MATHÉMATIQUES I Filière MP

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES I Filière MP Concours Centrale-Supélec 1999 Dans tout le problème, désigne l'ensemble des applications continues de dans , à support compact, c'est-à-dire s'annulant chacune à l'extérieur d'un segment de . Pour désigne le symbole de Kronecker, qui vaut si et si . Les questions II.B, II.C et II.D sont relativement indépendantes. Partie I - Les -splines uniformes I.A - I.A.1) Pour , on définit la transformée de Fourier de a) Montrer que est de classe sur . b) Montrer que, si , alors . En déduire, à l'aide du théorème d'approximation de Weierstrass, que . I.A.2) Pour , on définit . a) Montrer que est une fonction continue sur admettant pour période. Calculer ses coefficients de Fourier, sous forme exponentielle. b) En déduire, dans le cas où la série est absolument convergente, la formule suivante dite de Poisson . I.B - On définit la suite de fonctions réelles par et où désigne la fonction caractéristique de . Elle vaut sur et sur . E IR IR IR i j ZZ d i j,,˛, 0 i j„ 1 i j= B f E˛ f x IR˛ f x( ), f t( )e ixt– td ¥– + ¥ ò =

• m– cmk


• fourier


• équations d'échelles


• polynôme trigonométrique


• pc x2


• ir irfi


• ¥fi lim


• concours centrale -supélec

Sujets

• Fourier
• Polynôme trigonométrique

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Extrait

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2002

1/4

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure

géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue

:

que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie

concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues

périodiques

ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-

tats des parties I et III pour montrer que la fonction

n’est dérivable en aucun

point de

.

On note

et

et on désigne par

l’espace des fonc-

tions de

dans

qui sont continues et

périodiques.

Si

on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour

par

, la série de Fourier (formelle) de

étant

.

Partie I -

Définition de la fonction

I.A -

On suppose l’espace

muni de sa structure euclidienne canonique. On

définit

:

par :

,

où

et

est la projection orthogonale de

sur la droite passant par

et

si

.

I.A.1)

On suppose

,

et l’on pose

,

,

,

,

,

où

.

Que représentent les points

par rapport au triangle

?

I.A.2)

Montrer que si

alors

,

.

I.B - Pour

on pose

et on définit par

récurrence pour

la suite

par

.

I.B.1)

Soit

,

. Montrer que, si l’on a

, alors

et

.

x

]0,

π

[

IR

→

2

π

–

x

]0,

π

[

IN

∗

IN

\ 0

{

}

=

ZZ

∗

ZZ

\ 0

{

}

=

C

2

π

IR

I

C

2

π

–

f

C

2

π

∈

n

ZZ

∈

f

ˆ

n

(

)

1

2

π

-----

f

t

(

)

π

–

π

∫

=

e

i

nt

–

dt

f

f

ˆ

n

(

)

n

ZZ

∈

∑

e

i

nt

x

IR

2

T

IR

3

IR

3

→

T

x

x

0

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

=

T

x

y

z

,

,

(

)

x

'

y

'

z

'

,

,

(

)

=

x

'

y

=

y

'

z

'

,

(

)

y

z

–

,

(

)

x

0

,

(

)

y

z

,

(

)

x

y

z

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

≠

x

y

≠

z

0

≠

A

x

0

,

(

)

=

B

y

z

,

(

)

=

C

y

z

–

,

(

)

=

A

′

x

'

0

,

(

)

=

B

′

y

'

z

–

'

,

(

)

=

C

′

y

'

z

'

,

(

)

=

x

'

y

'

z

'

,

,

(

)

T

x

y

z

,

,

(

)

=

A

′

B

′

C

′

,

,

ABC

x

y

z

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

≠

y

'

x

'

–

2

z

2

y

x

–

(

)

y

x

–

(

)

2

z

2

+

-------------------------------

–

=

z

'

z

y

x

–

(

)

2

z

2

–

y

x

–

(

)

2

z

2

+

-------------------------------

=

t

]0,

π

[

∈

X

0

t

(

)

0

1

cotan

t

, ,

(

)

=

n

IN

∈

X

n

t

(

)

x

n

t

(

)

y

n

t

(

)

z

n

t

(

)

,

,

(

)

=

X

n

1

+

t

(

)

T

X

n

t

(

)

(

)

=

n

IN

∈

t

]0,

π

[

∈

z

n

t

(

)

0

=

z

n

1

+

t

(

)

0

=

y

n

1

+

t

(

)

x

n

1

+

t

(

)

–

0

=