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Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

8 pages
´Capes externe de mathematiques : session 2007`deuxieme compositionINTRODUCTIONnDans tout le probl`eme, n d´ esigne un entier naturel non nul. On munit R du produitscalaire usuel :nn n∀x=(x ,...,x )∈ R , ∀y =(y ,...,y )∈ R , x, y = x y1 n 1 n i ii=1net on d´efinit la norme d’un vecteur x=(x ,...,x )∈ R par1 n n2||x|| = xii=1n n nSoit a un vecteur de R non nul, on note s la sym´etrie orthogonale de R dans Rad´ efinie para, xn∀x∈ R,s (x)=x− 2 aaa, an nOn dit qu’une partie R de R est un syst`eme de racines dans R si elle v´erifie lesconditions suivantes :n– la partie R est finie, ne contient pas 0 et engendre le R-espace vectoriel R ;– pour tout α∈ R, s (R)=R (en particulier −α∈ R);αα,β– pour tous α,β ∈ R, n =2 ∈ Zα,βα,α– pour tout α∈ R, les seuls ´el´ements de R proportionnels a` α sont α et −α.Les coefficients n (α,β ∈ R) sont appel´es les coefficients de structure du syst`emeα,βde racines R.On dit que deux syst`emes de racines R et R sont des syst`emes de racines isomorphesn ns’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels ϕ : R → R v´ erifiantϕ(R)=R et ∀α,β ∈ R, n = nϕ(α),ϕ(β) α,βDans la partie I, on ´etudie les syst`emes de racines du plan. Cette partie permet de sefamiliariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suitedu probl`eme. Puis dans la partie II, on ´etudie des relations d’ordre total compatibles avecnla structure d’espace vectoriel de R . Cette partie est ind´ependante de ...
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Capesexternedemath´ematiques:session2007 deuxi`emecomposition INTRODUCTION
Danstoutleproble`me,nunneigesnaertiennonlerut´d.lun scalaire usuel :
n x= (x1, . . . , xn)R,
n y= (y1, . . . , yn)R,
n etond´enitlanormedunvecteurx= (x1, . . . , xn)Rpar n 2 ||x||=x i i=1
n On munitRdu produit
n x, y=xiyi i=1
n n n Soitaun vecteur deRnon nul, on notesaalys´mteiroetrlenagohodeRdansR de´niepar a, xn xR, sa(x) =x2a a, an n On dit qu’une partieRdeRest uneredinacyssemt`sedansRisleel´verieles conditions suivantes : n – la partieRengendre le0 et est finie, ne contient pas R-espace vectorielR; – pour toutαR,sα(R) =R(en particulierαR) ; α, β– pour tousα, βR, nα,β= 2Z α, α– pour toutαRle,euss´elseml´stneedR`sannlepoporoitrαsontαetα. Les coefficientsnα,β(α, βRpatnos)sleesl´pecoefficients de structureudsyst`eme de racinesR. Onditquedeuxsyst`emesderacinesRetRsont desedseme`tisenicarrphesomoysss n n s’il existe un isomorphisme d’espaces vectorielsϕ:RRantvire´
ϕ(R) =R
et
α, βR,
n=n ϕ(α)(β)α,β
DanslapartieI,one´tudielessyst`emesderacinesduplan.Cettepartiepermetdese familiariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suite duprobl`eme.PuisdanslapartieII,one´tudiedesrelationsdordretotalcompatiblesavec n la structure d’espace vectoriel deRC.teetaprtieestind´ependetnaaledtrap.IeisCe relationsdordrepermettront,danslapartieIII,dextrairedunsyste`mederacinesune
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