PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculette non autorisée. PROBLÈMEI QUESTION1:Soit M la matrice carrée d’ordre 3 : ⎡6 5 4⎤ M= ⎢2 4 2⎥⎢2 1 4⎥ ⎣ ⎦ Déterminer les valeurs propres de la matrice M et les sous espaces propres associés. QUESTION2:Une entreprise désire prévoir chaque année l’indice de satisfaction de ses clients. Ceux ci sont classés en trois catégories : « satisfait » ; « indifférent » ; « mécontent ». On note xn,ynet znles proportions de clients satisfaits, indifférents et mécontents. A l’ouverture de l’entreprise (année 0) les clients sont tous considérés comme « indifférents ». Pour effectuer une prévision on part des hypothèses décrites ci-dessous : Un client satisfait une année a : 60%de chances de rester satisfait 20%de chances de devenir indifférent 20%de chances de devenir mécontent l’annéesuivante. Un client indifférent une année a : 50%de chances de devenir satisfait 40%de chances de rester indifférent 10%de chances de devenir mécontent l’annéesuivante. Un client mécontent une année a : 40%de chances de devenir satisfait 20%de chances de devenir indifférent 40%de chances de rester mécontent l’annéesuivante. a- Montrer que l’on peut écrire : x x ⎡n⎤ ⎡n−1⎤ y Aymatrice carrée d’ordre 3 que l’o ⎢n⎥ =× ⎢n−1⎥n exprimera en fonction de laoù A est une ⎢ ⎥⎢ ⎥ z z ⎣n⎦ ⎣n−1⎦ matrice M. b-Montrer qu’il existe un unique triplet de proportions (x,y,z) de somme égale à 1 tel que : ⎡ ⎤⎡x⎤ ⎢y⎥ =A× ⎢y⎥⎢z⎥ ⎢z⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Déduire que, si une année les proportions de satisfaits, indifférents et mécontents sont égaux à x,y et z, alors pour les années suivantes ces proportions restent constantes.
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2 c- En remarquant que zn=1-xn-ynmontrer que l’on peut écrire : ⎡x⎤ ⎡x−1⎤ n n += ×CB est une matrice carrée d’ordre 2 et C une matrice 2 oùx1 dont on ⎢y⎥ ⎢y−1⎥ ⎣n⎦ ⎣n⎦ donnera les expressions. En déduire l’expression de ynpuis l’expression de xn. Donner la limite des suites xn, ynet znquand n tends vers +∞. PROBLÈMEII Soient k, a , b et c quatre réels strictement positifs. On considère la suite notée{u,n∈Nsatisfaisant les relations : n ; ; ⎧u0=a u1=b u2=c . ⎨ u u=u u+k ⎩ n+3n n+1n+2 QUESTION1 :Vérifier que la suite{u,n∈Nest bien définie par les relations données ci-dessus. n u+u 4 0 QUESTION2 :On poseα=.u 2 (i) Montrer par récurrence que pour tout entier n on a :u×u−u. n+4n+2n c a⎛1 1⎞ (ii) Montrer queα peuts’écrire sous la forme+ +k+. En déduire queαstrictement est ⎜ ⎟ a cab c ⎝ ⎠ supérieur à 2. ∈ (iii) Déduire de (i) et (ii) la forme générale des suites{u,n N}et{u+,n∈N. Conclure que la limite de 2n2n1 la suite{u,n∈Négale à + est∞0. Montrer que la limite 0 est exclue par les relations définissant la ou n suite. QUESTION3 : On prend pour cettek=1;(a,b,c)=(1,2, 3).Montrer que la suite{u,n∈Nest à valeurs entières. n Donner l’expression du termeu2n. u+u u+u 0 22 4 En remarquant queu= etu=que le terme montreru2n+1 estégal à la moyenne 1 3 2 2 arithmétique des termes d’ordre pair qui encadrent l’entier2n+1. PROBLÈMEIII QUESTION1: ∞ ∞ 1−cos tin t a - Montrer que les intégralesdtetdtsont absolument convergentes. ∫/∫/ 3 23 2 t t 0 0 b- Déduire de (a)les convergences des intégrales : ∞ ∞ 2 2 I=cos( x)dxet=)dxsin( x. ∫0∫0 Déduire égalementJ>0. Indication : On pourra pour chacune des intégrales faire un changement de variable puis une intégration par parties. LES QUESTIONS SUIVANTES ONT POUR BUT DE CALCULER LES INTÉGRALESIETJ. QUESTION2:+ Sur ,ensemble des réels positifs on définit les fonctions C et S par : tt 2 2 C(t)=cos(x)dx;S(t)=sin(x)dx. ∫ 0∫ 0
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3 On définit aussi les fonctions A et B par : 2 2 (t)=C(t)−S(t) (t)=2C(t)S(t) . + a- Montrer que les fonctions C et S sont bornées et dérivables sur. b- Montrer que les fonctions A et B sont dérivables suret que leurs dérivées vérifient : π/ 4 2 ⎛t⎞t ' A(t)=2 cos⎜2⎟2dθ. ∫ ⎝cosθ⎠cosθ 0 π/ 4 2 ⎛t⎞t '() 2sin ∫ t= ⎜2⎟2d. ⎝cosθ⎠cosθ 0 QUESTION3:En utilisant le théorème figurant dans l’encadré ci-dessous donner les expressions (sous forme d’intégrales) des fonctions A et B. Théorème : Soient [a,b] un segment de R ,Λun intervalle de R ,K(x,y) une fonction réelle définie sur[a,b]× Λtels que : (i)K est continue. ∂K (ii)( ,y)existe et est continue sur[a,b]× Λ. ∂y b b ∂K Alors la fonctionK(x,y)dx définiesurΛest dérivable et a pour dérivée( ,y)dx . ∫ ∫∂y a a QUESTION4:π/ 4 2 ⎡y⎤ t (i) On note K la fonctiont→)K( t=sin( )dyd. En utilisant le théorème cité en question ∫⎢∫0 2⎥ cosθ ⎣ ⎦ 0 3 vérifier que K(t) est dérivable et que K’(t) est égale à A(t). u En déduire que K(t) est égal àA(t)dt. ∫ 0 u 1 + On note G la fonction définie surpar la relationG(u)=A(t)dt. ∫ u 0 π/ 4 1 Montrer l’égalitéG(u)=cosθ.S(ucosθ)dθ. En déduirelimG(u) . ∫u→∞ u 0 u 1 + (ii) On note H la fonction définie surpar la relationH(u)=B(t)dt. ∫ u 0 π/ 4 π1 Montrer de la même manière l’égalitéH(u)= −cosθ.C(ucosθ)dθlim. En déduireH(u) . ∫u→∞ 4u 0 QUESTION5:Soit f une fonction continue sur R+ et telle quelimf(u)=0. u→∞ t 1 a- Montrer que la fonction(t)= ×f(u)dua pour limite 0 quand t tend vers∞. ∫ t 0 b- En déduire que si f est une fonction continue telle quelimf(u)=alorslimF(t)=. u→∞t→∞ QUESTION6:En appliquant (5°-b) aux fonctions G et H introduites à la question 4° donner la valeur des intégrales I et J.