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Medidas de riesgo para riesgo operacional con un modelo de perdida agregada de Poisson-Lindley

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Resumen
En este trabajo se considera la determinación de medidas de riesgo en riesgo operacional, es decir, la determinación de cuantiles de alto orden. Se considera la aproximación basada en la distribución de la pérdida dentro de la aproximación avanzada. Se calculan, y se comparan entre si, las medidas de riesgo a partir de la distribución de la pérdida agregada y a partir de la distribución predictiva considerando como funciones estructura para los perfiles de riesgo las distribuciones Triangular y Gamma.
Abstract
This paper considers the determination of the risk measures in Operational Risk, i.e. the determination of a high level quantile. The Loss Distribution Approach in the Advanced Measurement Approach is adopted. The risk measures, obtained from the aggregate loss distribution and from the predictive distribution are determined and compared, using the Triangular and Gamma distributions as structure functions of the risk profiles.
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Medidas de riesgo para riesgo operacional con un modelo de pérdida agregada Poisson-Lindley
Pecvnia, núm. 11 (julio-diciembre 2010), pp. 1-26



MEDIDAS DE RIESGO PARA RIESGO OPERACIONAL CON UN MODELO DE
PÉRDIDA AGREGADA POISSON-LINDLEY

1Agustín Hernández-Bastida
bastida@ugr.es

Pilar Fernández Sánchez
pilarfs@ugr.es

Universidad de Granada
fecha de recepción: 09/09/2010
fecha de aceptación: 21/11/2010



Resumen

En este trabajo se considera la determinación de medidas de riesgo en riesgo operacional,
es decir, la determinación de cuantiles de alto orden. Se considera la aproximación basada
en la distribución de la pérdida dentro de la aproximación avanzada. Se calculan, y se
comparan entre si, las medidas de riesgo a partir de la distribución de la pérdida agregada y
a partir de la distribución predictiva considerando como funciones estructura para los perfiles
de riesgo las distribuciones Triangular y Gamma.

Palabras clave: Modelo de pérdida agregada; Distribución de Poisson-Lindley; Distribución
triangular; Distribución gamma.

Abstract

This paper considers the determination of the risk measures in Operational Risk, i.e. the
determination of a high level quantile. The Loss Distribution Approach in the Advanced
Measurement Approach is adopted. The risk measures, obtained from the aggregate loss
distribution and from the predictive distribution are determined and compared, using the
Triangular and Gamma distributions as structure functions of the risk profiles.

Keywords: Aggregate Loss Model; Poisson-Lindley distribution; Triangular distribution;
Gamma distribution.

1 Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía de la Empresa, Facultad de Ciencias
Económicas y Empresariales, Universidad de Granada, Campus de Cartuja, s/n, 18011-Granada.
1 Pecvnia, núm. 11 (julio-diciembre, 2010), 1-26
A. Hernández-Bastida y P. Fernández-Sánchez
1. Introducción 1. Introduction

En una entidad financiera el riesgo In a financial firm, “operational risk” refers
operacional se refiere a sucesos que no to the risk of losses resulting from
pueden ser considerados como riesgos de inadequate or failed internal processes,
mercado o de crédito. Se refiere a las people and systems, or external events. An
pérdidas debidas a la inadecuación o a excellent paper on this question was
fallos en los procesos, al personal o a los published by Carrillo and Suarez (2006),
sistemas internos y a las pérdidas causadas who observed (p. 63).
por acontecimientos externos a la entidad.
Un excelente trabajo en lengua española “The importance of the operational risk
sobre este tema es Carrillo y Suárez (2006) has been recognised. Due to its
del cual se ha tomado el siguiente párrafo importance, the Basel Committee on
(ver op. cit. pág. 63): Banking Supervision has included in the
document entitled “International
“La importancia del riesgo operacional ha Convergence of Capital Measurement and
sido reconocida recientemente en el Capital Standard: a revised framework,
mundo financiero. A consecuencia de su known as Basel II (see BIS, 2005), a specific
relevancia, el Comité de supervisión section on operational risk, and different
bancaria de Basilea ha incluido en el methodologies are described to calculate
documento “Convergencia internacional the amount of regulatory capital needed
de medidas y normas de capital – Marco to deal with possible losses derived from
revisado”, conocido como Basilea II, un this risk. These methodologies are
apartado específico sobre riesgo opera- presented in increasing levels of
cional. En Basilea II se describen diferentes complexity. In the Basic Indicator
metodologías para el cálculo de una cifra Approach, the regulatory capital is
de capital regulatorio, requerido para obtained as a fixed percentage of an
hacer frente a posibles pérdidas por este indicator of the entire firm’s exposure to
tipo de riesgo, y que tienen un grado de operational risk. In the Standardised
complejidad creciente. En el enfoque Approach, diverse percentages are applied
básico (Basic Indicador Approach) el to the indicator, one for each of the
capital regulatorio se calcula como un bank’s lines of business. Finally, in the
porcentaje fijo de un indicador de Advanced Measurement Approach (AMA),
exposición al riego operacional (los Basel II establishes general rules but allows
ingresos brutos) para la entidad en su and encourages banks to develop their
conjunto. En el enfoque estándar own model for assessing exposure to
(Standarised Approach) se aplican distintos operational risk. This advanced approach is
porcentajes, fijados por el regulador, a believed to reflect in a more detailed form
este indicador desagregado para cada una the specific risk profile of the bank”.
de las líneas de negocio del banco.
Finalmente para el enfoque avanzado
(Advanced Measurement Approaches,
AMA), Basilea II establece unas directrices
generales, pero permite e incentiva que los
propios bancos construyan su propio
modelo de medición y gestión del riesgo
operacional. Se espera que la metodología
2 Medidas de riesgo para riesgo operacional con un modelo de pérdida agregada Poisson-Lindley
desarrollada dentro del enfoque avanzado Under the Basel II requirements, banks are
refleje de manera más detallada el perfil de required to quantify the capital charge for
riesgo específico de cada entidad”. operational risk. Various aspects of the
modelling of operational risk are
Concretando, bajo las exigencias de Basilea considered in Chavez-Demoulin, Embrechts
II a los bancos se les solicita que evalúen el and Neslehová (2006) and Cruz (2002).
capital asignado para el riesgo Many banks have adopted the Loss
operacional. Diversos aspectos de la Distribution Approach (LDA) in the AMA,
modelización del riesgo operacional where the frequency and severity of
pueden verse en Chavez-Demoulin, operational losses for each risk cell (in the
Embrechts y Neslehová (2006) y en Cruz matrix of eight business lines and seven
(2002). event types) are estimated over a one year
period. The capital is then estimated using
Muchas entidades financieras han the 0.999 quantile of the distribution for
adoptado la Loss Distribution Approach the total annual loss in the bank. The most
(LDA) en la metodología AMA. En esta commonly used model for the annual loss
aproximación se deben estimar, en el in a single risk cell is the compound
horizonte de un año, la frecuencia y la process SX=+...+X , where K is the 1 K
severidad de las pérdidas operacionales annual number of events modelled as a
para cada una de las celdas de riesgo (en random variable from a discrete
la matriz de ocho líneas de negocio y siete
distribution and X ; i=1,…,K, are the itipos de sucesos). A partir de ello se estima
severities of the event, modelled as el capital usando el cuantil de orden 0.999
independent random variables from a de la distribución de la pérdida total. El
continuous distribution. modelo habitualmente usado para la
pérdida anual en una celda de riesgo es un
For the purposes of the regulatory capital
proceso compuesto SX=+...+X ,
1 K calculation of operational risk, the annual
donde K es el número anual de sucesos loss distribution (in particular its 0.999
modelado como una variable aleatoria con quantile as a risk measure) should be
alguna distribución de probabilidad quantified for each risk cell (event type /
discreta y Xi ; = 1, 2,...son las severidades
i business line) in the bank.
de los sucesos modeladas como variables
aleatorias independientes con alguna
distribución de probabilidad continua.

Con el objetivo de determinar el capital
regulatorio para el riesgo operacional, se
debe determinar la distribución de la
pérdida total (en especial una medida de
riesgo que es el cuantil de orden 0.999)
para cada una de las celdas de riesgo (tipo
de suceso / línea de negocio) de la entidad
financiera.
3 Pecvnia, núm. 11 (julio-diciembre, 2010), 1-26
A. Hernández-Bastida y P. Fernández-Sánchez
La especificación de las distribuciones de Estimating frequency and severity
probabilidad de la frecuencia y de la distributions is a challenging task,
severidad es una tarea complicada debido especially for low frequency high impact
entre otras cosas a la baja frecuencia de losses. Internal bank data (usually
pérdidas de gran volumen. Habitualmente truncated) are usually available with
los datos internos (usualmente truncados) respect to several years and contain few
de las entidades financieras solo están (or no) high impact, low frequency
disponibles para unos pocos años y losses.External data (losses experienced by
contienen pocas (o ninguna) de las other banks) are available through third
pérdidas poco frecuentes y de gran party databases, but these are difficult to
volumen. Los datos externos (pérdidas use directly due to different volumes and
sufridas por otras entidades financieras) other factors. Moreover, the data have a
pueden estar disponibles a partir de bases survival bias, because the data from all
de datos de terceras personas, pero son collapsed companies are not usually
difíciles de usar debido a diversos factores. available, and so it is difficult to estimate
En definitiva es difícil estimar las distributions using only these data.
distribuciones requeridas usando sola- Moreover, this estimation is backward
mente datos. looking and has a limited ability to predict
the future, due to a constantly changing
También es claro que una estimación banking environment. For example, if a
usando datos del pasado tendrá una new policy is introduced by a bank, with
capacidad limitada para predecir el futuro the aim of decreasing operational risk
debido al constante cambio del entorno losses, this would not be reflected by a
de una entidad financiera; si se introduce model based only on the loss data.
una nueva política en la entidad financiera
para disminuir las pérdidas por riego It is very important to have a scenario
operacional esto no puede ponerse de analysis incorporated into the model. In
manifiesto en un modelo basado fact, this is mandatory under regulatory
exclusivamente en los datos de pérdidas. requirements. In itself, the scenario
Es muy importante incorporar un análisis analysis is very subjective and should be
del entorno en el modelo, pero claro esto combined with (supported by) the actual
puede ser muy subjetivo y además deberá loss data analysis. Bayesian inference is a
combinarse con (y basarse en) los datos statistical technique that is well suited to
actuales de pérdidas. incorporating expert opinions into data
analysis, and so a Bayesian analysis is
La inferencia bayesiana es una técnica adopted in this paper.
estadística muy apropiada para combinar
opiniones de expertos con datos Shevchenko and Wüthrich (2006)
observados. En este artículo se adopta un proposed that the regulatory capital
punto de vista bayesiano para el problema should be calculated by determining the
que nos ocupa. posterior distributions for the number of
claims and for the severities. A value for
En Shevchenko y Wüthrich (2006) se the parameters of the number of claims
propone una forma para determinar el
capital regulatorio que consiste en calcular
la distribución a posteriori del número de
reclamaciones y de las severidades; a partir
4 Medidas de riesgo para riesgo operacional con un modelo de pérdida agregada Poisson-Lindley
de ella se simulan valores para el parámetro and the severities was then simulated.
de la distribución del número de From these values, the aggregate loss was
reclamaciones y para el parámetro de la simulated and its 0.999 quantile
distribución de las severidades y utilizando determined. A similar methodology was
estos valores simulados para los parámetros proposed in Lambrigger, Shevchenko and
se determina en la distribución de la pérdida Wüthrich (2007). Both in these
agregada el cuantil de orden 0.999. Una methodologies and when the capital is
metodología similar se propone en estimated by point estimators of the
Lambrigger, Shevchenko y Wüthrich, (2007, parameters (e.g. Maximum Likelihood
24). Tanto en esta metodología como Estimators) what happens is that, as
cuando se usan estimadores puntuales de los Shevchenko (2008) pointed out, although
parámetros (por ejemplo estimadores de the parameter estimates are uncertain, in
máxima verosimilitud) lo que sucede, tal y practice this uncertainty is commonly
como señala Shevchenko (2008), es que se ignored in the estimation of the
ignora la aleatoriedad de los parámetros (ver operational risk charge (op. cit.). For this
trabajo indicado para detalles); por esta reason, in the present paper we propose
razón es por la que el autor citado propone to make use of the predictive function and
la determinación de la distribución predictiva the determination of the 0.999 quantile in
y a partir de ella calcular el cuantil de orden the distribution. This is the line followed in
0.999. this paper, and so our aim is to determine
the predictive function and its 0.999
Esta es la aproximación que consideramos quantile.
en este artículo, por tanto nuestro objetivo
es el cálculo de la distribución predictiva y In this paper, the Collective Risk Model
a continuación determinar el cuantil de (henceforth, the crm) in which the primary
orden 0.999. distribution is the Poisson-Lindley
distribution, with parameter θ (henceforth,
1
Concretando, en este artículo se considera the PL model) and the Exponential
el modelo colectivo de riesgo (de ahora en
distribution, with parameter θ , as the 2adelante crm) con distribución primaria
secondary one (henceforth, the E model). una distribución de Poisson-Lindley de
In the Bayesian analysis developed in the
parámetro θ (de aquí en adelante el
1 crm indicated (henceforth, the crmPLE),
modelo PL) y con distribución secundaria
we consider for the risk profile θ a
2una distribución Exponencial de parámetro
structure function given by the Gamma θ (de aquí en adelante el modelo E). Se
2
distribution. For the risk profile θ , a
1desarrolla un análisis bayesiano del
common choice for the structure function modelo colectivo de riesgo (de ahora en
is the Beta distribution, see for example adelante crmPLE) suponiendo para el perfil
Hernández-Bastida, Fernández-Sánchez
de riego θ una función estructura dada 2 and Gómez-Déniz (2010). In the present
por una distribución Gamma; para el perfil paper, the Triangular distribution is
de riesgo θ una elección frecuente para
1 considered, and the following aims are
la función estructura es la distribución addressed:
Beta (ver por ejemplo, Hernández-Bastida,
Fernández-Sánchez y Gómez-Déniz, 2010),
en este artículo se considera una
distribución Triangular.
5 Pecvnia, núm. 11 (julio-diciembre, 2010), 1-26
A. Hernández-Bastida y P. Fernández-Sánchez
Los objetivos de este artículo son: (i)To obtain the high order quantile for the
predictive function in the crmPLE;
(i)Calcular cuantiles de alto orden en la (ii)To obtain the high order quantile for
distribución predictiva del crmPLE. the aggregate loss with the parameter
(ii)Calcular cuantiles de alto orden en la fixed in the bivariate posterior mode; de la pérdida agregada con (iii)To show the divergences between the
los parámetros estimados por la moda a quantiles obtained in (i) and (ii).
posteriori.
The rest of the paper is structured as
(iii)Poner de manifiesto las divergencias
follows. Section 2 develops the aggregate
que se presentan entre (i) y (ii).
loss model to be considered. The marginal

and posterior distributions are determined
La estructura del artículo es la siguiente:
in Section 3. The risk measures are derived
en la sección 2 se desarrolla el modelo de
in Section 4, and a comparative analysis
pérdida agregada que se va a considerar,
performed.
en la sección 3 se calculan las distribu-

ciones marginal y a posteriori y en la
Notation
sección 4 se calculan las medidas de riesgo
For the specification of several important
y se hace un análisis comparativo.
magnitudes in this paper, the following

functions are defined:
Notación
Let εε,,ε be any positive integers, a a
12 3En el resto del trabajo será muy cómodo
real number between 0 and 1 and cd, utilizar las siguientes funciones.
Sean εε,,ε números enteros positivos, positive and real numbers. Note,
12 3
a un número real entre 0 y y c y d
números reales y positivos. Escribimos,
1+εε12aθθ (1− )
11J εε,,ε |sa, ,c,d = dθ ; (1) ()21 2 3 1 c+ε0 3()sdθ +
1

εε 1+121θθ(1− )11J εε,,ε |sa, ,c,d = dθ . (2) ()31 2 3 1 c+ε3a()sdθ +
1

Es fácil ver que las dos integrales se It can be seen that both integrals can be
pueden determinar con un cálculo directo obtained by direct but tedious calculus.
pero tedioso. La primera de ellas se puede The first one can be written in the
escribir de la siguiente forma, following form, and its calculus obtained
immediately,

1++ε i1ε aε i θ2 2 1J=−1 dθ ()21 i=0  c+ε30i()sdθ +1
us=+θ d sθ+=duy haciendo el cambio se making , and hence, 1 1
obtiene,

εε 1++i da+sij 2 1++i  21 1+−εε−ci+−jj 13Jd=−11− udu.(3)() ()2   ==00 2++ε i 1 ds  
6 Medidas de riesgo para riesgo operacional con un modelo de pérdida agregada Poisson-Lindley
La segunda integral puede escribirse The second integral can be calculated from
como, this expression,


ε +i11+ ε 11+ε i θ2 2 1J=−1 dθ()31   c+εi=0 3ai()sdθ +1

making the same change, sθ+=du , 1
y haciendo el mismo cambio de antes and hence,
us=+θ d se obtiene, 1

sd+1++εε i1ij1 i21 j εε−−ci+−j13Jd=−11−udu.(4)() ()3  1++ε i ==00 1 as+ds  

también usaremos la siguiente función, We also use the next function,

cc2(dcΓ+εε) 2dcΓ( + )
33J εε,,ε |sa, ,c,d=+ J J. (5) ()11 2 3 2 3
acΓ−() (1 a)Γ(c)


2. El modelo de pérdida agregada 2. The aggregate loss model

El modelo colectivo de riesgo consiste en una The Collective Risk Model (crm) is
distribución de frecuencias para el número described by a frequency distribution for
de reclamaciones K y una secuencia de the number of claims K and a sequence of
variables aleatorias independientes e independent and identically distributed
idénticamente distribuidas que representan random variables representing the size of
el tamaño de las severidades individuales the single claims X . Frequency K and
i
X ; se supone que la frecuencia K y las i severities X are assumed to be
i
severidades X son independientes, inde-i independent. Note that the independence
pendencia que es condicionada a la assumed here is conditional on the
distribución de los parámetros. Hay una distribution parameters. There is an
amplia literatura sobre la modelización de extensive bibliography on risk process
procesos de riesgo, ver por ejemplo McNeil, modelling, see e.g. McNeil, Frey and
Frey y Embrechts (2005). Embrechts (2005).

La estimación de la distribución de la Estimation of the annual loss distribution
perdida agregada a partir de las by modelling the frequency and severity of
modelizaciones de la frecuencia y de la losses is a well known actuarial technique,
severidad es una técnica actuarial muy which is also used for model solvency
conocida que también se usa en modelos requirements in the insurance industry, see
de solvencia en la industria del seguro, ver e.g. Sandström (2006) and Wüthrich
por ejemplo Sandström (2006) o Wüthrich (2006).
(2006).
7 Pecvnia, núm. 11 (julio-diciembre, 2010), 1-26
A. Hernández-Bastida y P. Fernández-Sánchez
La pérdida agregada S es la suma de las The aggregate loss S is the sum of the
individual claim sizes, i.e. pérdidas individuales, es decir,
SX=+X+...X , for K > 0, and SX=+X+...X , para K > 0 , y S = 0 , 12 K12 K
S = 0 , for K = 0 . A well developed model para K = 0. Una modelización muy
desarrollada en crm es considerar que la of the crm is to consider that the primary
distribution, i.e., the K distribution, is the distribución primaria, es decir la
Poisson distribution, and the secondary distribución de K es una distribución de
one, the claim severity, is the Exponential Poisson y la distribución secundaria, es
distribution. Kozubowski and Panoska decir la distribución de la severidad, es una
(2005) presented a set of interesting distribución Exponencial. Resultados
results for the sum of random variables interesantes sobre una suma de variables
with an Exponential distribution and a Exponenciales con número de sumandos
aleatorio pueden encontrarse en random number of summands. In
addition, a comprehensive collection of Kozubowski y Panoska (2005) y un amplio
approximate forms for the compound catálogo de formas aproximadas para el
mixed Poisson distribution is to be found modelo compuesto de Poisson aparecen
in Nadarajah and Kotz (2006a; 2006b). At en Nadarajah y Kotz (2006a; 2006b). Por
otra parte, es conocido que en muchos the same time, there is known to exist a
remarkable difficulty in handling so many conjuntos de datos en los problemas que
data sets, in which the variance is larger nos ocupan se presenta una varianza más
grande que la media (fenómeno conocido than the average (overdispersion). For this
reason, various alternative distributions como sobredispersión) y por esta razón se
have been considered for the random han considerado diferentes distribuciones
variable K, especially the mixed Poisson alternativas para la variable aleatoria K ;
distributions, see for example Grandell en especial, las distribuciones mixturas de
la Poisson, ver entre otros Grandell (1997) (1997) and Nikoloulopoulos and Karlis
(2008), among others. o Nikoloulopoulos y Karlis (2008).

In this paper, a Bayesian analysis in the En este artículo se realiza un análisis
crm is considered, in which the primary bayesiano en el crm con distribución
distribution is the Poisson Lindley primaria una distribución de
Poissondistribution and the Exponential is the Lindley y con distribución secundaria una
secondary distribution, denoted as crmPLE. distribución Exponencial; un compendio
de diferentes modelos bayesianos en A unifying survey of Bayesian models in
different areas of actuarial mathematics is diversas áreas de las matemáticas
presented in Schmidt (1998). actuariales puede verse en Schmidt (1998).

Let K be the random variable “number of Sea K la variable aleatoria “número de
claims” and let us assume it has a Poisson-pérdidas”, suponemos que sigue una
Lindley distribution with parameter λ > 0 , distribución de Poisson-Lindley de
parámetro λ > 0, con función de and the probability function,
probabilidad,

k +32= ; k =0,1,… Pr[Kk= / λ] λλ()++21k(λ+)

8 Medidas de riesgo para riesgo operacional con un modelo de pérdida agregada Poisson-Lindley
Recordemos que la distribución de The Poisson-Lindley distribution is a
Poisson-Lindley es una distribución de discrete probability mass function, as
probabilidad discreta propuesta por proposed in Sankaran (1971) and
Sankaran (1971) que se obtiene como una obtained by mixing a Poisson distribution
mixtura de la distribución de Poisson con with the continuous Lindley distribution
la distribución continua de Lindley (Lindley (Lindley, 1958). Studies addressing the use
(1958); esta distribución ha recibido of this one-parameter discrete distribution
notable atención en diversos trabajos, ver include Karlis and Xekalaki (2005) and,
por ejemplo Karlis y Xekalaki (2005), recently, Ghitany and Al-Mutairi (2008)
Ghitany y Al-Mutairi (2008) o Ghitany, Al- and Ghitany, Al-Mutairi and Nadarajah
Mutairi y Nadarajah (2009). Con la (2009). With a new parametrization,
reparametrización θλ=+ (1λ ) el θλ=+ (1λ ) , the PL model follows, 1 1
modelo PL adopta la forma,

k2fk /θ =θθ12−−  θ+1−θ k  ; k=0, 1, 2,… θ ∈ 0,1 . [ ] () ( ) ()PL 1 11 1 1 1 

La función generatriz de momentos viene Its moment generating function is
dada por,
2
PL 2 tt t tMt;θ =θθ21−−ee+θ −e+θe , ()()( )11 11 1 1

el valor de la esperanza es, and its expected value is,

EK = 21−−θθ /θ . [ ] ()( )PL 11 1 

El momento de segundo orden es, The second order moment is given by

2 22EK   =13−−θθ 8θ+6/θ ()()PL 11 1 1 

y la varianza es, and its variance is

32 2Var K =12−−θθ θ+2/θ . [ ] ()()PL 11 1 1

Es conocido que la distribución es Moreover, it is well known that the
sobredispersa, es decir, distribution is overdispersed, i.e.


32
Var K E K =θθ−+22θ()2−θ>1 . [ ] [ ]PL PL 11 1 1

La siguiente figura muestra, para diversos The following figure shows for several
valores de la media φ , la diferencia entre values of the mean φ the difference
las probabilidades de ambas distribu- between the probabilities of the two
ciones, usando la línea gruesa para distributions, where the thick line refers to
9 Pecvnia, núm. 11 (julio-diciembre, 2010), 1-26
A. Hernández-Bastida y P. Fernández-Sánchez
referirnos a las probabilidades de la the Poisson-Lindley probabilities. It is clear
Poisson–Lindley. Se observa que en todas that in all situations the PL distribution
las situaciones, la distribución PL asigna assigns a higher probability to the value
una masa de probabilidad mayor al valor k = 0 , and that it has heavy tails.
k = 0 y tiene colas más pesadas.


Figura 1/Figure 1

φ = 2 φ = 2.5
PK;PL PK;PL
0.30 0.30
0.25 0.25
0.20 0.20
0.15 0.15
0.10 0.10
0.05 0.05
k
k0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
φ = 3 φ = 4
PK;PL PK;PL
0.30 0.30
0.25 0.25
0.20 0.20
0.15 0.15
0.10 0.10
0.05 0.05
k k
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7


Supongamos que la variable aleatoria X , Let X be the random variable “claim i i
“severidad de las pérdidas”, sigue una severity”, which is to be an Exponential
distribución Exponencial con parámetro distribution with parameter θ > 0 , the E
2
θ > 0 , el modelo E, y tiene como función
2 model, and density function, fx /θ = ()E 2
−θ x2de densidad fx /θ = θ e , para () −θ xE 2 2 2θ e , for x>0. Its moment generating
2
x>0. Su función generatriz de momentos Efunction is Mt;θ =θθ/ −t ; and () ()E 22 22es Mt;θ = θθ/ −t ; y los valores () ()22 22
the expected value and the variance are
de su media y de su varianza son,
10