ISFA 2001 2eme epreuve de mathematiques option b

Description

I. S. F. A. 2001-2002 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées. PRECISIONS Question 6 c : prendre β = 10%. Question 6 e : se placer dans l’application numérique Question 8 b : ses l’ numérique avec β =10% et r= 6%. OPTION B On notera dans la suite Φ la fonction de répartition de la loi Normale standard N(0,1) et, pour α∈ 0,1 , q le ][αquantile d’ordre α de cette loi défini par Φ=(q )α.Pour les applications numériques, on pourra utiliser la table de la αfonction Φ donnée en annexe ainsi que les quantiles suivants : α : 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 q : 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,030 αUn assureur dispose au 31/12/(n-1) d’un portefeuille de K contrats d’assurance du type "temporaire décès d’un an" dont le capital assuré, exprimé en KF, est uniformément égal à C. Un tel contrat prévoit qu’en cas de décès de l’assuré entre le 1/1/n et le 31/12/n, l’assureur verse le capital C au bénéficiaire du contrat. Si, par contre, l’assuré survit au 31/12/n, l’assureur est quitte de tout versement. En contrepartie de cet engagement de l’assureur, chaque assuré lui verse au 31/12/(n-1) une "prime". On suppose, pour simplifier, que les K assurés du portefeuille ont la même probabilité p de décéder dans ...

Informations

• Publié par: shura
• Nombre de lectures: 209
• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées.

PRECISIONS Question 6 c : prendre= 10%. Question 6 e : se placer dans l’application numérique Question 8 b : se placer dans l’application numérique avec=10% et r= 6%.

2001-2002 _________

Concours d'Entrée _______________

OPTION B ur 0,1 , q l On notera dans la suite Φ la fonction de répartition de la loi Normale standard N(0,1) et, po α ∈ ] [ α e quantile d’ordre α de cette loi défini parΦ(q )= α.Pour les applications numériques, on pourra utiliser la table de la α fonction Φ donnée en annexe ainsi que les quantiles suivants : α 0,975 0,99 0,995 0,999: 0,90 0,95  q: 1,2821,645 1,9602,326 2,5763,030 α Un assureur dispose au 31/12/(n-1) d’un portefeuille de K contrats d’assurance du type "temporaire décès d’un an" dont le capital assuré, exprimé en KF, est uniformément égal à C. Un tel contrat prévoit qu’en cas de décès de l’assuré entre le 1/1/n et le 31/12/n, l’assureur verse le capital C au bénéficiaire du contrat. Si, par contre, l’assuré survit au 31/12/n, l’assureur est quitte de tout versement. En contrepartie de cet engagement de l’assureur, chaque assuré lui verse au 31/12/(n-1) une "prime". On suppose, pour simplifier, que les K assurés du portefeuille ont la même probabilité p de décéder dans l'année et que les décès surviennentindépendamment les uns des autres. Ce problème est consacré à l'analyse technique au 1/1/n du portefeuille, l'horizon étant le 31/12/n. Dans les applications numériques, on prendra K=1000, C=100 et p=0,1. 1°) pas subir de perte ? (on Quelle prime devrait demander l'assureur à chaque assuré pour être certain de ne négligera les frais de l'assureur). ième 2°) contrat (1La variable aléatoire Vdésigne le versement de l'assureur au titre du k≤k≤K) . k V k a) Montrer quesuit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. En déduire les moyenne E(V ) et k C écart-typeV .appelé la "prime pure" du contrat.) estP E(V σ(V k ) de k o = k K b) On ∑ noteS=V k la "charge sinistres" de l'assureur pour l'année n. K k=1 S K Montrer qu'un théorème classique, que l'on citera, conduit à la convergence en probabilité devers P quand o K K tend vers∞et commenter ce résultat à la lumière de la question 1.

2001