Planducoursde Mathématiques
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Description

  • revision - matière potentielle : avant l' entrée en deuxième année
  • cours - matière : mathématiques
  • mémoire - matière potentielle : pour la représentation des fonctions objectif
  • cours - matière potentielle : mpsi tout au long de l' année
Plan du cours de Mathématiques MPSI Erwan Biland Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010
  • bases de la rigueur dans les raisonnements et de la prudence dans les calculs
  • calcul de sommes et de produits
  • méthode du pivôt de gauss manipulations élémentaires sur les lignes
  • prolongement
  • fonctions hyperboliques
  • fonctions
  • définition
  • définitions
  • géométries
  • géométrie

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Langue Français

Exrait

Plan du cours de Mathématiques
MPSI
Erwan Biland
Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010Voici le plan du cours délivré aux MPSI 1 en 2009-2010.
Ce document pourra servir aux élèves de support de révision avant
l’entrée en deuxième année, et plus largement de référence sur le
cours de MPSI tout au long de l’année de spéciale.
J’ai essayé, autant que possible, de justifier les choix de plans qui
m’ont semblé un peu originaux. J’ai parfois choisi d’aller plus loin
que le programme (dénombrabilité, groupes finis, codimension,
séries...). Ces dépassements sont toujours explicités, et justifiés,
auprès des élèves, à qui j’ai d’ailleurs distribué le programme officiel.
Cette démarche pourrait être utile à des candidats à l’Agrégation ou
au Capes, même si les chapitres de MPSI ne sont pas forcément
organisés comme des leçons d’oral de ces concours!
Ce cours doit beaucoup à celui qui m’a été délivré en 1997-1998 par
J-L.Liters au lycée Clemenceau de Nantes. Il a aussi bénéficié de
nombreuses discussions avec R.Antetomaso, A.Casamayou,
H.Lemberg, C.Rakotoniaina, S.Tatitscheff...
Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1 1Table des matières
1 Techniques de calcul 6
1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fonctions usuelles 8
1 Fonctions, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 F exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 F circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Nombres complexes 10
1 Images et antécédents, équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le corpsC des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Exemples d’équations algébriques dansC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Groupes, anneaux, corps 12
1 Lois de compositions internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Equations différentielles linéaires 14
1 Equations homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Problème du raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Géométrie élémentaire du plan et de l’espace 15
1 Repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Produit scalaire, déterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Equations de droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Problèmes d’intersection et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 de lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 17 Courbes paramétrées 17
1 Paramétrage cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Pa polaire, équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Coniques 18
1 Approches géométriques des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tangentes aux coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Courbes algébriques de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Ensembles de nombres 19
1 L’ensembleN des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2R des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Intervalles deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Partie entière, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Un peu de topologie dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10 Suites numériques 21
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Limites et ordre pour les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Théorèmes opératoires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 23
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Etude locale des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Etude globale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12 Arithmétique dansZ 25
1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Calcul modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Prolongement : arithmétique des entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13 Relations de comparaison, développements limités 26
1 Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Polynômes et fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14 Dérivation 28
1 Etude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Etude globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Applications aux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Table des matières 315 Espaces vectoriels 29
1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Quelques endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Eléments de géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16 Ensembles finis, dénombrement 31
1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 quotients, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
17 Espaces vectoriels de dimension finie 33
1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Bases, coordonnées, matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Codimension, hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
18 Calcul matriciel 36
1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Matrices carrées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
19 Groupe symétrique et applications 38
1 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Prolongement : actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
20 Polynômes 39
1 Multiples et diviseurs dansK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
21 Intégration, primitives 42
1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 des continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Calcul pratique de primitives ou d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
22 Outils supplémentaires pour l’analyse 44
1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Méthodes d’approximation des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 13 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Valeurs approchées de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
23 Manipulations élémentaires sur les matrices, déterminant 46
1 sur les rangées d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Déterminant et algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Application à la résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
24 Espaces vectoriels euclidiens 48
1 Produit scalaire, orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
25 Fonctions de plusieurs variables 50
1 Les fonctions partielles, et leur insuffisance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Limites, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Quelques exemples d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
26 Géométrie euclidienne de l’espace et du plan 52
1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Géométrie vectorielle euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 affine euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
27 Compléments de géométrie différentielle 54
1 Champs de vecteurs, champs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Propriétés métriques des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Table des matières 5Chapitre 1
Techniques de calcul
Poly 1.1 : Symboles mathématiques usuels
Poly 1.2 : Qu’est-ce qu’une équation?
Objectif : poser les bases de la rigueur dans les raisonnements et de la prudence dans les calculs.
Introduire quelques modes de raisonnements nouveau (analyse/synthèse, existence/unicité...).
1 Opérations sur les ensembles
a) Qu’est-ce qu’un ensemble? et un ensemble vide???
Ensembles, éléments, appartenance, égalité d’ensembles. Inclusion, caractérisation de l’égalité. En-
semble vide. Ensemble des parties d’un ensemble.
b) Calcul propositionnel?
Maniement des connecteurs logiques et des quantificateurs.
c) Opérations sur les parties d’un ensemble
Intersection, réunion : croissance, associativité, distributivité.
Complémentaire, différence ensembliste : lois de Morgan. Différence symétrique.
d) Produit cartésien
Couple d’éléments (sans définition explicite). Produit cartésien de deux ensembles.
Notionden-upletd’élémentsd’unensemble,produitcartésienden ensembles(définisparrécurrence).
2 Systèmes linéaires
a) Qu’est-ce qu’un système linéaire?
Présentation, matrices associées, système homogène...
b) Résolution des systèmes 2 2
Cas particulier se résolvant par demi-somme et demi-différence.
Cas général : distinction des cas, introduction du déterminant, formules de Cramer.
c) Méthode du pivôt de Gauss
Manipulations élémentaires sur les lignes d’un système. Algorithme du pivôt de Gauss.
Introduction au rang d’un système et à la dimension (nombre de paramètres) de l’ensemble des
solutions.
6 Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 13 Calcul de sommes et de produits
a) Changements d’indice
Sommes de termes de suites arithmétiques/géométriques.
b) Une identité remarquable
nX
n+1 n+1 k n ka b = (a b) a b .
k=0
c) Groupements de termes
nXp
Calcul de b kc.
k=0
d) Factorielle
Application : produit desn premiers entiers pairs/impairs.
e) Coefficients binomiaux
Triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton démontrée par récurrence.
Application à des calculs de sommes.
4 Congruences
a) Partie entière et congruences dansR
Définition de la partie entière (on admet l’existence). Partie entière supérieure.
Application : si I est un intervalle semi-ouvert de longueur T, et x un réel, alors il existe un unique
y2I tel quexy [T ]. Résultat homologue dansZ. Division euclidienne.
b) Application aux fonctions périodiques
Sif :R!R est périodique et bornée sur une période, alors f est bornée surR.
Techniques de calcul 7Chapitre 2
Fonctions usuelles
Poly 2.1 : Trois théorèmes importants en analyse
Poly 2.2 : Aide mémoire pour la représentation des fonctions
Objectif : bien comprendre la notion de fonction bijective et l’intérêt éventuel de restreindre les
ensembles de départ et d’arrivée, savoir étudier et représenter une fonction deR dansR.
1 Fonctions, applications
a) Qu’est-ce qu’une application?
Définition formelle par le triplet (E;F; ). On a défini une application deE dansF si on sait associer
à tout élément de E, sans ambiguïté, un unique élément de F. Vocabulaire : image, antécédents.
1Exemple de l’application identité (surE), dex7! (surR).x
b) Restriction, prolongements
Définition des restrictions au départ et à l’arrivée par le triplet correspondant.
Exemples de prolongements, continus ou non.
c) Composition d’applications
Idem. Abus d’écriture éventuel.
d) Application bijective, application réciproque
Définition. Interprétation en termes d’équations. Application réciproque définie par son graphe. Ca-
ractérisation d’une bijection par l’existence de l’application réciproque.
2 Fonctions logarithmes
a) Une équation fonctionnelle
aLes solutions dérivables de l’équationf (xy ) =f (x) +f (y ) sont les primitives de fonctionsx7! qui
x
s’annulent en 1.
b) Le logarithme népérien
Morphisme de groupe de (R ;) dans (R; +). Continuité, stricte croissance, limites (en +1, on+ p 1 1putilise ln(2x) = ln 2+lnx).Brancheparaboliquehorizontale(lnx 6 2( x 1)car 6 ).Bijectivité.t t
1On notee = ln (1).
c) Le logarithme de base a
Définition poura2R nf1g, rapide énumération des propriétés en distinguant les casa> 1 eta< 1.+
ln = log .e
3 Fonctions exponentielles
8 Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1a) Théorème de dérivation de la fonction réciproque?
Démonstration en admettant la continuité de la fonction réciproque.
b) L’exponentielle népérienne
nDéfinition comme bijection réciproque de ln. Propriétés algébriques; pourn2Z, exp(n) =e , d’où la
xnotation exp(x) =e pour toutx2R. Propriétés analytiques : continuité, dérivée, stricte croissance,
1+x xlimites (admis, ou en utilisante =e:e ), branche parabolique verticale.
c) L’exponentielle de base a
n xPour tout a2R et n2Z, a = exp(n lna), d’où la définition a = exp(x lna) pour tout x2R.+
x xAinsi y = a , x = log y. Rapide énumération des propriétés de x7! a en distinguant les casa
a> 1 eta< 1. Exemples de calculs de logarithmes.
d) Les fonctions puissances
Etude dex7!x , définie surR , dans les cinq cas importants. Prolongement éventuel en 0. Rappel :+ p
étude surR pour2N, fonctiony7! x définie surR pour impair.
4 Fonctions hyperboliques
a) Cosinus et sinus hyperboliques
Définition, propriétés analytiques, graphes.
b) Tangente et cotangente hyperboliques
c) arsinh, artanh, arcosh
2 2d) Résolution de l’équation x y = 1
2 2Six y = 1,ilexisteununiquet2Rtelquejxj = cosht ety = sinht.Paramétragedel’hyperbole.
5 Fonctions circulaires
a) Cosinus, sinus, arcsin, arccos
0On admet : est le premier point d’annulation de cos, cos(a b) = cosa cosb + sina sinb, cos =
2
sin, cos 0 = 1 (suffisant?).
b) Tangente, cotangente, arctan
2 2c) Résolution de l’équation x +y = 1
2 2Si x +y = 1, il existe 2R, unique modulo 2, tel que x = cos et y = sin. Paramétrage du
cercle.
d) Formulaires de trigonométrie circulaire et hyperbolique
Fonctions usuelles 9

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