Planducoursde Mathématiques

Description

• revision - matière potentielle : avant l' entrée en deuxième année
• cours - matière : mathématiques
• mémoire - matière potentielle : pour la représentation des fonctions objectif
• cours - matière potentielle : mpsi tout au long de l' année

Plan du cours de Mathématiques MPSI Erwan Biland Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010

• bases de la rigueur dans les raisonnements et de la prudence dans les calculs
• calcul de sommes et de produits
• méthode du pivôt de gauss manipulations élémentaires sur les lignes
• prolongement
• fonctions hyperboliques
• fonctions
• définition
• définitions
• géométries
• géométrie

Sujets

• mathématiques
• mathématique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Plan du cours de Mathématiques
MPSI
Erwan Biland
Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010Voici le plan du cours délivré aux MPSI 1 en 2009-2010.
Ce document pourra servir aux élèves de support de révision avant
l’entrée en deuxième année, et plus largement de référence sur le
cours de MPSI tout au long de l’année de spéciale.
J’ai essayé, autant que possible, de justifier les choix de plans qui
m’ont semblé un peu originaux. J’ai parfois choisi d’aller plus loin
que le programme (dénombrabilité, groupes finis, codimension,
séries...). Ces dépassements sont toujours explicités, et justifiés,
auprès des élèves, à qui j’ai d’ailleurs distribué le programme officiel.
Cette démarche pourrait être utile à des candidats à l’Agrégation ou
au Capes, même si les chapitres de MPSI ne sont pas forcément
organisés comme des leçons d’oral de ces concours!
Ce cours doit beaucoup à celui qui m’a été délivré en 1997-1998 par
J-L.Liters au lycée Clemenceau de Nantes. Il a aussi bénéficié de
nombreuses discussions avec R.Antetomaso, A.Casamayou,
H.Lemberg, C.Rakotoniaina, S.Tatitscheff...
Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1 1Table des matières
1 Techniques de calcul 6
1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fonctions usuelles 8
1 Fonctions, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 F exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 F circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Nombres complexes 10
1 Images et antécédents, équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le corpsC des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Exemples d’équations algébriques dansC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Groupes, anneaux, corps 12
1 Lois de compositions internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Equations différentielles linéaires 14
1 Equations homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Problème du raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Géométrie élémentaire du plan et de l’espace 15
1 Repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Produit scalaire, déterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Equations de droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Problèmes d’intersection et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 de lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 17 Courbes paramétrées 17
1 Paramétrage cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Pa polaire, équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Coniques 18
1 Approches géométriques des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tangentes aux coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Courbes algébriques de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Ensembles de nombres 19
1 L’ensembleN des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2R des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Intervalles deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Partie entière, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Un peu de topologie dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10 Suites numériques 21
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Limites et ordre pour les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Théorèmes opératoires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 23
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Etude locale des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Etude globale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12 Arithmétique dansZ 25
1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Calcul modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Prolongement : arithmétique des entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13 Relations de comparaison, développements limités 26
1 Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Polynômes et fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14 Dérivation 28
1 Etude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Etude globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Applications aux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Table des matières 315 Espaces vectoriels 29
1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Quelques endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Eléments de géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16 Ensembles finis, dénombrement 31
1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 quotients, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
17 Espaces vectoriels de dimension finie 33
1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Bases, coordonnées, matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Codimension, hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
18 Calcul matriciel 36
1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Matrices carrées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
19 Groupe symétrique et applications 38
1 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Prolongement : actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
20 Polynômes 39
1 Multiples et diviseurs dansK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Factorisation des polynôme