Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

Capesexternedemath´ematiques:session2007 deuxi`emecomposition INTRODUCTION
Danstoutleproble`me,nunneigesnaertiennonlerut´d.lun scalaire usuel :
n x= (x1, . . . , xn)R,
n y= (y1, . . . , yn)R,
n etond´enitlanormedunvecteurx= (x1, . . . , xn)Rpar n 2 ||x||=x i i=1
n On munitRdu produit
n x, y=xiyi i=1
n n n Soitaun vecteur deRnon nul, on notesaalys´mteiroetrlenagohodeRdansR de´niepar a, xn xR, sa(x) =x2a a, an n On dit qu’une partieRdeRest uneredinacyssemt`sedansRisleel´verieles conditions suivantes : n – la partieRengendre le0 et est finie, ne contient pas R-espace vectorielR; – pour toutαR,sα(R) =R(en particulierαR) ; α, β– pour tousα, βR, nα,β= 2Z α, α– pour toutαRle,euss´elseml´stneedR`sannlepoporoitrαsontαetα. Les coefficientsnα,β(α, βRpatnos)sleesl´pecoefficients de structureudsyst`eme de racinesR. Onditquedeuxsyst`emesderacinesRetRsont desedseme`tisenicarrphesomoysss n n s’il existe un isomorphisme d’espaces vectorielsϕ:RRantvire´
ϕ(R) =R
et
α, βR,
n=n ϕ(α)(β)α,β
DanslapartieI,one´tudielessyst`emesderacinesduplan.Cettepartiepermetdese familiariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suite duprobl`eme.PuisdanslapartieII,one´tudiedesrelationsdordretotalcompatiblesavec n la structure d’espace vectoriel deRC.teetaprtieestind´ependetnaaledtrap.IeisCe relationsdordrepermettront,danslapartieIII,dextrairedunsyste`mederacinesune
1