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L1M ANALYSE Feuille Dérivabilité Accroissements finis

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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
L1M 2011-2012 ANALYSE Feuille 5 Dérivabilité - Accroissements finis Exercice 6 1) La fonction f :]? 1; 1[??]? pi2 ; pi 2 [ définie par f(x) = arcsin(x) est la bijection réciproque de la fonction S :]? pi2 ; pi 2 [?]? 1; 1[ définie par S(x) = sin(x). La fonction S est dérivable sur ] ? pi2 ; pi 2 [ et sa fonction dérivée S ? : x 7? cos(x) ne s'annule pas sur cet intervalle. Par propriété sur les bijections dérivables on en déduit que la fonction f est dérivable sur ] ? 1; 1[ et de fonction dérivée f ? : x 7? 1S?(f(x)) = 1 cos(arcsin(x)) . Comme arcsin(x) ?] ? pi 2 ; pi 2 [ son cosinus est positif et par suite cos(arcsin(x)) = √ cos2(arcsin(x)) = √ 1? sin2(arcsin(x)) = √ 1? x2 ce qui permet de conclure que f ? : x 7? 1√ 1?x2 2) La fonction g :]? 1; 1[??]0;pi[ définie par g(x) = arccos(x) est la bijection réciproque de la fonction C :]0;pi[??]? 1; 1[ définie par C(x) = cos(x).

  • conséquence immédiate de l'enca- drement

  • propriété sur les bijections dérivables

  • théorème des accroissements finis


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Langue Français

Extrait

L1M 2011-2012ANALYSE Feuille5 DÉrivabilitÉ- Accroissements finis Exercice 6 π π 1) Lafonctionf:]1; 1[−→]; [dÉfinie parf(x) = arcsin(x)est la bijection rÉciproque 2 2 π π de la fonctionS:]; []1; 1[dÉfinie parS(x) = sin(x). 2 2 π π0 La fonctionSest dÉrivable sur]; [et sa fonction dÉrivÉeS:x7→cos(x)ne s’annule pas sur cet 2 2 intervalle. Par propriÉtÉ sur les bijections dÉrivables on en dÉduit que la fonctionfest dÉrivable sur]1; 1[et de 01 1π π fonction dÉrivÉef:x7→0=. Commearcsin(x)]; [son cosinus est positif et par S(f(x)) cos(arcsin(x)) 22 p p2 2 2 suitecos(arcsin(xcos (arcsin()) =x1)) =sin (arcsin(x)) =1xce qui permet de conclure que 01 f:x7→2 1x 2) Lafonctiong:]1; 1[−→]0;π[dÉfinie parg(x) = arccos(x)est la bijection rÉciproque de la fonctionC:]0;π[−→]1; 1[dÉfinie parC(x) = cos(x). 0 La fonctionCest dÉrivable sur]0;π[et sa fonction dÉrivÉeC:x7→ −sin(x)ne s’annule pas sur cet intervalle. Par propriÉtÉ sur les bijections dÉrivables on en dÉduit que la fonctiongest dÉrivable sur]1; 1[et de 01 1 fonction dÉrivÉeg:x7→0=. Commearccos(x)]0;π[son sinus est positif et par C(g(x))sin(arccos(x)) p p2 2 2 suitesin(arccos(xsin (arccos()) =x1)) =cos (arccos(x1)) =xce qui permet de conclure que 01 g:x7→2 1x π π 3) Lafonctionh:R−→]; [dÉfinie parh(x) = arctan(x)est la bijection rÉciproque 2 2 π π de la fonctionT:]; [RdÉfinie parT(x) = tan(x). 2 2 π π01 La fonctionTest dÉrivable sur]; [et sa fonction dÉrivÉeT:x7→2ne s’annule pas sur cet 2 21+tan(x) intervalle. Par propriÉtÉ sur les bijections dÉrivables on en dÉduit que la fonctionhest dÉrivable surRet de fonction 011 1 dÉrivÉeh:x7→0=2=2 T(h(x)) 1+tan(arctan(x)) 1+x Exercice 7SoitP(n)pourn1la propriÉtÉ suivante : " Si une fonctionfestnfois dÉrivable sur un intervalle]a;b[et qu’elle s’annulen+ 1fois sur cet in-(n)i`eme tervalle et quefsa dÉrivÉenest continue sur]a;b[alors il existe au moins un rÉelx0]a;b[tel que (n) f(x0) = 0. " Prouvons par rÉcurrence que la propriÉtÉP(n)est vraie pour tout n :
1) La propriÉtÉP(1)n’est autre que le thÉorÈme de Rolle, elle est donc vraie. 2) Supposons la propriÉtÉP(k)vraie jusqu’au rangn. 3) DÉmontrons qu’alorsP(n+ 1)est vraie : ConsidÉrons doncfune fonction(n+ 1)fois dÉrivable sur l’intervalle]a;b[, qui s’annule(n+ 2)fois sur (n+1)i`eme cet intervalle et telle quefsa dÉrivÉe(n+ 1)est continue sur]a;b[. 0 La fonctionf, dÉrivÉe premiÈre def, vÉrifie alors les hypothÈses deP(n)car si une fonctionfdÉrivable s’annule(n+ 2)fois sur un intervalle alors le thÉorÈme de Rolle nous permet de montrer que sa fonction 0 dÉrivÉefs’annule(n+ 1)fois sur cet intervalle. 0 On peut alors appliquer l’hypothÈse de rÉccurence À la fonctionfet en dÉduire qu’il existe au moins un 0(n) rÉelx0]a;b[tel quef(x0) = 0. 0(n) (n+1) Commef(x0) =f(x0)cela prouve alors queP(n+ 1)est vraie. Par principe de rÉcurrence on peut conclure que pour tout entiern1la propriÉtÉP(n)est vraie.
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