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MATHÉMATIQUES I Filière MP

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Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES I Filière MP Concours Centrale-Supélec 1999 Dans tout le problème, désigne l'ensemble des applications continues de dans , à support compact, c'est-à-dire s'annulant chacune à l'extérieur d'un segment de . Pour désigne le symbole de Kronecker, qui vaut si et si . Les questions II.B, II.C et II.D sont relativement indépendantes. Partie I - Les -splines uniformes I.A - I.A.1) Pour , on définit la transformée de Fourier de a) Montrer que est de classe sur . b) Montrer que, si , alors . En déduire, à l'aide du théorème d'approximation de Weierstrass, que . I.A.2) Pour , on définit . a) Montrer que est une fonction continue sur admettant pour période. Calculer ses coefficients de Fourier, sous forme exponentielle. b) En déduire, dans le cas où la série est absolument convergente, la formule suivante dite de Poisson . I.B - On définit la suite de fonctions réelles par et où désigne la fonction caractéristique de . Elle vaut sur et sur . E IR IR IR i j ZZ d i j,,˛, 0 i j„ 1 i j= B f E˛ f x IR˛ f x( ), f t( )e ixt– td ¥– + ¥ ò =

  • m– cmk

  • fourier

  • équations d'échelles

  • polynôme trigonométrique

  • pc x2

  • ir irfi

  • ¥fi lim

  • concours centrale -supélec


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Langue Français

Exrait

MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2002
1/4
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure
géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue
:
que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie
concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues
périodiques
ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-
tats des parties I et III pour montrer que la fonction
n’est dérivable en aucun
point de
.
On note
et
et on désigne par
l’espace des fonc-
tions de
dans
qui sont continues et
périodiques.
Si
on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour
par
, la série de Fourier (formelle) de
étant
.
Partie I -
Définition de la fonction
I.A -
On suppose l’espace
muni de sa structure euclidienne canonique. On
définit
:
par :
,
et
est la projection orthogonale de
sur la droite passant par
et
si
.
I.A.1)
On suppose
,
et l’on pose
,
,
,
,
,
.
Que représentent les points
par rapport au triangle
?
I.A.2)
Montrer que si
alors
,
.
I.B - Pour
on pose
et on définit par
récurrence pour
la suite
par
.
I.B.1)
Soit
,
. Montrer que, si l’on a
, alors
et
.
x
]0,
π
[
IR
2
π
x
]0,
π
[
IN
IN
\ 0
{
}
=
ZZ
ZZ
\ 0
{
}
=
C
2
π
IR
I
C
2
π
f
C
2
π
n
ZZ
f
ˆ
n
(
)
1
2
π
-----
f
t
(
)
π
π
=
e
i
nt
dt
f
f
ˆ
n
(
)
n
ZZ
e
i
nt
x
IR
2
T
IR
3
IR
3
T
x
x
0
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
=
T
x
y
z
,
,
(
)
x
'
y
'
z
'
,
,
(
)
=
x
'
y
=
y
'
z
'
,
(
)
y
z
,
(
)
x
0
,
(
)
y
z
,
(
)
x
y
z
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
x
y
z
0
A
x
0
,
(
)
=
B
y
z
,
(
)
=
C
y
z
,
(
)
=
A
x
'
0
,
(
)
=
B
y
'
z
'
,
(
)
=
C
y
'
z
'
,
(
)
=
x
'
y
'
z
'
,
,
(
)
T
x
y
z
,
,
(
)
=
A
B
C
,
,
ABC
x
y
z
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
y
'
x
'
2
z
2
y
x
(
)
y
x
(
)
2
z
2
+
-------------------------------
=
z
'
z
y
x
(
)
2
z
2
y
x
(
)
2
z
2
+
-------------------------------
=
t
]0,
π
[
X
0
t
(
)
0
1
cotan
t
, ,
(
)
=
n
IN
X
n
t
(
)
x
n
t
(
)
y
n
t
(
)
z
n
t
(
)
,
,
(
)
=
X
n
1
+
t
(
)
T
X
n
t
(
)
(
)
=
n
IN
t
]0,
π
[
z
n
t
(
)
0
=
z
n
1
+
t
(
)
0
=
y
n
1
+
t
(
)
x
n
1
+
t
(
)
0
=