PCSI Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r e c t i o n d u P r e m i e r D e v o i r S u r v e i l l e P r o b l e m e s d ' a n a l y s e d e T e r m i n a l e Exercice 1 Calculer les limites suivantes : lim x?0 ln(1? ex) x et lim x?+∞ √ ex + x? e x 2 . Exercice 2. Une suite de solutions d'equations Soit n ? N?, on note Pn la fonction polynomiale definie sur R par Pn(x) = xn + x? 1. 1. Montrer que l'equation Pn(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle ]0, 1[. On note ?n cette solution. Le but de l'exercice est d'etudier la suite (?n)n?N. 2. Pour tout n ? N?, etablir que Pn+1 < Pn sur ]0, 1[. 3. Montrer que pour tout n ? N, Pn+1(?n) < 0. En deduire que la suite (?n)n?N est strictement croissante. 4. Montrer que la suite (?n)n?N est convergente. On note la limite de la suite (?n)n?N.

• c?


• elevant en elevant


• f?


• unique solution


• equation pn


• deduire


• deduire entre les courbes c?

Sujets

• Mathématiques
• Première
• Déduction
• lycée
• lycées

Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

PCSI

Math´ematiques

Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010

CorrectionduPremierDevoirSurveill ´ e

P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e

Calculer les limites suivantes :

Exercice 1

x √ x ln(1−e) x 2 lim etlime+x−e . x→0 x→+∞ x

Exercice2.Unesuitedesolutionsd’e ´ quations

∗n Soitn∈N,on noteP n rminoedalfin´esuielypoontincfolaRparP n (x) =x+x−1. 1.Montrerquel’e´quationP n (x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0,1[. On noteα n tu´eerdieeicd’ste’lecrexeL.ndtubectttuoiseloalusti(eα n ) n∈N . ∗ 2. Pourtoutn∈N,´eeuqrilbatP n+1 < P n sur ]0,1[. 3. Montrerque pour toutn∈N, P n+1 (α n )<0.Ernedq´ueduiuiteelas(α n ) n∈N est strictement croissante. 4. Montrerque la suite (α n ) n∈N est convergente. On note`la limite de la suite (α n ) n∈N . n n 5. Etablirque pour toutn∈N,0≤α≤` . n 6. Onsuppose que` <1. n (a)Etablirquesouscettehypothe`selimα= 0. n n→+∞ (b)Ende´duirequeforce´ment`= 1. 7.End´eduirelavaleurde`.

0n−1 1.P n ´dtseelbaviresurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutx∈R, P n (x) =n x+ 1.eriv´eede´daLP n est donc strictement positive sur[0,1].aP,ntueeqs´onrcP n est une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur [P n (0), P n (1)].OrP n (0) =−1etP n (1) = 1.tionL’´equaP n (x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirl’ine´galite´en´etudiantlafonctionP n+1 −P n .seiuavtn.enOepalegr´niteobl’utre`inamaledtneme n+1n n+1n Pour toutx∈]0,1[< x., x’Du`ox+x−1< x+x−1pour toutx∈]0,1[. 3.Appliquonsl’in´egalit´epre´ce´dentepourx=α n . On obtientP n+1 (α n+1 )< P n (α n ).Orα n efivire´P n (α n ) = 0(car α n a`tnaenrtpaapontiluso’lnuqieufieinitnoestpard´]0,1[deP n (x) = 0`u.D’o)P n+1 (α n )<0. ∗ Soitn∈N. P n+1 est strictement croissante etP n+1 (α n )<0;P n+1 (α n+1 ) = 0.Ceci entraˆıneα n < α n+1 . ∗ Parcons´equent,α n < α n+1 pour toutn∈N.blit´etaasuitqeueleCic(α n ) ∗ est strictement croissante. n∈N 4. Lasuite(α n ) ∗ emetcirtstseante,majntcroissroe´pera1: elle est donc convergente. n∈N ∗ 5. Onsait que pour toutn∈N, 0≤α n ≤`. D’ou`en´elevantene´levanta`lapuissancen: n n 0≤α n ≤` ∗ pour toutn∈N.

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