paramètres, il y a deux conditions initiales pour fixer ces deux paramètres. Elles peuvent se BTS CPI 2004, corrigé f (α) =β f (α) =βprésenter sous la forme ou cela dépend des énoncés. On obtient ensuite un ′ f (γ) =δ f (γ) =δ EXERCICE 1 système de deux équations à deux inconnues. Si l’équation est d’ordre 1, il n’y a qu’un paramètre qui apparaît dans la solution, donc il n’y aura qu’une seule condition initiale. Sous-Probabilités, hors programme depuis 2006 en CPi, donc je ne corrige jacent à ces remarques il y a le concept d’espace vectoriel de dimension 1 ou 2, qui n’est pas € € pas. au programme de BTS CPI.B) Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de EXERCICE 2l’équation différentielle précédente. Attention, ce n’est pas une règle 2 systématique dans les sujets de BTS.A) 1) l’équation caractéristique est r +2r +1=0, de discriminant nul avec r =−1 donc d’après le formulaire les solutions de E sont les 0 0−x 2−x 1) Limite en −∞: lime = +∞ et lim4− x =−∞ donc par produit u x = e ax + b,a,b∈ R. ( )( ) ( )−∞ −∞Paramètres: dans cette écriture, a et b sont des paramètres, c’est-à-dire que quelle que soit leur lim f =−∞€ valeur, la fonction f est solution de E . On dispose donc de deux choix, a et b, logique puisque −∞0l’équation différentielle est d’ordre 2. Pour les équations d’ordre 1, il n’apparaît qu’un seul −x 2 −x 2 −x −x€ € 2) Limite en +∞: f x = e 4− x =4e − x e , or, en +∞, e et ( ) ( )paramètre dans la ...
EXERCICE 1 Probabilités, hors programme depuis 2006 en CPi, donc je ne corrige pas.
paramètres, il y a deux conditions initiales pour fixer ces deux paramètres. Elles peuvent se f(α)=βf(α)=β présenter sous la formeou celadépend des énoncés. On obtient ensuite un f f′γ=δ γ=δ ( )( ) système de deux équations à deux inconnues. Si léquation est dordre 1, il ny a quun paramètre qui apparaît dans la solution, donc il ny aura quune seule condition initiale. Sous-jacent à ces remarques il y a le concept despace vectoriel de dimension 1 ou 2, qui nest pas au programme de BTS CPI.
B)Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de EXERCICE 2 léquation différentielle précédente. Attention, ce nest pas une règle 2 systématiquedans les sujets de BTS. A)1) léquation caractéristique estr+2r+1=0, de discriminant nul avecr=−1donc daprès le formulaire les solutions deE sont les 0 0 −x2 −x 1) Limite en−∞:lime= +∞etlim 4−x=−∞donc par produit u(x)=e(ax+b),a,b∈R.( ) −∞ −∞ Paramètres: dans cette écriture,aetbsont des paramètres, cest-à-dire que quelle que soit leur limf=−∞ E valeur, la fonctionfest solution de0. On dispose donc de deux choix,aetb, logique puisque−∞ −x2−x2−x−x léquation différentielle est dordre 2. Pour les équations dordre 1, il napparaît quun seul x=4e−x e, or, en+∞,eet 2) Limite en+∞:f(x)=e(4−) paramètre dans la solution (voir sujet CPI 2005). 2−x 2) solution particulière.x etendent vers 0. Solution particulière: il y a trois possibilités:2 x 2−x - soit elle est donnée par lénoncé comme ici, et il faut juste vérifier Ce dernier point peut se justifier en écrivant quex e=. Vu que x - soit sa forme est donnée (exemple trouvez une solution particulière de la formee 2−x(x+β)» et il faut identifier pour trouver les trois coefficients)x2 αx+γe e x - soit il faut connaître sa forme, cest le cas des équations dont le second membre est du type: →+∞(énoncé), on a bien par inverse→0. 2x→+∞x x→+∞ kx+lx+eαx+βx+γex e 2−x2−x (m), alors la forme est( ) Conclusion:limf=0doù asymptote horizontaley=0en+∞. 22 , alors la forme est kx+lx+mαx+βx+γ +∞2−x2−x−x2 e fx=e4−x=u x v x Ici donc on vérifie:h(x)=−x e,h′(x)=(−2x+x), 3)Dérivée:( )( )( ) ( )donc 2−x−x2−x2−x e f′x=u′x vx+u x v′x=−e4−x−2xe=x−2x−4e h′′(x)=(−2+4x−x)donc( )( )( ) ( )( )( )( ) Lénoncé donne la réponse pour ne pas quune erreur dans le calcul de la dérivée vous pénalise 2−x2−x2−x h′′(x)+2h′(x)+h(x)=−2+3x−x e+2−2x+x e−x e ( )( ) ensuite pour réaliser le tableau de variations. −x h′′(x)+2h′(x)+h(x)=−2ecqfd. 2 Les variations sont données par le signe dex−2x−4qui a deux −x2 3) Les solutions deEsont donc lesf(x)=e ax+b−x,a,b∈R ( ) racines1±5soitx≈3,23etx≈ −1,23doùfcroissante de−∞en 1 2 5−1 2) jécris quef(0)=4⇔b=4puisf(x)=2 5−1e −∞jusquà un max local2( ), puis décroissante jusquà −2−x2 −5−1 f(2)=0⇔e(2a+b−4)=0⇔a=0doùf(x)=e(4−x)un min local(1)( )e, puis croissante vers 0 en+∞. f x=−2 5+1 conditions initiales: Pour une équation dordre 2, donc dont la solution comporte 2