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L3 Mathématiques Printemps Fonctions d'une Variable Complexe J Melleray

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Niveau: Supérieur

  • cours - matière potentielle : du fait


L3 Mathématiques Printemps 2009/2010 Fonctions d'une Variable Complexe J. Melleray Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril. Exercice 1.2.9 On va simplement corriger la deuxième question, la première en étant un cas particulier (avec ?(x, y) = ax + by + c) i) Notons Df(x,y) la différentielle de f (vue comme une fonction définie sur U ? R2 et à valeurs dans R2) en un point (x, y) ? U . L'application F = ? ? f est constante sur U , donc sa différentielle est nulle en tout point (x, y) ? U ; d'après la règle de la chaîne, cette différentielle vaut DF(x,y) = D?f(x,y) ?Df(x,y) . On a donc, pout tout (x, y) ? U , D?f(x,y) ?Df(x,y) = 0. Si jamais Df(x,y) est inversible en un point (x, y) alors l'équation ci-dessus entraîne que D?f(x,y) = 0, ce qui contredit l'hypothèse sur ?. Par conséquent, pour tout (x, y) ? U , Df(x,y) n'est pas inversible. Mais, comme f est holomorphe, sa différentielle en un point z = (x, y) correspond à la multiplication par f ?(z), et est donc inversible ssi f ?(z) 6= 0.

  • détermination holomorphe de z

  • inégalité

  • intervalle de définition de ?

  • sin

  • ∂2q ∂y∂x

  • égalité ∂2q

  • équations de cauchy-riemann


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Langue Français

Exrait

L3 Mathématiques Fonctions d’une Variable Complexe
Printemps 2009/2010 J. Melleray
Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril.
Exercice 1.2.9On va simplement corriger la deuxième question, la première en étant un cas particulier (avecΨ(x, y) =ax+by+c) 2 i) NotonsDf(x,y)la différentielle def(vue comme une fonction définie surURet à valeurs dans 2 R) en un point(x, y)U. L’applicationF= Ψfest constante surU, donc sa différentielle est nulle en tout point(x, y)U; d’après la règle de la chaîne, cette différentielle vaut DF=DΨDf . (x,y)f(x,y) (x,y) On a donc, pout tout(x, y)U,DΨf(x,y)Df(x,y)= 0. Si jamaisDf(x,y)est inversible en un point (x, y)alors l’équation cidessus entraîne queDΨf(x,y)= 0, ce qui contredit l’hypothèse surΨ. Par conséquent, pour tout(x, y)U,Dfn’est pas inversible. Mais, commefest holomorphe, sa (x,y) différentielle en un pointz= (x, y)correspond à la multiplication parf(z), et est donc inversible ′ ′ ssif(z)6= 0. Finalement, on obtient quef(z) = 0pour toutzU. PuisqueUest connexe, ceci entraîne quefest constante surU. On aurait pu faire toute cette question en utilisant des dérivées partielles, les équations de Cauchy Riemann et une résolution de système... mais un peu d’algèbre linéaire n’a jamais fait de mal à personne ! ii) Unedroite du plan est l’ensemble des points(x, y)tels queax+by+c= 0(pour un certain triplet 3 22 2 (a, b, c)R) tandis qu’un cercle est donné par une équation du type(xx0() +yy0)R= 0. En appliquant le résultat de la question précédente aux fonctionsΨ1(x, y) =ax+byetΨ2(x, y) = 2 2 (xx0) +(yy0), on en déduit que les seules fonctions holomorphes dont l’image est incluse dans une droite du plan (i.e qui satisfontΨ1(f(z)) = 0pour toutzU;) sont les fonctions constantes de même les seules fonctions holomorphes dont l’image est incluse dans un cercle du plan sont les fonctions constantes. Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou vertes, i.e l’image d’un ouvert par une fonction holomorphe non constante est toujours un ouvert. Ce théorème a bien sûr pour corollaire le résultat montré dans cet exercice.
Exercice 1.2.10 1. SupposonsqueQ1soit telle queP+iQ1soit holomorphe. Les équations de CauchyRiemann nous disent qu’on doit avoir à la fois ( ( ∂P ∂Q∂P ∂Q1 = = ∂x ∂y∂x ∂y et ∂P ∂Q∂P ∂Q1 ==∂y ∂x∂y ∂x Par conséquent, les deux dérivées partielles deQQ1doivent être nulles, ce dont on déduit que QQ1est constante surU(qui est connexe). Réciproquement, siQ1=Q+caveccRalors P+iQ1=f+icest holomorphe. Finalement, on obtient donc que les fonctionsQ1telles queP+iQ1 soit holomorphe sont les fonctions de la formeQ1=Q+c, aveccR. 2. Onva simplement corriger les questions (a) et (d), les deux autres étant similaires. (a) AppelonsQla partie imaginaire def;fest holomorphe si, et seulement si, les équations de CauchyRiemann sont vérifiées, i.e si, et seulement si, ( ∂Q ∂P (x, y) =(x, y) = 2y+ 1 ∂x ∂y ∂Q ∂P (x, y) =(x, y) = 2x1 ∂y ∂x
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