Mécanique Analytique - M¶ecanique analytique

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Mécanique Analytique - M¶ecanique analytique

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Extrait

Partie

M¶ecanique

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I

analytique

Introduction

Lam¶ecaniqueanalytiquen'apporteriendeconceptuellementnouveauparrapportauxformulations standarddeladynamiquenewtonienne(principefondamental,the¶oreµmedel'¶energiecine¶tiqueetautres pointsmarquantsdel'enseignemente¶l¶ementairedelam¶ecanique),maisenconstitueuneformulation tµ¶ele¶gante.Parfaitementadapte¶eaµladescriptiondesystµemesouµlesmouvementssontsujetsaµ res descontraintes(uncauchemaraveclesformulations\standard"),µal'utilisationdetechniquesde perturbations,cequiexpliquesonsuccµestoujourscertainaupreµsdesastronomes,elleestsouventd'un usagein¯nimentpluspratiquequelesformulationsplus¶el¶ementaires. Ils'agitaussid'uncasparticulierd'uneapprochetreµsfructueusedansdesdomainesvarie¶sdela physique:unemethodevariationnelle.Enm¶ecaniqueanalytique,nousnepre¶ciseronspasles¶equations ¶ localesquedoitve¶ri¯erµachaqueinstantlemouvementdelaparticule.Nousdonneronsenfaitune conditionprescrivantµauneint¶egraleportantsurl'ensembledumouvementd'^etreextre¶male.Parmi toutelestrajectoirespermisesparlacine¶matique,maisparfoisabsurdespourladynamique,ilnous faudrachoisirlabonneenrespectantcettereµgle.Enfait,ladescriptiondumouvementenm¶ecanique analytiqueesttrµessemblableaµladescriptiondesrayonslumineuxavecleprincipedeFermat.Laµ aussi,ondoitchoisirparmitouslestrajetspossiblesceluiquirendextre¶maleuneint¶egralequin'est autrequeladur¶eedutrajet. Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du µ µ XVIII eme ou du XIX eme eciµseell,eleeeauapt¶rochxappfriatsaptndaetemlaphesdedernesmoeu.syqi Ellejoueainsiunro^leessentielenme¶caniquestatistique,elleestµal'originedelaquanti¯cation desdynamiquesclassiques,elleestfortementapparente¶eauxformulationsmodernesdelam¶ecanique quantiqueentermesd'int¶egralesdechemin.Ellenousseraen¯nd'unegrandeutilite¶pourreconstruire l'e¶lectromagne¶tismeaµpartirdelarelativit¶e. Cettepartiesecomposededeuxchapitresprincipaux.Danslepremier,quiseraleplus¶eto®¶e,nous donnonslaformulationlagrangiennedelame¶caniqueanalytique,quiestcellequenousutiliseronsdans lapartiederelativite¶.Nousinsisteronssurlanotiondecoordonn¶eeg¶ene¶ralis¶ee,quipermetdetraiter defa»connaturellelescontraintesetnousexamineronscommentonpeutincorporerdansleformalisme uncertainnombred'interactions.Unpointimportantdanscedomaineseral'e¶tablissementdela fonctiondeLagrangepourdesparticulescharg¶eeseninteractionavecunchamp,dontnousmontrerons qu'elleredonnebienleforcedeLorentz.En¯n,nousde¶duironsd'uncertainnombredesyme¶tries fondamentales de la nature (invariance dans le temps, dans l'espace, invariance par rotation) les lois deconservationessentielles(¶energie,impulsion,momentcine¶tique).Cetteapprochequilielesloisde conservationauxproprie¶t¶esdesyme¶trieestenfaittrµesg¶ene¶raleettreµspuissante. Ledeuxieµmechapitreseraconsacr¶eµaunebrµeverevueduformalismehamiltonien.Brµeveparce quelesujetestextre^mementvaste,enparticulierencequiconcernelestransformationscanoniqueset lesliensaveclam¶ecaniquequantique,breµveaussiparcequeleformalismehamiltonienneseraguµere utiliseengrandde¶taildanslescoursdepremieµreanne¶e. ¶

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Chapitre 1

Formulation lagrangienne

1.1Descriptiondusystµeme:coordonne¶esge¶ne¶ralis¶ees Nousconside¶reronsdoncunsytµ¶deNtamselucitrap¶er¶srepelle¶eriecrgniidranueeps s eme compose ec®, variantde1aµNedtercsilucitraptuncpoessleelUn.eletdelerisctpoipnuectnoevinrµatoutsystµemed maisaussiaµladescriptiondumouvementd'unsolide,aprµesunediscr¶etisationconvenableene¶le¶ments in¯nite¶simaux.Lesmasses,charges¶electriques,positions,vitessesetacce¶le¶rationsdesparticulesseront d¶enote¶esrespectivementm ® ,q ® ,r ® ,v ® =r _ ® ,a ® = _ v ® = Ä r ® eevuoadtnalsntiusousd¶esigneronssn( lesde¶riv¶eestemporellespardessymbolespointe¶s.Lescaractµeresgrasrepre¶sententdesquantite¶s vectorielles). L'approchestandarddelam¶ecaniquenewtonienneestalorsd'¶ecrireleprincipefondamentaldela dynamique,reliantlesacce¶le¶rationsdesdiversesparticulesconstituantlesystµemeauxforcess'exer»cant surelles.L'expressiondecesforcesestdonn¶ee,enfonctiondelacon¯gurationdusysteµme,soitpar desloisfondamentales(forcedeLorentz,parexemple),soitpardesloisphe¶nom¶enologiques(forcesde frottement...).Parexemple,danslecasdeparticuleseninteractione¶lectromagne¶tique¶ecirait: , on r m ® a ® =f ® =q ® (E(r ® ) +v ® £B(r ® ));(1.1) ouEetB,citrselunsiopadespdeitoss,enin¶etionfoncituqnge¶etmrdee¶trecels¶maetueiqtnospmahcsel µ parlasolutiondes¶equationsdeMaxwell. Sil'e¶crituredetouteslese¶quationsdynamiquesdusysteµmepermetenprincipe,enyajoutantles conditionsinitialesconvenables,ded¶eterminercomplµetementlemouvement,cetter¶esolutionpeut^etre e trµsd¶elicate.C'estenparticulierlecasquandilexistedescontraintes:lespositions(oulesvitesses) desparticulesdoiventconstammentob¶eiraµuncertainnombrederelations.Imaginons,parexemple, lecasdedeuxpendulesaccroch¶esl'unaµl'extre¶mit¶edel'autreetcontraintsµasede¶placerdansun plan(voir¯gure1.1).Danslesformulationsclassiques,ondoitassocieraµcesdi®¶erentesliaisonsdes forces(forcedetensiondes¯lsconstituantlespendules,forceder¶eactiondusupportcommun...).Ces forcessontdenouvellesinconnuesdansleproblµemequidoivente^trede¶termin¶eesenme^metempsque lesvariablesdynamiquesint¶eressantes.Bienentendu,ellescompliquentbeaucouplare¶solutiondu probleme. µ L'ide¶edelame¶caniqueanalytiqueestdesed¶ebarrasserdecesforcesinconnuesenn'employant quedescoordonne¶esinde¶pendantesquineserontsoumisesaµaucunecontrainte.Nouslesappellerons \coordonne¶esg¶en¶eralis¶ees".Cescoordonn¶eessontdenaturearbitraire(despositions,desangles...) maisdoiventde¶terminerdefac»onunivoquel'¶etatme¶caniquedusystµemesionprendencompteles contraintes.Onpourrad¶eterminerlemouvementen¶ecrivantune¶equationdi®e¶rentiellepourchacune decescoordonn¶ees.Conside¶rons,pour¯xerlesid¶ees,lecasdudoublependule.Ilyaapriorisix parameµtrespourde¶crirelesystµeme(lespositionsdesdeuxmasses).Enfait,lescontraintesdiminuent consid¶erablementladimensionnalit¶eduproblµeme.D'abord,les¯lssontdelongueurconstante,soit

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