ESSEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (ect)

Description

ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUES IAnnØe 2003La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.1 n!EXERCICE 1 : Calcul de lim ln( )nn!+1n n1. Etude d une fonctionSoit f la fonction dØ…nie sur ]0;+1[par : f(t) =t 1 lnt(a) Calculer les limites de f en 0 et en +1.(b) Justi er la dØrivabilitØ de f sur ]0;+1[ et dØterminer f ?(c) Dresser le tableau de variations de f.(d) ReprØsenter l’allure de la courbe d’Øquation y = f(t) dans un repŁre orthonormØ pour tout rØel tcompris entre 0 et 4.On donne à cet e⁄et les approximations suivantes : ln(2) 0;7 et ln(3) 1;12. Calcul d intØgrale .1R(a) Soit xun rØel de ]0;1[:Justi er l’existence de l’intØgrale : f(t)dt.x(b) Montrer que la fonction t7 !tlnt t est dØrivable sur ]0;+1[ et dØterminer sa dØrivØe.1 1R R 1(c) En dØduire le calcul de f(t)dt et montrer que lim ...

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Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUESI

Année 2003

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

1n! EXERCICE 1 :Calcul de)lim ln( n n!+1 n n 1.Etude dune fonction Soitfla fonction dénie sur]0; +1[par :f(t) =t1lnt

(a) Calculerles limites defen 0 et en+1. (b) Justierla dérivabilité defsur]0; +1[et déterminerf? (c) Dresserle tableau de variations def. (d) Représenter lallure de la courbe déquationy=f(t)dans un repère orthonormé pour tout réel t compris entre 0 et 4. On donne à cet e¤et les approximations suivantes :ln(2)0;7etln(3)1;1

2.Calcul dintégrale.

1 R (a) Soitxun réel de]0; 1[:Justier lexistence de lintégrale :f(t)dt. x (b) Montrerque la fonctiont!7tlnttest dérivable sur]0; +1[et déterminer sa dérivée. 1 1 R R 1 (c) Endéduire le calcul def(t)dtet montrer quelimf(t)dt=. x!0 2 + x x

3.Calcul dune somme et encadrement de celle-ci par la méthode des rectangles Soitnun entier supérieur ou égal à2rappelle que :. Onn! = 12:::::::n:

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