´etuded’unepopulationanimale,siA λ 0 ={0} (c’est-`a-diresilapopulationfinittoujourspars’e´teindre),lacontinuit´edesattracteurs indique queA λ eetsnuneesbmelrte`psorhcde{0}ninfituqerpalelupooita(c’est-`a-di toujourspardevenirtr`espetite).Enfin,pouraffinerl’e´tude,onpeutcherchera`compa- rerladynamiquerestreinte`al’attracteur,parexempleencomparantlesdiagrammesde phase : si l’attracteur limite comprendntrebsieliuqe´’dstniopmbrosetire´pdiioesqun,o souhaitequ’ilensoitdemˆemepourl’attracteurperturbe´etquelesconnexionshomoclines eth´et´eroclinessoientconserve´es.Danslecasdel’exemplesimpleA λ ={0}, la conserva- 0 tion du diagramme de phase signifie queA λ td’´poin`aunduituq.eueinilrbqeiue´res

2Propri´ete´deMorse-Smaleetr´esultatsdestabilite´ 2.1Syst`emesdynamiquessurdesvari´et´escompactesdedimen- sion finie SoitM d ⊂R k isnominedddebsroesanpactecom´et´neurivaiefindetr≥1. Soit Fun champ de vecteurs de classeCrueenofcn-ta`d-ri,c’esontideCr(Md,Rk) telle que F(x `) apparti l’espace tangentT x M d d´En.ssnafieinrtjaltseiresectoU(t) comme les enne a solutionsdel’e´quationdiffe´rentielleordinaire d dt U(t) =F(U(tstsyunntiebtno,oeme)`) dynamiqueS F (tte,nasuiansl).Dnous´drenoisuocsestlstsyqunienemqimaseueme`nyds surMdde ce type. Notons que pourr≥juotsruoemessontelssyst`ioer,d1setletsarejtc prolongeablesendestrajectoirescomple`tesetquecessyst`emessatisfontlapropri´ete´de grouped’op´erateurs.Deplus,commeMdest compacte, l’ensembleω−ouα−limite de toutpointestnon-vide.Pourplusdede´tailssurlesnotionsdeceparagrapheoupourles preuvesdespropositions,nousrenvoyonslelecteuraulivredePalisetDeMelo[44]eta` celui de Shub [61].

De´finition2.1.ibilre´equntd’npoiUeest ditobreuqileypherentielledusys`tmeelisffida ´ ene DS F (e)(1) :T e M d −→T e M d ecersurlnit´cleue.enUapn’elavedsaerporpru orbitepe´riodiqueU(t)´preediodeThypediteestleeltiener´ffidaliseuqilobrDS F (U(0))(T) : T U(0) Md−→T U(0) MddeS F (T)enU(0)nit´cleureeautrlsuerecprurreopedsaelavpa’n que1et que1est une valeur propre simple. Un ensembleS ⊂ Mdest ditpositivement invariantsi pour toutt≥0,S F (t)S ⊂ Set

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