c.
en
.
no
v
v
v
em
minoran
bre
raisonner
2007,
).
durée
b.
2
un
heures
.
UTBM
que
Médian
que
PM18,
oin
Automne
supp
2007
oir
La
a
précision
existe
et
1.
la
Soit
clarté
tre
de
que
la
.
rédaction
b
seron
2.
t
ts
prises
a
en
b.
compte
en
dans
du
l'év
de
aluation
3.
de
,
la
et
copie.
mon
Le
ec
barême,
orthonormé
donné
ère
à
.
titre
on
indicatif,
trer
est
son
susceptible
En
de
est
mo
de
dication.
Mon
Une
est
feuille
inférieure
de
p
notes
Mon
A4
Soit
recto-v
p
erso
manière
est
ec
autorisée
(
p
eut-on
our
régulier
l'épreuv
?
e.
admis
Les
2
calculatrices
Mon
son
que
t
a
in
eut-on
terdites.
con
Exercice
P
1
oir
Borne
trer
sup
osons
érieure
.
dans
dans
S.V.P
(
(
a
page
).
p
Soit
oin
rep
ts
hoisit
)
a.
Le
c
but
et
de
Mon
cet
que
exercice
cen
est
note
de
b.
mon
déduire
trer
On
que
un
la
t
ne
régulier.
p
c.
ossède
trer
pas
tagone
la
la
propriété
orne
de
de
la
dans
b
.
orne
a.
sup
trer
érieure.
un
Soien
)
t
(on
ourner
ourra
T
de
1
formelle
page
v
Automne
des
PM18
p
.
).
ts
P
oin
a
p
oir
des
tagone
l'axe
p
note
(on
On
osera
et
que
.
Construction
complexes
Exercice
bres
c.
nom
trer
des
même
ble
?
l'ensem
v
ec
.
v
Soit
a
P
plan
tradiction.
le
une
tier
a.
d'iden
eut-on
.
v
Supp
obtenir
osons
qu'alors
que
?
ermet
Supp
p
que
nous
,
qui
,
21
7Q
Q' “ ' “
∗+ 2 ∗+ 2A = x∈Q ,x <2 B = x∈Q ,x >2 α = sup AQ
Q α∈Q
2
β =
α
2
x∈B ∈A
x
β B
β B Q
2α 62 †>0
√
2α =2 26∈Q
2β >2
α+β
γ =
2
2γ =2
2γ <2 γ6α
2γ >2
8
(A ,A ,A ,A ,A ) O0 1 2 3 4 −−→−→ →− →−(O, u, v) u = OA0
C ω ,ω ,ω ,ω ,ω A ,A ,A ,A ,A0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
i A
1
A
2
A
O 1
A3
A
4
2007longueur
déduire
On
no
de
v
On
em
d'axe
bre
le
2007,
de
durée
l'équation
2
et
heures
3.
UTBM
oin
1.
règle
a.
,
Mon
enn
trer
que
que
l'une
21
Mon
page
c.
Automne
d'équations
PM18
des
erse.
p
v
a.
in
Calcul
son
Expliquer.
.
.
b.
tagone
Mon
de
trer
barême]
que
t
donner
ec
cas,
.
ce
b.
Dans
solutions
?
que
ersible
ose
p
linéaires
our
cette
v
p
in
le
est-elle
bres
matrice
,
la
considère
de
t
aleurs
Soien
v
)
quelles
(
our
b.
P
3
4.
au
calculera.
à
.
On
c.
oin
Mon
en
trer
cercle
que
tre
l'on
y
que
,
unique
p
solution
in
une
a
admet
segmen
système
En
le
Calculer
que
la
trer
2
Mon
des
.
de
6
admet
ose
trer
supp
.
On
supp
3.
1.
solutions.
.
.
Résoudre
2.
équation,
a.
expliquer
En
ourquoi
prenan
système
t
considère
la
réels.
partie
nom
réelle
et
de
.
l'égalité
On
précéden
le
te,
oin
mon
,
trer
t
que
.
de
Calculer
innité
ts
une
p
admet
matriciel
système
.
ce
En
que
que
trer
Exercice
mon
compas.
et
et
système
la
du
régulier
solution
4.
une
considère
er
p
rouv
t
b.
d'axe
En
p
utilisan
le
t
un
la
cen
form
Dessiner
ule
ra
T
on
.
[Hors
et
et
ose
le
supp
oin
On
5.
2.
tersection
.
.
si
v
t
le
,
t
mon
déduire
trer
c.
que
.
seulemen
la
et
longueur
si
.
solutions
Calculer
des
est
a.
2πi 5ω =e1
kω =ω k∈{0,1,2,3,4}k 1
2 3 41+ω +ω +ω +ω =01 1 1 1
2π 4π
1+2cos +2cos =0.
5 5
2 2πcos(2x) = 2cos x− 1 cos( )5
24z +2z−1=0
√
2π −1+ 5cos( )=5 4
B −1
2|ω +1|1
2πBA =2cos( )2 5
i 1I C I J
2 2
C [BI]
BI
BJ
BJ =BA2
5
a b c m
8
x − y + 2z = a<
(S) mx + (1−m)y + 2(m−1)z = b
: 2x + my − (3m+1)z = c
m=−1 (S) c=3a+b
m=−1 c=3a+b (S)
m = −1 (S)
m
0 1
1 −1 2
@ Am 1−m 2m−2
2 m −3m−1
2007,
On
on
no
,
v
puis
em
une
bre
montr
2007,
que
durée
dans
2
est
heures
à
Corrigé
c
Médian
de
PM18
otation
Exercice
lorsque
1
de
1.
le
a.
de
Soit
p
21
insi
page
que
UTBM
dénition
:
qui
Automne
que
.
le
a.
quation,
3.
ansformation
.
Donc
:
pr
ositive
,
p
la
est
p
qui
c
le
2
el
c.
c
orne
end
de
pr
.
on
faîte
solutions,
sup
deux
donc
es
2,
c
,
De
et
.
ontr
b.
,
Soit
le
et
e
solutions
pr
deux
arr
,
ette
on
obtient
sait
b.
que
la
obtient
Cette
on
d'angle
et
donc
,
la
c.
entr
.
montr
donc
otation
et
b.
,
est
:
L
obtient
e
on
e
dente,
que
é
et
c
érieur
é
montr
,
que
donc
de
pr
as
est
c
bien
et
un
a.
minor
l'énonc
ant.
othèse
c.
e).
Soit
,
quation
p
l'é
as
dans
inférieur
,
b.
et
é
galité
p
é
êtr
ette
qui
c
(
ortant
une
.
c
A
e
lors,
e
ep
que
r
et
en
.
et
En
,
enant
b.
c
.
é
insi
c
A
iné
.
on
et
que
.
On
Comme
.
,
tr
est
est
la
r
b
.
orne
.
sup
et
érieur
et
e
en
de
enant
symétrie,
limite
,
e
c
c
ela
on
veut
e
dir
de
e
r
qu'il
.
existe
dans
ar
l'image
p
oint
Or
e
tel
a.
que
c
.
qui
:
ontr
obtient
dit
on
fait
le,
1.
el
Exercice
,
.
et
e
donc
.
é
On
r
e
artie
même
p
sup
la
b
enant
,
où
que
pr
p
En
ossè
a.
ar
2.
ne
,
fausse,
donc
3.
.
Comme
est
é
bien
dans
la
,
b
l'hyp
orne
A
inférieur
érieur
e
ou
de
et
ar
ne
.
eut
2.
p
a.
avoir
D'apr
e,
ès
ou
la
.
c
Si
ar
gale
actérisation
ou
de
alors
la
ar
b
e
orne
doit
sup
donc
érieur
valeur,
e,
a
c
adiction
c.
c
otation.
fournit
r
e
la
,
ar
c
p
qui
de
ontr
l'image
dit
ant
fait
itér
6
en
même
our
de
p
montr
que
c.
e
3
.
2 4 22x∈B x >2⇒ <1⇒ <2⇒ ∈A
2 2x x x
2 2 2
x∈B ∈A⇒ 6α⇒x> =β β
x x α
2 2
†>0 b=β+† b>β⇒ < =α α
b β
2 2
A x ∈ A < x < α b > > β
b x
2
∈B β B
x
∀† > 0,∃x∈ A,α−† < x6 α
2 2∀†>0,(α−†) 2 β >2 26∈Q
α+β 2α,β∈Q γ = ∈Q γ =2
2
α+β2γ < 2 γ ∈ A γ 6 α⇒ 6 α⇒ β 6 α
2
α<2 β >2
2γ > 2 γ
A Q
2πA A O1 0 5
i2π i2π
5 5ω =e z7→e z1
kω =ω k∈J0..4K Ak 01
51−ω2 3 4 1 51+ω +ω +ω +ω = =0 ω =11 1 1 1 11−ω1
2π 4π 6π 8π1+cos +cos +cos +cos =05 5 5 5
6π 2π 8π 4π 2π 4πcos =cos cos =cos 1+2cos +2cos =05 5 5 5 5 5
4π 2π2cos = 2cos − 1
5 5
2π 2π 2π 2π2 21+2cos +2(2cos −1)=0 4cos +2cos −1=0
5 5 5 5
2 2Δ=2 +4×4×1=20=2 ×5
√ √ √
−2−2 5 −1− 5 −1+ 5
z = = z = .1 28 4 4
√
−1+ 52πcos =5 4
4π 2π 2π 2π 2π 2π 2π 2π 2π2 i i i −i i i −i i −i5 5 5 5 5 5 5 5 5|ω +1|=|e +1|=|e (e +e )|=|e |×|e +e |=|e +e |=1 √
2π −1+ 5
|2cos |=
5 2
2007ermat
3
ement.
no
ayon
v
ainsi
em
On
bre
on
2007,
e
durée
de
2
p
heures
est
Corrigé
ermat
Médian
le
PM18
de
b.
se
page
.
UTBM
sur
Automne
de
système
seuls
le
sut
ésoud
si
r
a
On
si
3.
son
).
On
cteur
seuls
e
le
dir
son
cteur
on
ve
ce
de
er
et
l'é
ar
le
p
cle
assant
obtenir
p
nom
ane
ôté
oite
,
dr
gulier,
la
c
est
de
d'apr
régulier
ès
règle
la
sujet
question
p
pr
si
é
bres
c
4
é
cas).
dente.
end
4.
de
a.
t
Par
ac
le
er
thé
entr
or
de
ème
que
de
L
Pythagor
;
e
c
dans
e
le
en
triangle
pr
solutions
art
des
et
l'ensemble
ep
,
c
on
p
a
p
que
p
vérie
et
on
On
fait
un
en
se
;
t
ente
)
diér
r
solution
e
une
our
donne
e
de
La
valeur
v
(chaque
p
solutions
,
de
à
innité
au
une
un
admet
en
qui
que
:
est
système
seulemen
le
(
obtient
de
on
des
.
où
b.
1.
as,
Exercice
c
.
e
pr
c
ce
Dans
milieu
2.
dans
.
les
si
,
seulement
tr
et
e
si
c
solution
cle
une
c
admet
e
qui
et
,
r
quation
ce
l'é
conjecture
ouve
.
tr
e
on
gment
,
jour
.
à
c.
oup
D'apr
c
ès
c
les
cle
questions
us
2.c.
On
et
end
3.b.
c
,
conn
on
,
en
on
dé
r
duit
orte
que
le
faisant
er
En
à
:
artir
Gauss
F
de
our
de
deux
métho
oints
la
premiers
applique
bres
on
.
puis
a
système,
déterminé
le
c
.
(le
5.
gment
Métho
les
de
son
de
,
c
du
onstruction
entagone
du
é
p
c
entagone
qui
r
p
é
le
gulier
onstruir
:
entièr
on
Remarque.
tr
question
ac
sa
e
oir
un
un
c
olygône
er
à
cle
côtés
de
constructible
c
la
entr
et
e
compas
crit
été
,
grand
puis
d'étude
deux
mathématiques.
diamètr
sait
es
ce
p
olygône
erp
constructible
endiculair
et
es
t
que
,
l'on
distincts
app
F
el
premiers
le
nom
é
t
on
les
,
,
Pour
et
21
2 2πBA =|ω −(−1)|=[ω +1|=2cos2 2 1 5 √
2 2OIB BI = OB +IB =r √q 5 511+ = =4 4 2
√ √
5 1 −1+ 5
BJ =BI−IJ = − =
2 2 2 √
−1+ 5
BJ =BA =2 2
O
(OA) (OB) I
[OA] I [IO] [BI]
J BJ B
A A [A A ]2 3 2 3
n
jk 2n=2 ×F ×F ×···×F F =2 +10 1 k j
F = 3 F = 5 F = 17 F = 257 F = 652370 1 2 3 4
m=−1
8
x − y + 2z = a<
−x + 2y − 4z = b L ←L +L2 2 1: 2x − y + 2z = c L ←L −2L3 3 1
8
x − y + 2z = a<
y − 2z = a+b
: y − 2z = −2a+c
L ←L −L 0=3a+b−c3 3 2
c=3a+b
‰ ‰
x − y + 2z = a x = 2a+b
⇔
y − 2z = a+b y = a+b+2z
z
A=(2a+b,a+b,0)
(0,2,1)
8
< x − y + 2z = a
mx + (1−m)y + 2(m−1)z = b L ←L −mL2 2 1:
2x + my − (3m+1)z = c L ←L −2L3 3 1
2007Et
la
En
no
diviser
v
o
em
unique
bre
et
2007,
,
durée
ecients
2
les
heures
21
Corrigé
qui
Médian
tr
PM18
ar
page
p
UTBM
omme
Automne
du
:
e
e
c
demandé
lisant
e
4.
matric
:
la
est
de
solution
l'inverse
ouve
ouve
on
tr
,
on
p
dent,
eut
é
on
c
6
é
c
pr
5
système
8
x − y + 2z = a L ←L +L< 1 1 2
⇔ y − 2z = −ma+b
: (m+2)y − (3m+5)z = −2a+c L ←L −(m+2)L3 3 2
8
x = (1−m)a+b<
⇔ y − 2z = −ma+b
: 2−(1+m)z = (m +2m−2)a−(m+2)b+c
m=−1 1+m
8
x = (1−m)a+b>>>> 2< −3m −5m+4 3m+5 −2
y = a+ b+ c
m+1 m+1 m+1>>>>> 2> −m −2m+2 m+2 1: z = a+ b− c
m+1 m+1 m+1
0 1
1−m 1 0
B C
B C2B C−3m −5m+4 3m+5 −2B C.B Cm+1 m+1 m+1B C
B C
@ A2−m −2m+2 m+2 −1
m+1 m+1 m+1
2007