Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Description

Niveau: Supérieur

• cours - matière potentielle : i


• redaction

Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2004-2005 Corrigé du partiel du 1eravril 2005. Ex 1. Pétition pour internautes 1) La v.a. X ayant pour densité f , Xn est intégrable si E|Xn| = ∫ +∞ ?∞ |t| nf(t) dt est finie. Or ici E|Xn| = ∫ +∞ ?∞ |t|nae?at1[0,+∞[(t) = ∫ +∞ 0 atne?at dt et cette intégrale généralisée converge clairement dans R+ pour tout a > 0 et tout n ? N, parce que la fonction exponentielle tend plus vite vers 0 en +∞ que t?n?2. Ceci légitime l'existence de EXn comme élément de R. On calcule ce moment en écrivant que EXn = ∫ +∞ ?∞ tnae?at1[0,+∞[(t) = ∫ +∞ 0 atne?at dt. En effectuant dans cette intégrale le changement de variable u = at et en se rappelant la définition de la fonction ?, il vient EXn = a ∫ +∞ 0 un an e?u du a = 1 an ∫ +∞ 0 une?u du = ?(n + 1) an = n! an .

• nvn ?


• justifications complémentaires


• images des variables


• aléatoire indépendantes


• variable aléatoire


• tn ? n√


• méthode probabiliste


• évènement ?3

Sujets

• Redaction
• Variable aléatoire
• Méthode probabiliste

Informations

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• Langue: Français

Extrait

IS Math314

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

er Corrigé du partiel du 1 avril 2005.

Année 2004-2005

Ex 1.Pétition pour internautes R +∞ n n n 1) La v.a.Xayant pour densitéf,Xest intégrable siE|X|=|t|f(t) dt −∞ est finie. Or ici Z Z +∞+∞ n n−at n−at E|X|=|t|ae1 [0,+∞[ (t) =ate dt −∞0 et cette intégrale généralisée converge clairement dansR + pour touta >0et toutn∈N, −n−2 parce que la fonction exponentielle tend plus vite vers0en+∞quet. Ceci légitime n l’existence deEXcomme élément deR. On calcule ce moment en écrivant que Z Z +∞+∞ n n−at n−at EX=t ae1 [0,+∞[ (t) =ate dt. −∞0 En effectuant dans cette intégrale le changement de variableu=atet en se rappelant la définition de la fonctionΓ, il vient Z Z +∞ n +∞ udu1 Γ(n+ 1)n! n−u n−u EX=ae =ue du= =. n n n n 0 aa a 0 a a En appliquant cette formule avecn= 1etn= 2, on obtient 1 EX= a

et

2)

2 1 1 2 2 VarX=EX−(EX) =−=. 2 2 2 a a a e L’instant d’enregistrement de lansignature est

où lesX i sont On a alors

n X T n :=X i , i=1

−1 indépendantes et de même loi exponentielle de paramètrea= 1mn .

EX i nm1=

d’où

ET n =n

mn,