FESIC mathematiques 2006

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Extrait

· - p - - - · p ˛ - -
Terminale
S
mai
2006













Concours Fesic Calculatrice
interdite
;
traiter
12
exercices
sur
les
16
en
2
h
30
;
répondre
par
Vrai
ou
Faux
sans
justification.
+1
si
bonne
réponse,
−1
si
mauvaise
réponse,
0
si
pas
de
réponse,
bonus
d’1
point
pour
un
exercice
entièrement
juste.
Exercice 1

Le
plan
complexe
est
rapporté
à
un
repère
orthonormal
(O ; u, v).
Soit
la
fonction
f
qui,
à
tout
point
M
2z +1 d’affixe
z, z
différent
de
1,
associe
le
point
M’
d’affixe
z’
telle
que
z ' = .
z 1 a.
f
possède
deux
points
invariants
conjugués.
b.
L’ensemble
des
points
M
d’affixes
z
tels
que
z ' ℝ
est
l’axe
des
abscisses.
c.
L’ensemble
des
points
M
d’affixes
z
tels
que
z ' = 2
est
un
cercle.
d.
A
tout
point
M’
du
plan
d’affixe
z’,
on
peut
associer
un
point
M
d’affixe
z
tel
que
f(M) = M '
sauf
au
point
M’
d’affixe
z ' = 2 .
Exercice 2

Le
plan
complexe
est
rapporté
à
un
repère
orthonormal
(O ; u, v).
On
considère
les
complexes
z
de
1 module
2
et
d’argument
,
z = z
et
z = 1+ i .
2 1 33 8 9z z3 1a.
= 4 .
11z2 4 7z z1 2b.

est
un
nombre
réel.
6z3 4 c.
z z = 28 16 3 .
( )1 3 d.
L’ensemble
des
points
M
d’affixe
z
telles
que
arg z = arg z
est
la
droite
d’équation
y = x .
( ) ( )3 Exercice 3

Le
plan
complexe
est
rapporté
à
un
repère
orthonormal
(O ; u, v).
On
considère
le
point
A
d’affixe
a = 5 i 3 .
On
appelle
:
* B
le
point
d’affixe
b,
image
de
A
par
la
rotation
de
centre
O
et
d’angle
,
3 *
C
le
point
d’affixe
c,
milieu
de
[OA],
1 *
D
le
point
d’affixe
d
donnée
par
d c= b a ,
( ) 2 *
E
le
point
d’intersection
des
droites
(AD)
et
(BC).
a.
Le
point
B
a
pour
affixe
b = 3 3 + i .
b.
D
est
le
milieu
de
[OB].
c.
E
est
le
barycentre
de
{(B,
1)
;
(C,
2)}.
d.
La
droite
(OE)
est
perpendiculaire
à
(AB).

Terminale
S


1
F.
Laroche
Concours
Fesic

mai
2006
fi fi
Exercice 4 a.
La
courbe
représentant
la
fonction
x sin ( x )
est
la
courbe
C .
2 2 2y y 1 1C
1 C
2 x x 0 0 =2 =1 0 1 2 3 =2 =1 0 1 2 3 =1 =1 =2 =2

2 y 2 y C
C
3 41 1 x 0 x 0=2 =1 0 1 2 3 =2 =1 0 1 2 3 =1 =1 =2 =2


x+1b.
On
considère
les
trois
courbes
de
la
page
suivante
:
la
courbe
représentant
la
fonction
x e
est
C .
1
c.
On
considère
la
fonction
f
représentée
4 par
la
courbe
(C)
ci=dessous
et
la
fonctionF

x y 3définie
sur
[0
;
4]
par
F(x) = f(t)dt .

∫ 0 F
est
croissante
sur
[0
;
4].
2
1d.
On
considère
les
mêmes
fonctions
f
et
F
qu’au
c.

x0La
fonction
F
est
deux
fois
dérivable
sur
=2 =1 0 1 2 3 4 5 [0
;
4]
et
vérifie
F ''( 0 ) = 0 .
=1
=2 =3
Terminale
S


2
F.
Laroche
Concours
Fesic

mai
2006
- £ - ˛ fi £ - £ - fi £ ¥ £ fi ˛ ¥ - ¥ - - £ „ - fi £ - £ ˛ - ˛ ‡ £ ˛ - ˛ £ - £ - -
.

6 y C
1 5 C
2 C
3 4 3 2 1 x 0 =3 =2 =1 0 1 2 3 =1 Exercice 5 a.
Soient
f,
g
et h
trois
fonctions
définies
sur
ℝ .
On
suppose
que,
quel
que
soit
x ℝ ,
on
a
:
f(x) g(x) h(x) ,
que
lim f(x) = 3
et
que
lim h(x) = 5 .

x+ x+ Alors
g(x)
admet
une
limite
quand
x
tend
vers
+
et
cette
limite
est
comprise
entre
3
et
5.

1 xb.
Soit
f
la
fonction
définie
par
f(x) = e
pour
x 0
et
f 0 = 0 .
On
appelle
(C)
sa
courbe
représentative
( ) dans
un
repère
du
plan.
(C)
possède
une
asymptote
d’équation
x = 0
et
lim f(x) = 0 .
x 0 x>0 2x x c.
La
fonction
F
définie
par
F(x) = ln x
est
une
primitive
de
la
fonction
f
définie
par
f(x) = x ln x
2 2 *sur
ℝ
+ d.
Soient
f
la
fonction
définie
par
f(x) = 2 ln x et
(C)
sa
courbe
représentative
dans
un
repère
du
plan.
(C)
possède
au
point
d’abscisse
−1
une
tangente
d’équation
y = 2x 2 .
Exercice 6 n 2ta.
Soit
u
la
suite
définie
pour
tout
n ℕ*
par
u = e dt .
On
veut
prouver
que
la
suite
u
est
n ∫ 1 convergente.
On
considère
pour
cela
le
raisonnement
suivant
:
22 t t«
Je
choisis
m = 0
et
M = 1 .
Soient
n ℕ*
et
t 1 ; n ,
on
a
t t ,
donc
0 e e .
Il
s’ensuit
que
[ ] n nt t 1 n 0 u e dt ,
soit
0 u e ,
soit
enfin
0 u e e 1 .
Ceci
étant
vrai
pour
tout
n ℕ* ,
n n n ∫ 11 la
suite
apparaît
bornée
par

m = 0
et
M = 1 .

2 tSoit
de
plus
n ℕ* .
La
fonction
t e
est
continue
et
positive
sur
1 ; n .
u
représente
donc
l’aire
de
la
[ ] n portion
de
plan
comprise
entre
les
droites
d’équations
x
=
1,
x
=
n,
y =
0
et
la
courbe
représentant
cette
Terminale
S


3
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Concours
Fesic

mai
2006
- · - - - - - - „ - - p - p - p » p ˛ ˛ - - » ˛ » - - - · - - - - ˛ » - -
fonction.
Cette
aire
augmente
quand
n
augmente,
ce
qui
se
traduit
par
le
fait
que
la
suite
u
est
croissante.
Conclusion
:
u
est
croissante
et
majorée
par
1
donc
la
suite
u
est
convergente.
»
Ce
raisonnement
est
exact.
xb.
Soit
f
la
fonction
définie
sur
[ 0 ; ln 2 ]
par
:
f(x) = ( 2x 1 ) e .
On
appelle
(C)
la
courbe
représentative
de
f
dans
un
repère
du
plan.
On
cherche
à
calculer
l’aire
de
la
portion
de
plan
limitée
par
les
droites
d’équation
x
=
0,
x
=
ln2,
y
=
0
et
la
courbe
(C).

On
considère
pour
cela
le
raisonnement
suivant
(et
le
renseignement
ln 2 0,7 )
:
x«
La
fonction
F
définie
par
F(x) = 2x 3 e
est
une
primitive
de
f
sur
0 ; ln 2 .
F
est
en
effet
dérivable
sur
( ) [ ] x x x0 ; ln 2
et
F '(x) = 2e + 2x 3 e = 2x 1 e .

[ ] ( ) ( ) ln 2 ln 2x On
a
:
f(x)dx = ( 2x 3 ) e = ( 2 ln 2 3 ) 2 =( 3 ) 4ln 2 3 0,2 .
Comme
le
résultat
est
 ∫ 00 négatif,
c’est
que
l’aire
cherchée
est
la
valeur
absolue
de
ce
résultat,
soit
0,2
unité
d’aire
».
Ce
raisonnement
est
exact.
10c.
Soit
f
lafonction
définie
sur
ℝ
par
f(x) = 1+ x .
On
cherche
une
approximation
de
f 0,001 .
On
( ) ( ) considère
pour
cela
le
raisonnement
suivant
:
9«
f
est
définie
et
dérivable
sur
ℝ .
Pour
x
réel,
f '(x) = 10 1+ x
et
la
courbe
représentant
f
possède
une
( ) tangente
au
point
d’abscisse
0
d’équation
y = xf '(0)+ f(0) ,
soit
y = 10x +1 .
On
en
déduit
que
f(0,001) 10 0,00+1 1 ,
soit
f(0,001) 1,01 .
»
Ce
raisonnement
est
exact.
d.
Soit
D
l’ensemble
des
valeurs
réelles
x
telles
que
sin x 0 .
Soit
f
la
fonction
définie
sur
D
par
:
cos x f(x) = .
On
veut
prouver
que
f
est
décroissante
sur
D.
On
considère
pour
cela
le
raisonnement
sin x suivant
:
«
f
est
une
fraction
dont
le
numérateur
et
le
dénominateur
sont
dérivables
sur
D
et
dont
le
dénominateur
ne
s’annule
pas
sur
D.
On
en
déduit
que
f
est
dérivable
sur
D.
2 2sin x cos x 1 Pour
x D ,
on
a
f '(x) = = .
Pour
tout
x D ,
on
a
f '(x) < 0 .
Comme
le
signe
de
la
2 2sin x sin x dérivée
donne
le
sens
de
variation
de
la
fonction,
c’est
que
f
est
strictement
décroissante
sur
D.
»
Ce
raisonnement
est
exact.
Exercice 7 xSoit
(E)
l’équation
différentielle
:
y '+ 2y = e sin x .

1 xSoit
f
la
fonction
définie
par
f(x) = e cos x sin x .
( ) 2 xa.
f
est
dérivable
sur
ℝ
et,
pour
x ℝ ,
f '(x) = e cos x .
n( n+1 ) ( 1 ) nb.
Pour
n ℕ ,
f '(x)dx = e e +1 .
( )∫ 2n c.
f
est
l’unique
solution
de
l’équation
(E)
qui
s’annule
en
0.
d.
Si
g
est
une
solution
de
(E),
la
courbe
représentant
g
possède
une
tangente
au
point
d’abscisse
0
dont
une
équation
est
donnée
par
y = 1 2x g 0 .
( ) ( ) Terminale
S


4
F.
Laroche
Concours
Fesic

mai
2006
˛ l - - - - l ˛ l ˛ - p - ˛ l p l p l ˛ - p fi - ˛ l - l fi l ˛
Exercice 8

3x + 2  Le
plan
est
muni
d’un
repère
orthonormal
(O ; u, v).
Soit
f
la
fonction
définie
par
f ( x ) = ln .
On
  5x  appelle
D
l’ensemble
de
définition
de
f.
f *a.
D =ℝ .
f + 2 b.
Soit
g
une
fonction
définie
et
dérivable
sur
D =ℝ 0,
telle
que
quel
que
soit
x D ,
 g g3  3 1 g '(x) = .
f
et
g
sont
égales
à
une
constante
additive
près.
3x + 2 x f(x) 2 c.
lim = .
x 1 x 1 5 d.
lim xf(x) = 0 .
x 0 x>0 Exercice 9 * 3x 2 x 2xSoient
ℝ
et
les
fonctions
f
et
f
définies
sur
ℝ
par
f (x) = e ,
f (x) = e + 2 e .
On
appelle
C
et
1 2 1+ 1 2 C
leurs
courbes
représentatives
dans
un
repère
du
plan.
2 a.
C
et
C
se
coupent
au
point
A ln ; 3 .
( )1 2 *b.
Quel
que
soit
ℝ ,
C
est
au=dessus
deC
.
1 2+ c.
Il
existe
un
point
B
en
lequel
C
et
C
possèdent
la
même
tangente.
1 2 d.
Lorsque

est
supérieur
à
1,
l’aire
de
la
portion
du
plan
comprise
entre
les
courbes
C
et
C
et
limitée
par
1 2 21( ) les
droites
d’équation
x =
0
et
x = ln est,
en
unités
d’aire,
.
3 Exercice 10 On
considère
une
suite
v
strictement
croissante
dont
tous
les
termes
appartiennent
à
l’intervalle
0 ; .
[ ] On
définit
les
suites
c
et
s
pour
n ℕ
par
c = cos ( v )
et
s = sin ( v ) .
n n n n a.
La
suite
v
converge
vers
.
b.
La
suite
c
est
croissante.
c.
La
suite
s
est
périodique.
d.
Les
suites
c
et
s
sont
adjacentes
si
et
seulement
si
la
suite
v
converge
vers
.
4 Exercice 11

Le
plan
complexe
est
rapporté
à
un
repère
orthonormal
(O ; u, v).
On
considère
la
suite
z
définie
pour
( )n 2n i 3n ℕ
par
z = e
et
on
appelle
A
le
point
d’affixe
z .
n n n a.
Quel
que
soit
n ℕ ,
A
appartient
au
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
1.
n b.
Quel
que
soit
n ℕ ,
z z = z 1 .
n+1 n 1 c.
La
suite
z
est
périodique
de
période
5.
( )n 4 d.
z = z + z +... + z = 0 .
k 0 1 4∑ k=0 Terminale
S


5
F.
Laroche
Concours
Fesic

mai
2006
l £ W - - - l - · - ‡ - ˛ - l - l - W - £ - - - ˛ - l l ˛
Exercice 12 1 1  On
considère
la
suite
u
définie
pour
n ℕ*
par
:
u = 1
et
u = + u .
1 n+1   n2n n  n a.
Pour
n ℕ* ,
on
a
u =
.
n n 1 !( ) b.
La
suite
u
est
croissante.
n 2 3 c.
Quelque
soit
n ℕ* ,
si
on
a
n 2 ,
alors
on
aura
:
0 u 2
.
 n 4  d.
La
suite
u
est
convergente
et
de
limite
nulle.
Exercice 13 On
considère
un
espace
probabilisé
fini
( , p )
dans
lequel
un
événement
A
a
les
trois
possibilités
A ,
A ,
1 2 et
A
deux
à
deux
distinctes
de
se
produire
et
un
événement
B
a
les
deux
possibilités
B
et
B
distinctes
de
3 1 2 se
produire.
Le
tableau
suivant
donne
en
pourcentages
la
probabilité
de
certains
événements
de
se
produire
par
rapport
à
l’univers
.


A
A
A
Total
/
A
1 2 3 B

20


1 B
30



2 Total
/
B


10
100

1 On