Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

´Capes externe de mathematiques : session 2007`deuxieme compositionINTRODUCTIONnDans tout le probl`eme, n d´ esigne un entier naturel non nul. On munit R du produitscalaire usuel :nn n∀x=(x ,...,x )∈ R , ∀y =(y ,...,y )∈ R , x, y = x y1 n 1 n i ii=1net on d´efinit la norme d’un vecteur x=(x ,...,x )∈ R par1 n n2||x|| = xii=1n n nSoit a un vecteur de R non nul, on note s la sym´etrie orthogonale de R dans Rad´ efinie para, xn∀x∈ R,s (x)=x− 2 aaa, an nOn dit qu’une partie R de R est un syst`eme de racines dans R si elle v´erifie lesconditions suivantes :n– la partie R est finie, ne contient pas 0 et engendre le R-espace vectoriel R ;– pour tout α∈ R, s (R)=R (en particulier −α∈ R);αα,β– pour tous α,β ∈ R, n =2 ∈ Zα,βα,α– pour tout α∈ R, les seuls ´el´ements de R proportionnels a` α sont α et −α.Les coefficients n (α,β ∈ R) sont appel´es les coefficients de structure du syst`emeα,βde racines R.On dit que deux syst`emes de racines R et R sont des syst`emes de racines isomorphesn ns’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels ϕ : R → R v´ erifiantϕ(R)=R et ∀α,β ∈ R, n = nϕ(α),ϕ(β) α,βDans la partie I, on ´etudie les syst`emes de racines du plan. Cette partie permet de sefamiliariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suitedu probl`eme. Puis dans la partie II, on ´etudie des relations d’ordre total compatibles avecnla structure d’espace vectoriel de R . Cette partie est ind´ependante de ...