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Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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Niveau: Supérieur

  • cours - matière potentielle : i

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Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2004-2005 Corrigé du partiel du 1eravril 2005. Ex 1. Pétition pour internautes 1) La v.a. X ayant pour densité f , Xn est intégrable si E|Xn| = ∫ +∞ ?∞ |t| nf(t) dt est finie. Or ici E|Xn| = ∫ +∞ ?∞ |t|nae?at1[0,+∞[(t) = ∫ +∞ 0 atne?at dt et cette intégrale généralisée converge clairement dans R+ pour tout a > 0 et tout n ? N, parce que la fonction exponentielle tend plus vite vers 0 en +∞ que t?n?2. Ceci légitime l'existence de EXn comme élément de R. On calcule ce moment en écrivant que EXn = ∫ +∞ ?∞ tnae?at1[0,+∞[(t) = ∫ +∞ 0 atne?at dt. En effectuant dans cette intégrale le changement de variable u = at et en se rappelant la définition de la fonction ?, il vient EXn = a ∫ +∞ 0 un an e?u du a = 1 an ∫ +∞ 0 une?u du = ?(n + 1) an = n! an .

  • nvn ?

  • justifications complémentaires

  • images des variables

  • aléatoire indépendantes

  • variable aléatoire

  • tn ? n√

  • méthode probabiliste

  • évènement ?3


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Langue Français

Exrait

IS Math314
Universit´e U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
er Corrigé du partiel du 1 avril 2005.
Année 2004-2005
Ex 1.Pétition pour internautes R +n n n 1) La v.a.Xayant pour densitéf,Xest intégrable siE|X|=|t|f(t) dt −∞ est finie. Or ici Z Z ++n nat nat E|X|=|t|ae1[0,+[(t) =ate dt −∞0 et cette intégrale généralisée converge clairement dansR+pour touta >0et toutnN, n2 parce que la fonction exponentielle tend plus vite vers0en+quet. Ceci légitime n l’existence deEXcomme élément deR. On calcule ce moment en écrivant que Z Z ++n nat nat EX=t ae1[0,+[(t) =ate dt. −∞0 En effectuant dans cette intégrale le changement de variableu=atet en se rappelant la définition de la fonctionΓ, il vient Z Z +n+udu1 Γ(n+ 1)n! nu nu EX=ae =ue du= =. n n n n 0aa a 0a a En appliquant cette formule avecn= 1etn= 2, on obtient 1 EX= a
et
2)
2 1 1 2 2 VarX=EX(EX) ==. 2 2 2 a a a e L’instant d’enregistrement de lansignature est
où lesXisont On a alors
n X Tn:=Xi, i=1
1 indépendantes et de même loi exponentielle de paramètrea= 1mn .
EXinm1=
d’où
ETn=n
mn,