L1M ANALYSE Feuille Dérivabilité Accroissements finis

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
L1M 2011-2012 ANALYSE Feuille 5 Dérivabilité - Accroissements finis Exercice 6 1) La fonction f :]? 1; 1[??]? pi2 ; pi 2 [ définie par f(x) = arcsin(x) est la bijection réciproque de la fonction S :]? pi2 ; pi 2 [?]? 1; 1[ définie par S(x) = sin(x). La fonction S est dérivable sur ] ? pi2 ; pi 2 [ et sa fonction dérivée S ? : x 7? cos(x) ne s'annule pas sur cet intervalle. Par propriété sur les bijections dérivables on en déduit que la fonction f est dérivable sur ] ? 1; 1[ et de fonction dérivée f ? : x 7? 1S?(f(x)) = 1 cos(arcsin(x)) . Comme arcsin(x) ?] ? pi 2 ; pi 2 [ son cosinus est positif et par suite cos(arcsin(x)) = √ cos2(arcsin(x)) = √ 1? sin2(arcsin(x)) = √ 1? x2 ce qui permet de conclure que f ? : x 7? 1√ 1?x2 2) La fonction g :]? 1; 1[??]0;pi[ définie par g(x) = arccos(x) est la bijection réciproque de la fonction C :]0;pi[??]? 1; 1[ définie par C(x) = cos(x).

• conséquence immédiate de l'enca- drement


• propriété sur les bijections dérivables


• théorème des accroissements finis

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Théorème des accroissements finis

Informations

• Publié par: davaj
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• Langue: Français

Extrait

L1M 2011-2012ANALYSE Feuille5 DÉrivabilitÉ- Accroissements finis Exercice 6 π π 1) Lafonctionf:]−1; 1[−→]−; [dÉfinie parf(x) = arcsin(x)est la bijection rÉciproque 2 2 π π de la fonctionS:]−; [→]−1; 1[dÉfinie parS(x) = sin(x). 2 2 π π 0 La fonctionSest dÉrivable sur]−; [et sa fonction dÉrivÉeS:x7→cos(x)ne s’annule pas sur cet 2 2 intervalle. Par propriÉtÉ sur les bijections dÉrivables on en dÉduit que la fonctionfest dÉrivable sur]−1; 1[et de 0 1 1π π fonction dÉrivÉef:x7→ 0 =. Commearcsin(x)∈]−; [son cosinus est positif et par S(f(x)) cos(arcsin(x)) 22 p p √ 2 2 2 suitecos(arcsin(xcos (arcsin()) =x1)) =−sin (arcsin(x)) =1−xce qui permet de conclure que 0 1 √ f:x7→ 2 1−x 2) Lafonctiong:]−1; 1[−→]0;π[dÉfinie parg(x) = arccos(x)est la bijection rÉciproque de la fonctionC:]0;π[−→]−1; 1[dÉfinie parC(x) = cos(x). 0 La fonctionCest dÉrivable sur]0;π[et sa fonction dÉrivÉeC:x7→ −sin(x)ne s’annule pas sur cet intervalle. Par propriÉtÉ sur les bijections dÉrivables on en dÉduit que la fonctiongest dÉrivable sur]−1; 1[et de 0 1 1 fonction dÉrivÉeg:x7→ 0 =. Commearccos(x)∈]0;π[son sinus est positif et par C(g(x))−sin(arccos(x)) p p √ 2 2 2 suitesin(arccos(xsin (arccos()) =x1)) =−cos (arccos(x1)) =−xce qui permet de conclure que 0 1 √ g:x7→ 2 −1−x π π 3) Lafonctionh:R−→]−; [dÉfinie parh(x) = arctan(x)est la bijection rÉciproque 2 2 π π de la fonctionT:]−; [→RdÉfinie parT(x) = tan(x). 2 2 π π 0 1 La fonctionTest dÉrivable sur]−; [et sa fonction dÉrivÉeT:x7→ 2 ne s’annule pas sur cet 2 21+tan(x) intervalle. Par propriÉtÉ sur les bijections dÉrivables on en dÉduit que la fonctionhest dÉrivable surRet de fonction 0 11 1 dÉrivÉeh:x7→ 0 = 2 = 2 T(h(x)) 1+tan(arctan(x)) 1+x Exercice 7SoitP(n)pourn≥1la propriÉtÉ suivante : " Si une fonctionfestnfois dÉrivable sur un intervalle]a;b[et qu’elle s’annulen+ 1fois sur cet in- (n)i`eme tervalle et quefsa dÉrivÉenest continue sur]a;b[alors il existe au moins un rÉelx 0 ∈]a;b[tel que (n) f(x 0 ) = 0. " Prouvons par rÉcurrence que la propriÉtÉP(n)est vraie pour tout n :

1) La propriÉtÉP(1)n’est autre que le thÉorÈme de Rolle, elle est donc vraie. 2) Supposons la propriÉtÉP(k)vraie jusqu’au rangn. 3) DÉmontrons qu’alorsP(n+ 1)est vraie : ConsidÉrons doncfune fonction(n+ 1)fois dÉrivable sur l’intervalle]a;b[, qui s’annule(n+ 2)fois sur (n+1)i`eme cet intervalle et telle quefsa dÉrivÉe(n+ 1)est continue sur]a;b[. 0 La fonctionf, dÉrivÉe premiÈre def, vÉrifie alors les hypothÈses deP(n)car si une fonctionfdÉrivable s’annule(n+ 2)fois sur un intervalle alors le thÉorÈme de Rolle nous permet de montrer que sa fonction 0 dÉrivÉefs’annule(n+ 1)fois sur cet intervalle. 0 On peut alors appliquer l’hypothÈse de rÉccurence À la fonctionfet en dÉduire qu’il existe au moins un 0(n) rÉelx 0 ∈]a;b[tel quef(x 0 ) = 0. 0(n) (n+1) Commef(x 0 ) =f(x 0 )cela prouve alors queP(n+ 1)est vraie. Par principe de rÉcurrence on peut conclure que pour tout entiern≥1la propriÉtÉP(n)est vraie.

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