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Capesexterne2003,premiereepreuve
Notationsetobjetsduprobleme
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+ OndesigneparNl’ensemble des entiers naturels, parRslteaprrbsereerocelmonsedspRl’ensemble desreelspositifsounuls. k Pour tout entier naturelnet tout entierkcompris entre0etn, on noteCldianeiomintbenciecole n par : n! k C= n k!(nk)! avec la convention0! = 1. SiA,Bsont deux ensembles, avecBinclus dansA, on noteA\Bl’ensemble : A\B={xA|x/ B}. On rappelle que siEorctlriepaesveceenutsafimlleeleu,enB= (ei)iKde vecteurs non nuls deEest une base si pour tout vecteurxdansEil existe une unique famille de scalaires(xj)jL,ouLest une P partie nie deK, telle quex=xjej. jL Saufindicationcontraire,ondesigneparaetbleeletseuqssrdea < bet parIavlltnrelieornmebefer [a, b]. On noteC(I)elrelritoecevacspcnitnodseedlseofureniessIselloctesrueeeravalinnts.ue On noteFniesdlessursedleernoitcnofevacspeelritoecRsrrlauesepeellavedoiioerqudideeserp2π et continues. PoureviterlesrepetitionsdanslesdenitionsquisuiventondesigneparHl’espace vectorielC(I)ouF et parJl’intervalleIsocaudalensHest l’espaceC(I)ou l’intervalleRudanslecasoHest l’espace F. Pour toute fonctionfppateartnanaHednngiseopar|f|ctioafonlap:rneidne|f|:JR x7→ |f(x)| L’espaceHonmrdelecanoevgrenceuniformedepein:raaledinumtse f∈ H,kfk= sup|f(x)|. xJ On munit l’espaceHedlatilareordrondleitrapeeetonienetder:pa (f, g)∈ H × H,(fg)(xJ, f(x)g(x)). On dit qu’une fonctionfnenatapaaptrHest positive et on note0f, si0f(t)pour touttdansJ. OndesigneparL(H)l’espace vectoriel des endomorphismes deHdeU.nleeemtnL(H)eleepstaussiap unoperateurlineairesurH. OnditquunoperateurlineaireusurHapvetisipoontincatnanetrapilttifsposiestetofteuoofmrarsn Hen une fonction positive. On noteR[x]l’espace vectoriel surRsleerstteC.noitlopssedcnofaielnymoenavdsuleariabciencoeespace est muni de la base{ek|kN}par:denei k kN,xR, ek(x) =x . On notePle sous-espace vectoriel deFt-es,sceletnrsceiacoeuestriqomenogirtsemoˆnylopesedmorf a-diredesfonctionsdeRdansRde la forme : n X x7→a0+ (akcos (kx) +bksin (kx)), k=1 ounest un entier naturel, le coecienta0et les coecientsak,bkpour tout entierkcompris entre1et nsnortele.s