L3 Mathématiques Printemps Fonctions d'une Variable Complexe J Melleray

Description

Niveau: Supérieur

• cours - matière potentielle : du fait

L3 Mathématiques Printemps 2009/2010 Fonctions d'une Variable Complexe J. Melleray Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril. Exercice 1.2.9 On va simplement corriger la deuxième question, la première en étant un cas particulier (avec ?(x, y) = ax + by + c) i) Notons Df(x,y) la différentielle de f (vue comme une fonction définie sur U ? R2 et à valeurs dans R2) en un point (x, y) ? U . L'application F = ? ? f est constante sur U , donc sa différentielle est nulle en tout point (x, y) ? U ; d'après la règle de la chaîne, cette différentielle vaut DF(x,y) = D?f(x,y) ?Df(x,y) . On a donc, pout tout (x, y) ? U , D?f(x,y) ?Df(x,y) = 0. Si jamais Df(x,y) est inversible en un point (x, y) alors l'équation ci-dessus entraîne que D?f(x,y) = 0, ce qui contredit l'hypothèse sur ?. Par conséquent, pour tout (x, y) ? U , Df(x,y) n'est pas inversible. Mais, comme f est holomorphe, sa différentielle en un point z = (x, y) correspond à la multiplication par f ?(z), et est donc inversible ssi f ?(z) 6= 0.

• détermination holomorphe de z


• inégalité


• intervalle de définition de ?


• sin


• ∂2q ∂y∂x


• égalité ∂2q


• équations de cauchy-riemann

Sujets

• Inégalité
• Équations de Cauchy-Riemann

Informations

• Publié par: zauj
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

L3 Mathématiques Fonctions d’une Variable Complexe

Printemps 2009/2010 J. Melleray

Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril.

Exercice 1.2.9On va simplement corriger la deuxième question, la première en étant un cas particulier (avecΨ(x, y) =ax+by+c) 2 i) NotonsDf (x,y) la différentielle def(vue comme une fonction définie surU⊆Ret à valeurs dans 2 R) en un point(x, y)∈U. L’applicationF= Ψ◦fest constante surU, donc sa différentielle est nulle en tout point(x, y)∈U; d’après la règle de la chaîne, cette différentielle vaut DF=DΨ◦Df . (x,y)f(x,y) (x,y) On a donc, pout tout(x, y)∈U,DΨ f(x,y) ◦Df (x,y) = 0. Si jamaisDf (x,y) est inversible en un point (x, y)alors l’équation cidessus entraîne queDΨ f(x,y) = 0, ce qui contredit l’hypothèse surΨ. Par conséquent, pour tout(x, y)∈U,Dfn’est pas inversible. Mais, commefest holomorphe, sa (x,y) ′ différentielle en un pointz= (x, y)correspond à la multiplication parf(z), et est donc inversible ′ ′ ssif(z)6= 0. Finalement, on obtient quef(z) = 0pour toutz∈U. PuisqueUest connexe, ceci entraîne quefest constante surU. On aurait pu faire toute cette question en utilisant des dérivées partielles, les équations de Cauchy Riemann et une résolution de système... mais un peu d’algèbre linéaire n’a jamais fait de mal à personne ! ii) Unedroite du plan est l’ensemble des points(x, y)tels queax+by+c= 0(pour un certain triplet 3 22 2 (a, b, c)∈R) tandis qu’un cercle est donné par une équation du type(x−x 0 () +y−y 0 )−R= 0. En appliquant le résultat de la question précédente aux fonctionsΨ 1 (x, y) =ax+byetΨ 2 (x, y) = 2 2 (x−x 0 ) +(y−y 0 ), on en déduit que les seules fonctions holomorphes dont l’image est incluse dans une droite du plan (i.e qui satisfontΨ 1 (f(z)) = 0pour toutz∈U;) sont les fonctions constantes de même les seules fonctions holomorphes dont l’image est incluse dans un cercle du plan sont les fonctions constantes. Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou vertes, i.e l’image d’un ouvert par une fonction holomorphe non constante est toujours un ouvert. Ce théorème a bien sûr pour corollaire le résultat montré dans cet exercice.

Exercice 1.2.10 1. SupposonsqueQ 1 soit telle queP+iQ 1 soit holomorphe. Les équations de CauchyRiemann nous disent qu’on doit avoir à la fois ( ( ∂P ∂Q∂P ∂Q 1 = = ∂x ∂y∂x ∂y et ∂P ∂Q∂P ∂Q 1 =−=− ∂y ∂x∂y ∂x Par conséquent, les deux dérivées partielles deQ−Q 1 doivent être nulles, ce dont on déduit que Q−Q 1 est constante surU(qui est connexe). Réciproquement, siQ 1 =Q+cavecc∈Ralors P+iQ 1 =f+icest holomorphe. Finalement, on obtient donc que les fonctionsQ 1 telles queP+iQ 1 soit holomorphe sont les fonctions de la formeQ 1 =Q+c, avecc∈R. 2. Onva simplement corriger les questions (a) et (d), les deux autres étant similaires. (a) AppelonsQla partie imaginaire def;fest holomorphe si, et seulement si, les équations de CauchyRiemann sont vérifiées, i.e si, et seulement si, ( ∂Q ∂P (x, y) =−(x, y) = 2y+ 1 ∂x ∂y ∂Q ∂P (x, y) =(x, y) = 2x−1 ∂y ∂x

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