ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scienti queMATHEMATIQUES IAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.ProblŁmeOn Øtudie dans ce problŁme la suite (S ) dØ…nie pour n> 1 par:nnX1 1 1 1S = 1+ + ++ c est- -dire S =n n2 24 9 n pp=1Dans lapartie I, on dØtermine la limite S de la suite (S ). Dans lesparties II etIII, on explicite deux mØthodesnindØpendantes permettant d’accØlØrer la convergence de (S ) vers S.nPartie IOn considŁre pour tout nombre entier p> 0 les deux intØgrales suivantes: 2 2Z Z2p 2 2pI = cos (t)dt J = t cos (t)dt:p p0 0Jp1. Convergence de la suite ( ).Ip (a) Etablir l inØgalitØ suivante pour tout nombre rØel t tel que 06 t6 : t6 sin(t).2 21/42(b) Etablir l’inØgalitØ suivante pour tout nombre entier p> 0: 06 J 6 (I I ).p p p+14(c) Exprimer I en fonction de I en intØgrant par parties inl ...
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Problème On étudie dans ce problème la suite(Sn)dénie pourn>1par: n X 1 11 1 S= 1 ++ + +cest-à-direS= n n 2 2 4 9n p p=1 Dans lapartie I, on détermine la limiteSde la suite(Sn)les. Dansparties IIetIII, on explicite deux méthodes indépendantes permettant daccélérer la convergence de(Sn)versS.
Partie I On considère pour tout nombre entierp>0les deux intégrales suivantes: Z2Z2 2p2 2p Ip= cos(t)dt Jp=tcos (t)dt: 0 0 Jp 1. Convergencede la suite( ). Ip (a) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre réelttel que06t6:t6sin(t). 2 2 1/4