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profil-zyan-2012

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r e c t i o n d u P r e m i e r D e v o i r S u r v e i l l e P r o b l e m e s d ' a n a l y s e d e T e r m i n a l e Exercice 1 Calculer les limites suivantes : lim x?0 ln(1? ex) x et lim x?+∞ √ ex + x? e x 2 . Exercice 2. Une suite de solutions d'equations Soit n ? N?, on note Pn la fonction polynomiale definie sur R par Pn(x) = xn + x? 1. 1. Montrer que l'equation Pn(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle ]0, 1[. On note ?n cette solution. Le but de l'exercice est d'etudier la suite (?n)n?N. 2. Pour tout n ? N?, etablir que Pn+1 < Pn sur ]0, 1[. 3. Montrer que pour tout n ? N, Pn+1(?n) < 0. En deduire que la suite (?n)n?N est strictement croissante. 4. Montrer que la suite (?n)n?N est convergente. On note la limite de la suite (?n)n?N.

elevant en elevant

unique solution

equation pn

deduire

deduire entre les courbes c?

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PCSI

Math´ematiques

Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010

CorrectionduPremierDevoirSurveill´e

P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e

Calculer les limites suivantes :

Exercice 1

x √x ln(1−e) x2 lim etlime+x−e . x→0x→+∞ x

Exercice2.Unesuitedesolutionsd’e´quations

∗n Soitn∈N,on notePnrminoedalﬁn´esuielypoontincfolaRparPn(x) =x+x−1. 1.Montrerquel’e´quationPn(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0,1[. On noteαntu´eerdieeicd’ste’lecrexeL.ndtubectttuoiseloalusti(eαn)n∈N. ∗ 2. Pourtoutn∈N,´eeuqrilbatPn+1< Pnsur ]0,1[. 3. Montrerque pour toutn∈N, Pn+1(αn)<0.Ernedq´ueduiuiteelas(αn)n∈Nest strictement croissante. 4. Montrerque la suite (αn)n∈Nest convergente. On note`la limite de la suite (αn)n∈N. n n 5. Etablirque pour toutn∈N,0≤α≤` . n 6. Onsuppose que` <1. n (a)Etablirquesouscettehypothe`selimα= 0. n n→+∞ (b)Ende´duirequeforce´ment`= 1. 7.End´eduirelavaleurde`.

0n−1 1.Pn´dtseelbaviresurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutx∈R, Pn(x) =n x+ 1.eriv´eede´daLPn est donc strictement positive sur[0,1].aP,ntueeqs´onrcPnest une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur [Pn(0), Pn(1)].OrPn(0) =−1etPn(1) = 1.tionL’´equaPn(x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirl’ine´galite´en´etudiantlafonctionPn+1−Pn.seiuavtn.enOepalegr´niteobl’utre`inamaledtneme n+1n n+1n Pour toutx∈]0,1[< x., x’Du`ox+x−1< x+x−1pour toutx∈]0,1[. 3.Appliquonsl’in´egalit´epre´ce´dentepourx=αn. On obtientPn+1(αn+1)< Pn(αn).Orαneﬁvire´Pn(αn) = 0(car αna`tnaenrtpaapontiluso’lnuqieuﬁeinitnoestpard´]0,1[dePn(x) = 0`u.D’o)Pn+1(αn)<0. ∗ Soitn∈N. Pn+1est strictement croissante etPn+1(αn)<0;Pn+1(αn+1) = 0.Ceci entraˆıneαn< αn+1. ∗ Parcons´equent,αn< αn+1pour toutn∈N.blit´etaasuitqeueleCic(αn)∗est strictement croissante. n∈N 4. Lasuite(αn)∗emetcirtstseante,majntcroissroe´pera1: elle est donc convergente. n∈N ∗ 5. Onsait que pour toutn∈N, 0≤αn≤`. D’ou`en´elevantene´levanta`lapuissancen: n n 0≤αn≤` ∗ pour toutn∈N.

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