Sujet du bac ES 2009: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

QCM général, calculs de probabilités d'événements, nuage de point et droite de régression, analyse de fonctions.
Sujet du bac 2009, Terminale ES, Amérique du Sud

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 66
• Langue: Français

Extrait

Baccalaurat ES – Amrique du Sud – novembre 2009 EXERCICE 1 (Commun  tous les candidats) (3 points): Cet exercice est un questionnaire  choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seul des trois rponses est exacte. Indiquer sur la copie le numro de la question et recopier la rponse exacte sans justifier le choix effectu. Le barme sera tabli comme suit : pour une rponse exacte, 0,5 point ; pour une rponse fausse ou labsence de rponse, 0 point. 1)Un vhicule cote 15 000 € en 2008. Il se dprcie de 10 % par an (cest--dire que son prix de revente baisse de 10 % par an). Sa valeur  la vente au bout de cinq ans sera de : •7 500 €•8 857,35 €•5 000 € 2)Soituune fonction strictement positive sur lintervalle ]0 ;+ ∞lim[. Siu(x) = 0 alors : x→ + ∞ •ln[ limu(x)] =+ ∞• limln[u(x)] =− ∞• limln[u(x)] = 0 x→ + ∞x→ + ∞x→ + ∞ 3)On donne ci-dessous une loi de probabilit. x i 0 10 –10 p i  0,2 0,3 0,5 Son esprance mathmatique est gale  : •3•–3•0 4)Pour touta> 0, ln(3a) – ln(a) est gale  : •ln(3)•ln(2a)•2ln(a) 1  2x+ 1 5)e dxest gale  :  0 3 3 3 ee – •ee –•2e2e –• 2 4 + 2x 6)Pour tout relx, eest gale  : 2x2 2x+ 24 2x •e•e•e +e

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EXERCICE 2 (Candidat nayant pas choisi lenseignement de spcialit) (5 points): −3 Dans cet exercice, tous les rsultats seront arrondis  10prs. Un tude sur le taux dquipement en tlphonie des mnages dune ville a permis dtablir les rsultats suivants : -90 % des mnages possdent un tlphone fixe ; -Parmi les mnages ne possdant pas de tlphone fixe, 87 % ont un tlphone portable ; -80 % des mnages possdent  la fois un tlphone fixe et un portable. Notations : Si A et B sont des vnements, Adsigne lvnement contraire de A et p B (A) la probabilit que lvnement A soit ralis sachant que lvnement B lest. On choisit un mnage au hasard et on note : -F lvnement : « le mnage possde un tlphone fixe » ; -T lvnement : « le mnage possde un tlphone portable ». 1)a. Grce aux donnes de lnonc, donner p(FT), p(F) et p  A (T). b. Calculer p F (T). 2)Dmontrer que la probabilit de lvnement T est 0,887. 3)Sachant que le mnage choisi na pas de tlphone portable, quelle est la probabilit que ce soit un mnage possdant un tlphone fixe ? 4)On choisit successivement au hasard et de manire indpendante trois mnages. Quelle est la probabilit quil y en ait au plus deux ayant un tlphone portable ? EXERCICE 2 (Candidat ayant choisi lenseignement de spcialit) (5 points): 2u+ 4 n Soit la suite (u) dfinie paru= 1 et pour tout entier naturelnparu= . n0n+1 3 1)Calculeru,uetu. 1 23 2)Le plan est rapport  un repre orthonormalO(units graphiques : 2 cm). 2x+ 4 Soitla fonction dfinie sur lintervalle [0 ;+ ∞[ par(x.) = 3 a.Tracer la reprsentation graphiquedde la fonctionainsi que la droiteΔdquationy=x. b.En utilisantdetΔ, construireu,uetu. 1 23 c.Conjecturer limu laide de la construction, que lon peut imaginer, dun grand nombre de n n→ + ∞ termes de la suite (u). n 3)On considre la suite (v) dfinie pour tout entier naturelnparv=u– 4. n nn a.Montrer que la suite (v) est une suite gomtrique dont on prcisera la raison et le premier n terme. n 2 b.Exprimerven fonction denet en dduire queu= 4 – 3. n n 3 c.Quelle est la limite de la suite (u) ? n

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EXERCICE 3 (commun  tous les candidats) (5 points): Le tableau ci-dessous donne le chiffre daffaires, exprim en milliers deuros, ralis par une chane commerciale : Anne 20012002 2003 2004 2005 2006 Rang de lannex i 1 2 3 4 5 0 Chiffre daffaires en 55 58 64 85105 112 milliers deurosy i Partie 1 1)Reprsenter le nuage de points associ  la srie statistique (x;y) dans le plan muni dun repre i i orthogonal dunits : 2 cm pour une anne en abscisse et 1 cm pour 10 milliers deuros en ordonne. 2)Calculer les coordonnes du point moyen G (x;y) et le placer sur la figure prcdente. On dcide deffectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prvisions. Partie 2 1)a. Dterminer  laide de la calculatrice une quation de la droite de rgression D deyenxpar la −1 mthode des moindres carrs. On arrondira les coefficients  10prs. b. Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1. 2)En supposant que lvolution constate se maintienne, estimer le chiffre daffaires ralis en 2011 (on prcisera la mthode utilise). Partie 3 On dcide dajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbereprsentant, dans le repre dj dfini,  x une fonctiondfinie sur lintervalle [0 ;+ ∞[ par :(x) =ab, oaetbsont deux rels strictement positifs. 1)On impose  la courbe reprsentative de la fonctionde passer par les points A (0 ; 55) et B (5 ; 112). Calculer les valeurs exactes deaetbtelles que la fonctionvrifie cette condition, puis donner la −2 valeur approche arrondie  10prs deb. x 2)Pour la suite, on considrera que(x) = 551,15pour tout relxde lintervalle [0 ;+ ∞[. Estimer grce  ce nouvel ajustement le chiffre daffaires, en milliers deuros, ralis en 2011 (on arrondira le rsultat au centime).

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EXERCICE 4 (commun  tous les candidats) (7 points): Soientetgdeux fonctions dfinies et drivables sur lintervalle ]0 ;+ ∞[ telles que pour tout relxde cet intervalle : e (x) = (x– e)(lnx– 1)etg(x) = lnx– x La courbe reprsentative de la fonctiongdans un repre du plan est donne en annexe et lunit graphique est 2 cm. Partie 1 1)Dmontrer que la fonctiongest strictement croissante sur lintervalle ]0 ;+ ∞[. 2)Calculerg(e) et, grce  la question 1, donner le signe deg(x) pour toutxstrictement positif. Partie 2 1)Dterminer les limites de la fonctionen 0 et en+ ∞. 2)On notela drive de. Dmontrer que(x) =g(x) pour tout nombre relxstrictement positif. 3)Etablir le tableau des variations de la fonction. (On y fera figurer les limites de la fonctionen 0 et en+ ∞). 4)Reprsenter graphiquement la fonctionsur la feuille annexe jointe au sujet. Partie 3 Soit F la fonction dfinie et drivable sur lintervalle ]0 ;+ ∞[ telle que pour tout relxde cet intervalle : 2 x 3 2 F(x) = –exlnx+ 2ex–x. 2 4 1)Dmontrer que la fonction F est une primitive de la fonctionsur lintervalle ]0 ;+ ∞[. 2)On considre le domaine dlimit par la courbelaxe des abscisses, les droites dquationsx= 1 etx= e. a.Hachurer ce domaine sur le dessin. e  b.Calculer la valeur exacte de(x) dx.  1 c.En dduire une valeur approche arrondie au centime de laire du domaine exprime en cm.

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Exercice 4

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Annexe  complter et  rendre avec la copie

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