ESSEC 2001 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scienti queMATHEMATIQUES IAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.ProblŁmeOn Øtudie dans ce problŁme la suite (S ) dØ…nie pour n> 1 par:nnX1 1 1 1S = 1+ + ++ c est- -dire S =n n2 24 9 n pp=1Dans lapartie I, on dØtermine la limite S de la suite (S ). Dans lesparties II etIII, on explicite deux mØthodesnindØpendantes permettant d’accØlØrer la convergence de (S ) vers S.nPartie IOn considŁre pour tout nombre entier p> 0 les deux intØgrales suivantes: 2 2Z Z2p 2 2pI = cos (t)dt J = t cos (t)dt:p p0 0Jp1. Convergence de la suite ( ).Ip (a) Etablir l inØgalitØ suivante pour tout nombre rØel t tel que 06 t6 : t6 sin(t).2 21/42(b) Etablir l’inØgalitØ suivante pour tout nombre entier p> 0: 06 J 6 (I I ).p p p+14(c) Exprimer I en fonction de I en intØgrant par parties inl ...