·-p---·p˛--TerminaleS mai2006 Concours Fesic Calculatrice interdite; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30; répondre par Vrai ou Faux sansjustification.+1sibonneréponse,−1simauvaiseréponse,0sipasderéponse,bonusd’1pointpourunexerciceentièrementjuste.Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). Soit la fonctionfqui,àtoutpointM2z +1d’affixez, zdifférentde1,associelepointM’d’affixez’telleque z ' = .z 1a.fpossèdedeuxpointsinvariantsconjugués.b.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' ℝ estl’axedesabscisses.c.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' = 2 estuncercle.d.AtoutpointM’dupland’affixez’,onpeutassocierunpointMd’affixeztelque f(M) = M ' saufaupointM’d’affixe z ' = 2 .Exercice 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère les complexes z de1module2etd’argument , z = z et z = 1+ i .2 1 338 9z z3 1a. = 4 .11z24 7z z1 2b. estunnombreréel.6z34c. z z = 28 16 3 .( )1 3d.L’ensembledespointsMd’affixeztellesque arg z = arg z estladroited’équation y = x .( ) ( )3Exercice 3 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère le point A d’affixea = 5 i 3 .Onappelle:* Blepointd’affixeb ...
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TerminaleS mai2006
Concours Fesic
Calculatrice interdite; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30; répondre par Vrai ou Faux sans
justification.+1sibonneréponse,−1simauvaiseréponse,0sipasderéponse,bonusd’1pointpourun
exerciceentièrementjuste.
Exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). Soit la fonctionfqui,àtoutpointM
2z +1
d’affixez, zdifférentde1,associelepointM’d’affixez’telleque z ' = .
z 1
a.fpossèdedeuxpointsinvariantsconjugués.
b.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' ℝ estl’axedesabscisses.
c.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' = 2 estuncercle.
d.AtoutpointM’dupland’affixez’,onpeutassocierunpointMd’affixeztelque f(M) = M ' saufau
pointM’d’affixe z ' = 2 .
Exercice 2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère les complexes z de1
module2etd’argument , z = z et z = 1+ i .2 1 33
8 9z z3 1a. = 4 .
11z2
4 7z z1 2b. estunnombreréel.
6z3
4
c. z z = 28 16 3 .( )1 3
d.L’ensembledespointsMd’affixeztellesque arg z = arg z estladroited’équation y = x .( ) ( )3
Exercice 3
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère le point A d’affixe
a = 5 i 3 .Onappelle:
* Blepointd’affixeb,imagedeAparlarotationdecentreOetd’angle ,
3
*Clepointd’affixec,milieude[OA],
1
*Dlepointd’affixeddonnéepar d c= b a ,( )
2
*Elepointd’intersectiondesdroites(AD)et(BC).
a.LepointBapouraffixe b = 3 3 + i .
b.Destlemilieude[OB].
c.Eestlebarycentrede{(B,1);(C,2)}.
d.Ladroite(OE)estperpendiculaireà(AB).
TerminaleS 1 F.Laroche
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Exercice 4
a.Lacourbereprésentantlafonction x sin ( x ) estlacourbeC .2
2 2y y
1 1C 1 C 2
x x
0 0
=2 =1 0 1 2 3 =2 =1 0 1 2 3
=1
=1
=2
=2
2 y
2 y
C C 3 41
1
x
0 x
0=2 =1 0 1 2 3
=2 =1 0 1 2 3
=1
=1
=2
=2
x+1b.Onconsidèrelestroiscourbesdelapagesuivante:lacourbereprésentantlafonction x e estC .1
c.On considère la fonction f représentée 4
parlacourbe(C)ci=dessousetlafonctionF
x y
3définiesur[0;4]par F(x) = f(t)dt .∫ 0
Festcroissantesur[0;4]. 2
1d.OnconsidèrelesmêmesfonctionsfetF
qu’auc.
x0La fonction F est deux fois dérivable sur
=2 =1 0 1 2 3 4 5
[0;4]etvérifie F ''( 0 ) = 0 .
=1
=2
=3
TerminaleS 2 F.Laroche
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y
C 1
5 C 2
C 3
4
3
2
1
x
0
=3 =2 =1 0 1 2 3
=1
Exercice 5
a.Soient f, g et h trois fonctions définies sur ℝ . On suppose que, quel que soit x ℝ , on a:
f(x) g(x) h(x) ,que lim f(x) = 3 etque lim h(x) = 5 .
x+ x+
Alorsg(x)admetunelimitequandxtendvers + etcettelimiteestcompriseentre3et5.
1
xb.Soitflafonctiondéfiniepar f(x) = e pour x 0 et f 0 = 0 .Onappelle(C)sacourbereprésentative( )
dansunrepèreduplan.(C)possèdeuneasymptoted’équation x = 0 et lim f(x) = 0 .
x 0
x>0
2x x
c.La fonction F définie par F(x) = ln x est une primitive de la fonction f définie par f(x) = x ln x
2 2
*surℝ +
d.Soient f la fonction définie par f(x) = 2 ln x et (C) sa courbe représentative dans un repère du plan.
(C)possèdeaupointd’abscisse−1unetangented’équation y = 2x 2 .
Exercice 6
n 2ta.Soit u la suite définie pour tout n ℕ* par u = e dt . On veut prouver que la suite u estn ∫ 1
convergente.Onconsidèrepourcelaleraisonnementsuivant:
22 t t«Je choisis m = 0 et M = 1 . Soient n ℕ* et t 1 ; n , on a t t , donc 0 e e . Il s’ensuit que[ ]
n nt t 1 n 0 u e dt ,soit 0 u e ,soitenfin 0 u e e 1 .Ceciétantvraipourtout n ℕ* ,n n n ∫ 11
lasuiteapparaîtbornéepar m = 0 et M = 1 .
2
tSoitdeplus n ℕ* .Lafonction t e estcontinueetpositivesur 1 ; n . u représentedoncl’airedela[ ] n
portiondeplancompriseentrelesdroitesd’équationsx=1,x=n,y =0etlacourbereprésentantcette
TerminaleS 3 F.Laroche
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fonction.Cetteaireaugmentequandnaugmente,cequisetraduitparlefaitquelasuiteuestcroissante.
Conclusion:uestcroissanteetmajoréepar1donclasuiteuestconvergente.»
Ceraisonnementestexact.
xb.Soitflafonctiondéfiniesur [ 0 ; ln 2 ] par: f(x) = ( 2x 1 ) e .Onappelle(C)lacourbereprésentativede
fdansunrepèreduplan.Onchercheàcalculerl’airedelaportiondeplanlimitéeparlesdroitesd’équation
x=0,x=ln2,y=0etlacourbe(C).
Onconsidèrepourcelaleraisonnementsuivant(etlerenseignement ln 2 0,7 ):
x«LafonctionFdéfiniepar F(x) = 2x 3 e estuneprimitivedefsur 0 ; ln 2 .Festeneffetdérivablesur( ) [ ]
x x x0 ; ln 2 et F '(x) = 2e + 2x 3 e = 2x 1 e .[ ] ( ) ( )
ln 2 ln 2x On a: f(x)dx = ( 2x 3 ) e = ( 2 ln 2 3 ) 2 =( 3 ) 4ln 2 3 0,2 . Comme le résultat est ∫ 00
négatif,c’estquel’airecherchéeestlavaleurabsoluedecerésultat,soit0,2unitéd’aire».
Ceraisonnementestexact.
10c.Soit f lafonction définie surℝ par f(x) = 1+ x . On cherche une approximation de f 0,001 . On( ) ( )
considèrepourcelaleraisonnementsuivant:
9«f est définie et dérivable sur ℝ . Pour x réel, f '(x) = 10 1+ x et la courbe représentant f possède une( )
tangente au point d’abscisse 0 d’équation y = xf '(0)+ f(0) , soit y = 10x +1 . On en déduit que
f(0,001) 10 0,00+1 1 ,soit f(0,001) 1,01 .»
Ceraisonnementestexact.
d.Soit D l’ensemble des valeurs réelles x telles que sin x 0 . Soit f la fonction définie sur D par:
cos x
f(x) = . On veut prouver que f est décroissante sur D. On considère pour cela le raisonnement
sin x
suivant:
«festunefractiondontlenumérateuretledénominateursontdérivablessurDetdontledénominateur
nes’annulepassurD.OnendéduitquefestdérivablesurD.
2 2sin x cos x 1
Pour x D ,ona f '(x) = = .Pourtout x D ,ona f '(x) < 0 .Commelesignedela
2 2sin x sin x
dérivéedonnelesensdevariationdelafonction,c’estquefeststrictementdécroissantesurD.»
Ceraisonnementestexact.
Exercice 7
xSoit(E)l’équationdifférentielle: y '+ 2y = e sin x .
1 xSoitflafonctiondéfiniepar f(x) = e cos x sin x .( )
2
xa.festdérivablesurℝ et,pour x ℝ , f '(x) = e cos x .
n( n+1 ) ( 1 ) nb.Pour n ℕ , f '(x)dx = e e +1 .( )∫ 2n
c.festl’uniquesolutiondel’équation(E)quis’annuleen0.
d.Sigestunesolutionde(E),lacourbereprésentantgpossèdeunetangenteaupointd’abscisse0dontune
équationestdonnéepar y = 1 2x g 0 .( ) ( )
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Exercice 8
3x + 2
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal (O ; u, v).Soitflafonctiondéfiniepar f ( x ) = ln .On
5x
appelleD l’ensemblededéfinitiondef.f
*a. D =ℝ .f +
2 b.Soit g une fonction définie et dérivable sur D =ℝ 0, telle que quel que soit x D , g g3
3 1
g '(x) = .fetgsontégalesàuneconstanteadditiveprès.
3x + 2 x
f(x) 2
c. lim = .
x 1 x 1 5
d. lim xf(x) = 0 .
x 0
x>0
Exercice 9
* 3x 2 x 2xSoient ℝ etlesfonctionsf etf définiessurℝ par f (x) = e , f (x) = e + 2 e .OnappelleC et1 2 1+ 1 2
C leurscourbesreprésentativesdansunrepèreduplan.2
a.C etC secoupentaupoint A ln ; 3 .( )1 2
*b.Quelquesoit ℝ ,C estau=dessusdeC .1 2+
c.IlexisteunpointBenlequelC etC possèdentlamêmetangente.1 2
d.Lorsque estsupérieurà1,l’airedelaportionduplancompriseentrelescourbesC etC etlimitéepar1 2
21( )
lesdroitesd’équationx =0et x = ln est,enunitésd’aire, .
3
Exercice 10
Onconsidèreunesuitevstrictementcroissantedonttouslestermesappartiennentàl’intervalle 0 ; .[ ]
Ondéfinitlessuitescetspour n ℕ par c = cos ( v ) et s = sin ( v ) .n n n n
a.Lasuitevconvergevers .
b.Lasuitecestcroissante.
c.Lasuitesestpériodique.
d.Lessuitescetssontadjacentessietseulementsilasuitevconvergevers .
4
Exercice 11
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal (O ; u, v).Onconsidèrelasuite z définiepour( )n
2n
i
3n ℕ par z = e etonappelle A lepointd’affixe z .n n n
a.Quelquesoit n ℕ , A appartientaucercledecentreOetderayon1.n
b.Quelquesoit n ℕ , z z = z 1 .n+1 n 1
c.Lasuite z estpériodiquedepériode5.( )n
4
d. z = z + z +... + z = 0 .k 0 1 4∑
k=0
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Exercice 12
1 1
Onconsidèrelasuiteudéfiniepour n ℕ* par: u = 1 et u = + u .1 n+1 n2n n
n
a.Pour n ℕ* ,ona u = .n n 1 !( )
b.Lasuiteuestcroissante.
n 2
3 c.Quelquesoit n ℕ* ,siona n 2 ,alorsonaura: 0 u 2 . n 4
d.Lasuiteuestconvergenteetdelimitenulle.
Exercice 13
Onconsidèreunespaceprobabiliséfini ( , p ) danslequelunévénementAalestroispossibilitésA ,A ,1 2
etA deuxàdeuxdistinctesdeseproduireetunévénementBalesdeuxpossibilitésB etB distinctesde3 1 2
seproduire.Letableausuivantdonneenpourcentageslaprobabilitédecertainsévénementsdeseproduire
parrapportàl’univers .
A A A Total/A1 2 3
B 20 1
B 30 2
Total/B 10 100
1
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