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Mécanique Analytique - M¶ecanique analytique

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Mécanique Analytique - M¶ecanique analytique

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Langue Français
Partie
Mecanique
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I
analytique
Introduction
Lamecaniqueanalytiquen'apporteriendeconceptuellementnouveauparrapportauxformulations standarddeladynamiquenewtonienne(principefondamental,theoreµmedel'energiecinetiqueetautres pointsmarquantsdel'enseignementelementairedelamecanique),maisenconstitueuneformulation tµelegante.Parfaitementadapteeaµladescriptiondesystµemesouµlesmouvementssontsujetsaµ res descontraintes(uncauchemaraveclesformulations\standard"),µal'utilisationdetechniquesde perturbations,cequiexpliquesonsuccµestoujourscertainaupreµsdesastronomes,elleestsouventd'un usagein¯nimentpluspratiquequelesformulationspluselementaires. Ils'agitaussid'uncasparticulierd'uneapprochetreµsfructueusedansdesdomainesvariesdela physique:unemethodevariationnelle.Enmecaniqueanalytique,nousnepreciseronspaslesequations localesquedoitveri¯erµachaqueinstantlemouvementdelaparticule.Nousdonneronsenfaitune conditionprescrivantµauneintegraleportantsurl'ensembledumouvementd'^etreextremale.Parmi toutelestrajectoirespermisesparlacinematique,maisparfoisabsurdespourladynamique,ilnous faudrachoisirlabonneenrespectantcettereµgle.Enfait,ladescriptiondumouvementenmecanique analytiqueesttrµessemblableaµladescriptiondesrayonslumineuxavecleprincipedeFermat.Laµ aussi,ondoitchoisirparmitouslestrajetspossiblesceluiquirendextremaleuneintegralequin'est autrequeladureedutrajet. Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du µ µ XVIIIemeou du XIXemeeciµseell,eleeeauaptrochxappfriatsaptndaetemlaphesdedernesmoeu.syqi Ellejoueainsiunro^leessentielenmecaniquestatistique,elleestµal'originedelaquanti¯cation desdynamiquesclassiques,elleestfortementapparenteeauxformulationsmodernesdelamecanique quantiqueentermesd'integralesdechemin.Ellenousseraen¯nd'unegrandeutilitepourreconstruire l'electromagnetismeaµpartirdelarelativite. Cettepartiesecomposededeuxchapitresprincipaux.Danslepremier,quiseralepluseto®e,nous donnonslaformulationlagrangiennedelamecaniqueanalytique,quiestcellequenousutiliseronsdans lapartiederelativite.Nousinsisteronssurlanotiondecoordonneegeneralisee,quipermetdetraiter defa»connaturellelescontraintesetnousexamineronscommentonpeutincorporerdansleformalisme uncertainnombred'interactions.Unpointimportantdanscedomaineseral'etablissementdela fonctiondeLagrangepourdesparticuleschargeeseninteractionavecunchamp,dontnousmontrerons qu'elleredonnebienleforcedeLorentz.En¯n,nousdeduironsd'uncertainnombredesymetries fondamentales de la nature (invariance dans le temps, dans l'espace, invariance par rotation) les lois deconservationessentielles(energie,impulsion,momentcinetique).Cetteapprochequilielesloisde conservationauxproprietesdesymetrieestenfaittrµesgeneraleettreµspuissante. Ledeuxieµmechapitreseraconsacreµaunebrµeverevueduformalismehamiltonien.Brµeveparce quelesujetestextre^mementvaste,enparticulierencequiconcernelestransformationscanoniqueset lesliensaveclamecaniquequantique,breµveaussiparcequeleformalismehamiltonienneseraguµere utiliseengranddetaildanslescoursdepremieµreannee.
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Chapitre 1
Formulation lagrangienne
1.1Descriptiondusystµeme:coordonneesgeneralisees NousconsidereronsdoncunsytµdeNtamselucitrapersrepelleeriecrgniidranueeps s eme compose ec®, variantde1aµNedtercsilucitraptuncpoessleelUn.eletdelerisctpoipnuectnoevinrµatoutsystµemed maisaussiaµladescriptiondumouvementd'unsolide,aprµesunediscretisationconvenableenelements in¯nitesimaux.Lesmasses,chargeselectriques,positions,vitessesetaccelerationsdesparticulesseront denoteesrespectivementm®,q®,r®,v®=r_®,a®= _v®= Är®eevuoadtnalsntiusousdesigneronssn( lesderiveestemporellespardessymbolespointes.Lescaractµeresgrasrepresententdesquantites vectorielles). L'approchestandarddelamecaniquenewtonienneestalorsd'ecrireleprincipefondamentaldela dynamique,reliantlesaccelerationsdesdiversesparticulesconstituantlesystµemeauxforcess'exer»cant surelles.L'expressiondecesforcesestdonnee,enfonctiondelacon¯gurationdusysteµme,soitpar desloisfondamentales(forcedeLorentz,parexemple),soitpardesloisphenomenologiques(forcesde frottement...).Parexemple,danslecasdeparticuleseninteractionelectromagnetiqueecirait: , on r m®a®=f®=q®(E(r®) +v®£B(r®));(1.1) ouEetB,citrselunsiopadespdeitoss,eninetionfoncituqngeetmrdeetrecelsmaetueiqtnospmahcsel µ parlasolutiondesequationsdeMaxwell. Sil'ecrituredetouteslesequationsdynamiquesdusysteµmepermetenprincipe,enyajoutantles conditionsinitialesconvenables,dedeterminercomplµetementlemouvement,cetteresolutionpeut^etre e trµsdelicate.C'estenparticulierlecasquandilexistedescontraintes:lespositions(oulesvitesses) desparticulesdoiventconstammentobeiraµuncertainnombrederelations.Imaginons,parexemple, lecasdedeuxpendulesaccrochesl'unaµl'extremitedel'autreetcontraintsµasedeplacerdansun plan(voir¯gure1.1).Danslesformulationsclassiques,ondoitassocieraµcesdi®erentesliaisonsdes forces(forcedetensiondes¯lsconstituantlespendules,forcedereactiondusupportcommun...).Ces forcessontdenouvellesinconnuesdansleproblµemequidoivente^tredetermineesenme^metempsque lesvariablesdynamiquesinteressantes.Bienentendu,ellescompliquentbeaucouplaresolutiondu probleme. µ L'ideedelamecaniqueanalytiqueestdesedebarrasserdecesforcesinconnuesenn'employant quedescoordonneesindependantesquineserontsoumisesaµaucunecontrainte.Nouslesappellerons \coordonneesgeneralisees".Cescoordonneessontdenaturearbitraire(despositions,desangles...) maisdoiventdeterminerdefac»onunivoquel'etatmecaniquedusystµemesionprendencompteles contraintes.Onpourradeterminerlemouvementenecrivantuneequationdi®erentiellepourchacune decescoordonnees.Considerons,pour¯xerlesidees,lecasdudoublependule.Ilyaapriorisix parameµtrespourdecrirelesystµeme(lespositionsdesdeuxmasses).Enfait,lescontraintesdiminuent considerablementladimensionnaliteduproblµeme.D'abord,les¯lssontdelongueurconstante,soit
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