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Capesext premiere composition de mathematiques 2003 capes maths capes de mathematiques

7 pages
Capes externe 2003, premi`ere ´epreuve page 1Notations et objets du probl`eme+On d´esigne parN l’ensemble des entiers naturels, parR le corps des nombres r´eels et parR l’ensembledes r´eels positifs ou nuls.kPour tout entier naturel n et tout entier k compris entre 0 et n, on note C le coefficient binomial d´efininpar :n!kC =n k!(n¡k)!avec la convention 0!=1.Si A, B sont deux ensembles, avec B inclus dans A, on note AnB l’ensemble :AnB =fx2Ajx2= Bg:On rappelle que si E est un espace vectoriel r´eel, une famille B =(e ) de vecteurs non nuls de E esti i2Kune base si pour tout vecteur x dans E il existe une unique famille de scalaires (x ) , ou` L est unej j2LPpartie finie de K, telle que x= x e .j jj2LSauf indication contraire, on d´esigne par a et b des r´eels tels que a < b et par I l’intervalle ferm´e born´e[a;b].On note C(I) l’espace vectoriel r´eel des fonctions d´efinies sur I `a valeurs r´eelles et continues.On note F l’espace vectoriel r´eel des d´efinies surR `a valeurs r´eelles p´eriodiques de p´eriode 2…et continues.Pour ´eviter les r´ep´etitions dans les d´efinitions qui suivent on d´esigne par H l’espace vectoriel C(I) ou Fet par J l’intervalle I dans le cas ou` H est l’espace C(I) ou l’intervalleR dans le cas ou` H est l’espaceF.Pour toute fonction f appartenant `a H on d´esigne par jfj la fonction d´efinie par :jfj: J !Rx7!jf(x)jL’espace H est muni de la norme de la convergence uniforme d´efinie par :8f 2H;kfk =supjf(x)j:1x2JOn munit ...
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Capesexterne2003,premiereepreuve
Notationsetobjetsduprobleme
page 1
+ OndesigneparNl’ensemble des entiers naturels, parRslteaprrbsereerocelmonsedspRl’ensemble desreelspositifsounuls. k Pour tout entier naturelnet tout entierkcompris entre0etn, on noteCldianeiomintbenciecole n par : n! k C= n k!(nk)! avec la convention0! = 1. SiA,Bsont deux ensembles, avecBinclus dansA, on noteA\Bl’ensemble : A\B={xA|x/ B}. On rappelle que siEorctlriepaesveceenutsafimlleeleu,enB= (ei)iKde vecteurs non nuls deEest une base si pour tout vecteurxdansEil existe une unique famille de scalaires(xj)jL,ouLest une P partie nie deK, telle quex=xjej. jL Saufindicationcontraire,ondesigneparaetbleeletseuqssrdea < bet parIavlltnrelieornmebefer [a, b]. On noteC(I)elrelritoecevacspcnitnodseedlseofureniessIselloctesrueeeravalinnts.ue On noteFniesdlessursedleernoitcnofevacspeelritoecRsrrlauesepeellavedoiioerqudideeserp2π et continues. PoureviterlesrepetitionsdanslesdenitionsquisuiventondesigneparHl’espace vectorielC(I)ouF et parJl’intervalleIsocaudalensHest l’espaceC(I)ou l’intervalleRudanslecasoHest l’espace F. Pour toute fonctionfppateartnanaHednngiseopar|f|ctioafonlap:rneidne|f|:JR x7→ |f(x)| L’espaceHonmrdelecanoevgrenceuniformedepein:raaledinumtse f∈ H,kfk= sup|f(x)|. xJ On munit l’espaceHedlatilareordrondleitrapeeetonienetder:pa (f, g)∈ H × H,(fg)(xJ, f(x)g(x)). On dit qu’une fonctionfnenatapaaptrHest positive et on note0f, si0f(t)pour touttdansJ. OndesigneparL(H)l’espace vectoriel des endomorphismes deHdeU.nleeemtnL(H)eleepstaussiap unoperateurlineairesurH. OnditquunoperateurlineaireusurHapvetisipoontincatnanetrapilttifsposiestetofteuoofmrarsn Hen une fonction positive. On noteR[x]l’espace vectoriel surRsleerstteC.noitlopssedcnofaielnymoenavdsuleariabciencoeespace est muni de la base{ek|kN}par:denei k kN,xR, ek(x) =x . On notePle sous-espace vectoriel deFt-es,sceletnrsceiacoeuestriqomenogirtsemoˆnylopesedmorf a-diredesfonctionsdeRdansRde la forme : n X x7→a0+ (akcos (kx) +bksin (kx)), k=1 ounest un entier naturel, le coecienta0et les coecientsak,bkpour tout entierkcompris entre1et nsnortele.s
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