DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2001-2002 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I -1 OnnoteW(0,A,1,B)l’ensemble des fonctions à valeurs réellesp:t→p(t)définies et de classeC sur[0,1]satisfaisantp(0)=Aetp(1)=B. SiA=B=0 on simplifie l’écriture en posantW=W(0,0,1,0) . 0 t 1°) SoitC:t→C(t)une fonction réelle définie et continue sur[0,1]pose onh(t)=(C(x)−m)dxoù ∫0 1 m=C(x)dxmontrer quehappartient àWet satisfait : ∫0 0 1 11 2 C(x)h′(x)dx=(C(x)−m)h′(x)dx=(C(x)−m)dx. ∫0∫0∫0 Endéduire que siCvérifie la propriété : 1 C(x)u′(x)dx=0 pourtoute fonctionudeW, ∫0 0 alorsC(t)=mpour touttde[0,1]. t 2°) Soitα:t→α(t) etβ:t→β(t) deux fonctions réelles définies et continues sur[0,1]on poseA(t)= α(x)dx. ∫0 1 Montrerque si(α(t)u(t)+ β(t)u′(t))dt=0 pourtoute fonctionudeW∫0 0 1 ona aussi(β(t)−A(t))u′(t)dt=toute fonction0 pourudeW∫0 0 1 déduiredu 1°) queβest de classeCsur[0,1]et vérifie : β′(t)= α(t) pour touttde[0,1]. - II -22 Ondésigne parLune fonction(x,y)→L(x,y)deIRdansRsupposée de classeC. A l’aide deLon définit une application deW(0,A,1,B)dansRen posant : 1 ℑ(p)=L(p(t),p′(t))dt pourp∈W(0,A,1,B). On suppose qu’il existe un maximum deℑ sur ∫0 W(0,A,1,B)réalisé pour une fonctionpdeW(0,A,1,B). 0 1°) Montrerque pour toutudeWla fonctionϕdeRdansRdéfinie par : 0u 1 ϕ(s)=L(p(t)+su(t),p′(t)+su′(t))dtu∫0 00 possèdeun maximum ens=0. 1 ∂L∂L 2°) Endéduire que :(p(t),p′(t))u(t)+(p(t),p′(t))u′(t)dt=0 . ∫0 00 00 ∂x∂y
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2 3°) Déduire,du résultat de la première partie, quepvérifie l’équation différentielle (dite d’Euler-Lagrange) : 0 d∂L∂L ∀t∈[0,1] (p(t),p′(t))=(p(t),p′(t)) . 0 00 0 dt∂y∂x 2 4°) Onsuppose, de plus quepest de classeCsur[0,1]: 0 montrerque, finalementpsatisfait (outrep(0)=Aetp(1)=B) sur[0,1]: 0 00 te ∂L L(p(t),p′(t))−p′(t) (p(t),p′(t))=cs.(E)0 00 00 ∂y - III -Application : Unproducteur d’électricité vend du courant à un groupe de consommateurs. Si le courant produit au tempstest x(t) Kw/h le coût de production estπ(x(t)). Le prix payé par les consommateurs est une fonction du tempst→p(t). Le profit instantané du producteur, au tempst, est doncx(t)p(t)-π(x(t)), le profit total entret=0 ett=1 est: 0 0 1 [x(t)p(t)− π(x(t))]dt. ∫0 Lecoût de production, déterminé par des contraintes techniques, est supposé régi par la formule 2 π(x)=αx+ βx+ γ(α,β,γ sontdes constantes connues,α>0). A chaque instanttla demande d’électricitéd(t), par les consommateurs, est liée au prixp(t) de l’instant par la formule : d(t)=ap(t)+b+c p′(t) . (Quelque soit le prix on a besoin d’au moinsbKw/h au tempst, si le prix est trop élevé on économise doncd(t) est proportionnelle au prix (aveca<0) enfin les consommateurs anticipent l’évolution du marché, d’où la présence d’un terme spéculatifcp′(t) avecc≠0 ). Enimaginant que le producteur veuille satisfaire toute la demandex(t)=d(t) le profit entret=0 ett=1 est : 1 (ap(t)+b+cp′(t))p(t)− π(ap(t)+b+cp′(t))dt∫0 il dépend donc directement de la fonction prix : on le noteℑ(p). Enimaginant que les pouvoirs publics imposent le prix au tempst=0 soitp(0)=Aet au tempst=1 soitp(1)=Bet laisse le marché libre de déterminer son prix entre 0 et 1 le problème, pour le producteur, consiste à déterminer la fonction t→p(t) qui lui permettra d’obtenir un profitℑ(p) maximal. 0 0 2 1°) Montrerque sipexiste et est de classeC,pvérifie l’équation(E)du paragraphe II avec 0 0 L(x,y)=xX(x,y)-π(X(x,y)) 2 etX(x,y)=ax+b+cy,π(X)=αX+βX+γ. 2°) Montrer,en dérivant par rapport àtcette équation quepvérifie l’équation différentielle du second ordre : 0 2 2cαp′(t)−2a(aα −1)p(t)+(b−2abα −aβ)p′(t)=0 b−2abα −aβ2a(aα −1) soiten posantp=etλ =2 2a(aα −1) cα 2 l’équation:(p′′(t)− λ(p(t)−p))p′(t)=0 . 3°) Ensupposant quepconstante sur aucun intervalle de n’est[0,1], exprimerpfonction de ent etdes 0 0 constantesp,λ,AetB. 4°) Unefoispainsi déterminée, que reste-t-il à démontrer ? 0 2001
3 PROBLEME 2 Onconsidère le système d’équations différentielles linéaires : 1 x′(t)=y(t) t pourt≠0(1) 3 2 y′(t)= −4t x(t)+y(t) t 0100 x(t) OnposeA=;A=;X(t)=de sorte que(1)peut se réécrire : 0 4 02−40y(t) 4 1 X′(t)=(A+A t)X(t) pourt≠0.(2) 0 4 t 2 1°) Déterminerune suite de vecteurs deIR(C) telleque : k k≥0 +∞ 2k∗ Y(t)=t Ctsoit solution surRde(2). ∑k k=0 2 sint Surchacun des intervalles (-∞,0[et]0,+∞) montrer queY(t) est de la formea. 2 2 2tcost 2 z(t) sint01 2°) OnposeX(t)= . 2 2 z(t) 2tcost12 LorsqueX(t) vérifie(2), trouver les équations différentielles vérifiées parz etz. En déduire la solution 1 2 +∗ −∗ générale de(1)surR(et surR). Quelles solutions sont prolongeables àRtout entier ? ---